Capítulo 5
Óptimo del Consumidor
Racionalidad Económica
 El
principal postulado acerca del
comportamiento del consumidor dice
que escoje la mejor alternativa del
conjunto de alternativas factibles.
 Las alternativas disponibles
constituyen el conjunto factible.
 ¿Cuál es la mejor canasta del
conjunto factible?
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
Factible, pero no es la
mejor de las alternativas
factibles.
x2
x1
Utilidad
La mejor de las
canastas factibles
Factible, pero no es la
mejor de las alternativas
factibles.
x2
x1
Utilidad
x2
x1
Utilidad
x2
x1
x2
Utilidad
x1
x2
Utilidad
x1
x2
x1
x2
Canastas
factibles
x1
x2
Canastas
factibles
x1
x2
Canastas que son
más preferidas
Canastas
factibles
x1
x2
Canastas que son
más preferidas
Canastas
factibles
x1
x2
x2*
x1*
x1
x2
(x1*,x2*) es la mejor
De las canasta
factibles.
x2*
x1*
x1
 La
mejor de las canastas factibles es
conocida como la DEMANDA
ORDINARIA a los precios y el
ingreso dados.
 La demanda ordinaria se denota por
x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m).
 Cuando
x1* > 0 y x2* > 0 la canasta
demandada es INTERIOR.
 Si se compra (x1*,x2*) el costo es m
entonces se agota el ingreso.
x2
(x1*,x2*) es interior.
(x1*,x2*) agota el ingreso.
x2*
x1*
x1
x2
(x1*,x2*) es interior.
(a) (x1*,x2*) agota el
ingreso:
p1x1* + p2x2* = m.
x2*
x1*
x1
x2
(x1*,x2*) es interior .
(b) la pendiente de la
curva de indiferencia en
(x1*,x2*) es igual a la
pendiente de la restricción
de presupuesto.
x2*
x1*
x1
 (x1*,x2*)
satisface dos condiciones:
 (a) el ingreso se agota:
p1x1* + p2x2* = m
 (b) la pendiente de la restricción de
presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de
la curva de indiferencia que contiene a
(x1*,x2*) son iguales en (x1*,x2*).
Estimando la Demanda Ordinaria
 ¿Cómo
podemos emplear esta
información para poder encontrar la
canasta (x1*,x2*) para los precios p1,
p2 y el ingreso m?
Estimando la demanda ordinara. Ejemplo
para una Cobb Douglas
 Supongamos
que las preferencias del
consumidor son del tipo Cobb-Douglas.
a b
U( x1 , x 2 )  x1 x 2
 En
consecuencia:
UMg1 
UMg 2 
 UT
 x1
 UT
 x2
a 1
1
 ax
x
 bx x
b 1
2
a
1
b
2
Y
la TMgS:
TMgS 
dx2
dx1

 UT / x1
 UT / x2

a 1 b
1
2
a b 1
1 2
ax
bx x
x

ax2
bx1
.
 En
(x1*,x2*), se debe cumplir que
TMgS = -p1/p2 , en consecuencia
*

ax 2
*
bx1

p1
p2

bp1 *
*
x2 
x1 .
ap 2
(A)
Y
sabemos que (x1*,x2*) agota el
presupuesto del consumidor:
*
*
p1x1  p 2x 2  m.
(B)
 En
consecuencia, sabemos que:
bp1 *
*
x2 
x1
ap 2
*
*
p1x1  p 2x 2  m.
(A)
(B)
Sustituyendo
bp1 *
*
x2 
x1
ap 2
*
*
p1x1  p 2x 2  m.
(A)
(B)
bp1 *
*
x2 
x1
ap 2
(A)
*
*
p1x1  p 2x 2  m.
(B)
y tenemos:
bp1 *
*
p1x1  p 2
x1  m.
ap 2
y simplificando ….
*
x1 
am
( a  b )p1
.
*
x1 
am
( a  b )p1
.
y sustituyendo este valor de x1* en
*
*
p1x1  p 2x 2  m
Obtenemos:
*
x2 
bm
( a  b)p 2
.
Así hemos descubierto que la mejor
canasta factible para el consumidor con
preferencias Cobb-Douglas es
* *
( x1 , x 2 ) 
(
am
,
bm
( a  b )p1 ( a  b )p 2
)
.
x2
a b
U( x1 , x 2 )  x1 x 2
*
x2 
bm
( a  b )p 2
*
x1 
am
( a  b )p1
x1
Restricciones para el óptimo del consumidor
Cuando x1* > 0 y x2* > 0
y (x1*,x2*) agota el ingreso,
y la curva de indiferencia tiene una forma
regular, no especial , la demanda ordinaria se
obtiene mediante:
 (a)
p1x1* + p2x2* = m
 (b) la pendiente de la restricción de
presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la
curva de indiferencia en la canasta (x1*,x2*)
son iguales.

 ¿Pero,
y si x1* = 0?
 ¿Pero y si x2* = 0?
 Si x1* = 0 ó x2* = 0 entonces la
demanda ordinaria (x1*,x2*) es una
solución de esquina.
Ejemplo de soluciones de esquina –
el caso de sustitutos perfectos
x2
TMgS = -1
x1
x2
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2
con p1 > p2.
x1
x2
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2
con p1 > p2.
x1
x2
*
x2 
TMgS = -1
y
p2
pendiente = -p1/p2
con p1 > p2.
*
x1  0
x1
x2
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2
con p1 < p2.
*
x2  0
y
*
x1 
p1
x1
En consecuencia, si la función de utilidad
es = x1 + x2, la canasta óptima es (x1*,x2*)
donde:
* *
( x1 , x 2 )
 y 

,0 
 p1 
si p1 < p2
*
*
( x1 , x 2 )

y 
  0,

 p2 
si p1 > p2.
y
x2
y
p2
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2
con p1 = p2.
y
p1
x1
x2
y
p2
Todas las canastas en la
restricción de presupuesto
son canastas óptimas si
p1 = p2.
y
p1
x1
Ejemplo de soluciones de esquina – el
caso de las preferencias no convexas
x2
x1
x2
x1
x2
¿Cuál es la canasta óptima?
x1
x2
La canasta óptima
x1
x2
Observe que la solución de
tangencia no es la canasta óptima.
La canasta óptima
x1
Ejemplos de soluciones en “punta” – el
caso de complementarios perfectos
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
TMgS = 0
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
TMgS = -

x2 = ax1
TMgS = 0
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
TMgS = - 
TMgS es indefinida
x2 = ax1
TMgS = 0
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
¿Cúal es la canasta óptima?
x2 = ax1
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
La canasta óptima
x2 = ax1
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
(a) p1x1* + p2x2* = m
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
(a) p1x1* + p2x2* = m
(b) x2* = ax1*
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
(a) p1x1* + p2x2* = m;
(b) x2* = ax1*.
(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.
Substituyendo, tenemos
p1x1* + p2ax1* = m
x 
*
1
m
p1  ap2
Y sustituyendo este resultado
para obtener x2*:
x 
*
2
am
p1  ap2
.
x2
U(x1,x2) = mín{ax1,x2}
*
x2 
x2 = ax1
am
p1  ap 2
*
x1 
m
p1  ap 2
x1
Descargar

Chapter Five