FACTORIZACION
DESCOMPOSICION
FACTORIAL
APLICACION
RESOLUCION DE PROBLEMAS
MAXIMO COMUN DIVISOR
MINIMO COMUN MULTIPLO
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
DESCOMPOSICION FACTORIAL
OBSERVA
5
x
7
=
35
PRODUCTO
FACTORES
FACTORES
35
=
5
x
7
PRODUCTO
DESCOMPOSICION DE UN PRODUCTO EN SUS FACTORES
FACTORIZAR
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
¿ QUE SIGNIFICA FACTORIZAR ?
DESCOMPONER UN PRODUCTO EN SUS FACTORES
FACTORIZA
1
=
1
x
¿ FACTORES ?
1
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
1
FACTORIZA
5
=
5
x
1
13
=
13
x
1
11
=
11
x
1
7
=
7
x
1
¿ FACTORES ?
2
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
FACTORIZA
20
=
20
x
1
10
x
2
4
x
5
12
12
=
6
4
x
x
x
30
=
30
x
1
15
x
2
10
x
3
6
x
5
36
x
1
18
x
2
12
x
3
9
x
4
6
x
6
1
2
36
3
¿ FACTORES ?
+ 2
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
=
NUMEROS POR SUS FACTORES
PRIMO
UNITARIO
UN FACTOR
DOS FACTORES
1= 1x1
5= 5x1
COMPUESTO
MAS DE DOS FACTORES
15 = 15 x 1
15 = 5 x 3
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
a
b
RELACION DE DIVISIBILIDAD
a
FACTOR O DIVISOR
b
MULTIPLO
5
15
5 ES FACTOR O DIVISOR DE 15, 15 ES MÚLTIPLO DE 5
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
5
FACTOR O DIVISOR
NUMERO QUE DIVIDE
EXACTAMENTE A OTRO
40
MULTIPLO
NUMERO QUE CONTIENE
VARIAS VECES A OTRO
5 FACTOR O DIVISOR DE 40, LO DIVIDE EXACTAMENTE
40 MULTIPLO DE 5, LO CONTIENE 8 VECES
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
UN NUMERO ES DIVISIBLE POR DOS CUANDO TERMINA EN CERO O CIFRA PAR
2
14
14, TERMINA EN CIFRA PAR
2
48
48, TERMINA EN CIFRA PAR
2
10
10, TERMINA EN CERO
2
11
11, NO TERMINA EN CIFRA PAR O EN CERO
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
UN NUMERO ES DIVISIBLE POR TRES CUANDO LA SUMA DE LOS VALORES
ABSOLUTOS DE SUS CIFRAS ES MULTIPLO DE TRES
3
45
4 + 5 = 9 , 9 ES MULTIPLO DE 3
3
99
9 + 9 = 18 , 18 ES MULTIPLO DE 3
3
51
5 + 1 = 6 , 6 ES MULTIPLO DE TRES
3
43
4 + 3 = 7, 7 NO ES MULTIPLO DE TRES
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
UN NUMERO ES DIVISIBLE POR CINCO CUANDO TERMINA EN CERO O CINCO
5
35
35, TERMINA EN CINCO
5
80
80, TERMINA EN CERO
5
95
95, TERMINA EN CINCO
5
17
17, NO TERMINA EN CINCO O CERO
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
ERATOSTENES
MATEMATICO, ASTRONOMO Y GEOGRAFO GRIEGO
Para identificar los números primos, Eratóstenes utilizó un procedimiento
consistente en hacer un listado de números y eliminar posteriormente las
series de múltiplos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Eliminamos el unitario
Eliminamos múltiplos de 2,
excepto el 2 .
Eliminamos múltiplos de 3,
excepto el 3 .
Eliminamos múltiplos de 5,
excepto el 5 .
Eliminamos múltiplos de 7,
excepto el 7 .
A ESTE PROCEDIMIENTO SE LE CONOCE CON EL NOMBRE
DE CRIBA DE ERATOSTENES
NUMEROS PRIMOS MENORES DE 100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
NUMERO PRIMO
DOS FACTORES
UNIDAD
MISMO NUMERO
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
FACTORIZACION
CONSISTE EN DESCOMPONER EN FACTORES
FACTORIZACION PARCIAL
FACTORES PRIMOS Y COMPUESTOS
24 = 12
x 2
FACTORIZACION TOTAL
FACTORES PRIMOS
24 = 2 x 2 x 2 x 3
Factorización incompleta
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
FACTORIZACION TOTAL
UTILIZA EXCLUSIVAMENTE FACTORES PRIMOS
Divisiones sucesivas con factores primos, en forma ordenada ,
hasta obtener cociente unitario.
Factores primos
Cocientes
48
2
24
2
12
2
6
2
3
3
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
Utilizando potencias
48 = 24 x 3
1
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
FACTORIZACION TOTAL
Factores primos
36
2
40
2
18
2
20
2
9
3
10
2
3
3
5
5
1
Cocientes
Cocientes
Factores primos
1
36 = 2 x 2 x 3 x 3
40 = 2 x 2 x 2 x 5
Utilizando potencias
Utilizando potencias
36 = 22 x 32
40 = 23 x 5
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
FACTORIZACION TOTAL
90
2
64
2
45
3
32
2
15
3
16
2
5
5
8
2
4
2
2
2
1
1
90 = 2 x 3 x 3 x 5
64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
90 = 2 x 32 x 5
64 = 26
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
FACTORIZACION TOTAL
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
16
2
44
2
54
2
8
2
22
2
27
3
4
2
11
11
9
3
2
2
1
3
3
1
1
16 = 2 x 2 x 2 x 2
16 =
24
44 = 2 x 2 x 11
44 =
22
x 11
54 = 2 x 3 x 3 x 3
54 = 2 x 33
FACTORIZACION TOTAL
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
28
2
45
3
72
2
14
2
15
3
36
2
7
7
5
5
18
2
9
3
3
3
1
1
1
28 = 2 x 2 x 7
45 = 3 x 3 x 5
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
16 = 22 x 7
45 = 32 x 5
54 = 23 x 32
FACTORIZACION TOTAL
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
98
2
63
3
150
2
49
7
21
3
75
3
7
7
7
7
25
5
5
5
1
1
1
98 = 2 x 7 x 7
63 = 3 x 3 x 7
150 = 2 x 3 x 5 x 5
98 = 2 x 72
44 = 32 x 7
150 = 2 x 3 x 52
MENU
MULTIPLO
NUMERO QUE CONTIENE VARIAS VECES A OTRO
SE OBTIENEN MULTIPLICANDO
M
CONJUNTO DE LOS MULTIPLOS
M6 = ( 0, 6 , 12, 18 , 24, 30, 36, 42, 48, … )
Se multiplica por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. …
CONJUNTO INFINITO
CERO MULTIPLO UNIVERSAL
OBSERVA
M4 = ( 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, … )
M20 = ( 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, … )
0, 20, 40 SON MULTIPLOS COMUNES
MENOR DE LOS MULTIPLOS COMUNES DIFERENTE DE CERO
20
20 ES EL MINIMO COMUN MULTIPLO DE 4 Y 20
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
OBSERVA
M15 = ( 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … )
M12 = ( 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … )
0, 60, 120 SON MULTIPLOS COMUNES
MENOR DE LOS MULTIPLOS COMUNES DIFERENTE DE CERO
60
¿ QUE SIGNIFICA MINIMO COMUN MULTIPLO ?
MENOR DE LOS MULTIPLOS COMUNES DIFERENTE DE CERO
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
FACTORIZACION TOTAL
SE UTILIZA PARA ENCONTRAR EL MINIMO COMUN MULTIPLO.
POR EJEMPLO
1) Determinar el mínimo común múltiplo de 18, 36 y 24
Acomodamos los elementos verticalmente
18
36
24
2
Simultáneamente descomponemos en factores
9
18
12
2
9
9
6
2
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
9
9
3
3
m.c.m. = 23 x 32
3
3
1
3
1
1
m.c.m. = 72
Intervienen todos los factores primos
2) Determinar el mínimo común múltiplo de 15, 18 y 30
Acomodamos los elementos verticalmente
15
18
30
2
Simultáneamente descomponemos en factores
15
9
15
3
5
3
5
3
m.c.m. = 2 x 3 x 3 x 5
5
1
5
5
m.c.m. = 2 x 32 x 5
1
1
m.c.m. = 90
Intervienen todos los factores primos
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
3) Determinar el mínimo común múltiplo de 45, 90 y 120
Acomodamos los elementos verticalmente
45
90
120
2
45
45
60
2
45
45
30
2
45
45
15
3
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5
15
15
5
3
m.c.m. = 23 x 32 x 5
5
5
5
5
1
1
1
Simultáneamente descomponemos en factores
m.c.m. = 360
INTERVIENEN TODOS LOS FACTORES PRIMOS
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
4) Determinar el mínimo común múltiplo de 42, 63 y 126
Acomodamos los elementos verticalmente
42
63
126
2
21
63
63
3
7
21
21
3
7
7
7
7
1
1
1
Simultáneamente descomponemos en factores
m.c.m. = 2 x 3 x 3 x 7
m.c.m. = 2 x 32 x 7
m.c.m. = 126
INTERVIENEN TODOS LOS FACTORES PRIMOS
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
5) Determinar el mínimo común múltiplo de 75, 15 y 150
Acomodamos los elementos verticalmente
75
15
150
2
75
15
75
3
25
5
25
5
5
1
5
5
1
1
Simultáneamente descomponemos en factores
m.c.m. = 2 x 3 x 5 x 5
m.c.m. = 2 x 3 x 52
m.c.m. = 150
INTERVIENEN TODOS LOS FACTORES PRIMOS
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
MINIMO COMUN MULTIPLO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
Mínimo común múltiplo de 12, 30 y 20
Mínimo común múltiplo de 14, 70 y 35
12
30
20
2
14
70
35
2
6
15
10
2
7
35
35
5
3
15
5
3
7
7
7
7
1
5
5
5
1
1
1
1
1
m.c.m. = 2 x 2 x 3 x 5
m.c.m. = 2 x 5 x 7
m.c.m. = 22 x 3 x 5
m.c.m. = 60
m.c.m. = 70
MINIMO COMUN MULTIPLO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
Mínimo común múltiplo de 10, 30 y 20
Mínimo común múltiplo de 14, 70 y 35
10
30
20
2
14
70
35
2
5
15
10
2
7
35
35
5
5
15
5
3
7
7
7
7
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
m.c.m. = 2 x 2 x 3 x 5
m.c.m. = 2 x 5 x 7
m.c.m. = 22 x 3 x 5
m.c.m. = 70
m.c.m. = 60
MINIMO COMUN MULTIPLO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
Mínimo común múltiplo de 24, 40 y 20
Mínimo común múltiplo de 13, 26 y 65
24
40
20
2
13
26
65
2
12
20
10
2
13
13
65
5
6
10
5
2
13
13
13
13
3
5
5
3
1
1
1
1
5
5
5
1
1
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
m.c.m. = 23 x 3 x 5
m.c.m. = 120
m.c.m. = 2 x 5 x 13
m.c.m. = 130
MENU
MAXIMO COMUN DIVISOR
FACTOR O DIVISOR
NUMERO QUE DIVIDE EXACTAMENTE A OTRO
D
CONJUNTO DE LOS DIVISORES
D36 = ( 1, 2 , 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 )
CONJUNTO FINITO
UNIDAD FACTOR UNIVERSAL
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
OBSERVA
D24 = ( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 )
D20 = ( 1, 2, 4, 5, 10, 20 )
1, 2, 4 SON DIVISORES COMUNES
MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES
4
4 ES EL MAXIMO COMUN DIVISOR DE 24 Y 20
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
OBSERVA
D45 = ( 1, 3, 5, 9, 15, 45 )
D90 = ( 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 )
1, 3, 5, 9, 15, 45 SON DIVISORES COMUNES
MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES
45
¿ QUE SIGNIFICA MAXIMO COMUN DIVISOR ?
MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
FACTORIZACION TOTAL
SE UTILIZA PARA ENCONTRAR EL MAXIMO COMUN DIVISOR
POR EJEMPLO
1) Determinar el máximo común divisor de 18, 36 y 24
Acomodamos los elementos verticalmente
18
36
24
2
Simultáneamente descomponemos en factores
9
18
12
2
9
9
6
2
9
9
3
3
3
3
1
3
1
1
Identificamos divisores comunes
m.c.d. = 2 x 3
m.c.d. = 6
Intervienen algunos factores primos
2) Determinar el máximo común divisor de 15, 18 y 30
Acomodamos los elementos verticalmente
15
18
30
2
Simultáneamente descomponemos en factores
15
9
15
3
5
3
5
3
Identificamos divisores comunes
m.c.d. =
5
1
1
5
3
5
1
m.c.d. = 3
INTERVIENEN ALGUNOS FACTORES PRIMOS
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
3) Determinar el máximo común divisor de 45, 90 y 120
Acomodamos los elementos verticalmente
45
90
120
2
45
45
60
2
45
45
30
2
45
45
15
3
15
15
5
3
5
5
5
5
1
1
1
Simultáneamente descomponemos en factores
Identificamos divisores comunes
m.c.d. = 3 x 5
m.c.d. = 15
INTERVIENEN ALGUNOS FACTORES PRIMOS
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
4) Determinar el máximo común divisor de 42, 63 y 126
Acomodamos los elementos verticalmente
42
63
126
2
21
63
63
3
7
21
21
3
7
7
7
7
1
1
1
Simultáneamente descomponemos en factores
Identificamos divisores comunes
m.c.d. = 3 x 7
m.c.d. = 21
INTERVIENEN ALGUNOS FACTORES PRIMOS
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
5) Determinar el máximo común divisor de 75, 15 y 150
Acomodamos los elementos verticalmente
75
15
150
2
75
15
75
3
25
5
25
5
5
1
5
5
1
Simultáneamente descomponemos en factores
Identificamos divisores comunes
m.c.d. = 3 x 5
1
m.c.d. = 15
INTERVIENEN ALGUNOS FACTORES PRIMOS
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
MAXIMO COMUN DIVISOR
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
Máximo común divisor de 12, 30 y 20
Máximo común divisor de 14, 70 y 35
12
30
20
2
14
70
35
2
6
15
10
2
7
35
35
5
3
15
5
3
7
7
7
7
1
5
5
5
1
1
1
1
1
m.c.d. = 2
m.c.d. = 2 x 5 x 7
m.c.d. = 2
m.c.d. = 70
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
MAXIMO COMUN DIVISOR
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse
Máximo común divisor de 24, 40 y 20
Máximo común divisor de 13, 26 y 65
24
40
20
2
13
26
65
2
12
20
10
2
13
13
65
5
6
10
5
2
13
13
13
13
3
5
5
3
1
1
1
1
5
5
5
1
1
m.c.d. = 13
m.c.d. = 2 x 2
m.c.m. = 13
m.c.d. = 4
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
MENU
APLICACION
RESOLUCION DE PROBLEMAS
PROBLEMA 1
En un parque de diversiones, por su aniversario, cada tercer visitante
recibe una gorra gratis; cada quinto visitante recibe un cartel y cada
décimo visitante recibe una camiseta. ¿ Qué número de visitante será
el primero que recibe los tres regalos ?.
3
5
10
2
3
5
5
3
1
5
5
5
1
1
MINIMO COMUN MULTIPLO
m.c.m. = 2 x 3 x 5
m.c.m. = 30
El visitante número 30, será el primero en recibir los tres regalos
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
PROBLEMA 2
¿ Qué longitud debe tener una alfombra para que pueda cortarse
indistintamente en un número exacto de partes de 12, 15 y 20
decímetros de largo ?.
12
15
20
2
6
15
10
2
3
15
5
3
1
5
5
5
1
1
MINIMO COMUN MULTIPLO
m.c.m. = 2 x 2 x 3 x 5
m.c.m. = 60
La longitud de la alfombra debe ser 60 decímetros
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
PROBLEMA 3
Calcular la raíz cúbica de 729.
729
3
243
3
81
3
27
3
9
3
3
3
3
3
729
=
36
9
1
En una radicación, los exponentes se dividen
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
=
32
PROBLEMA 4
Una persona camina un número exacto de pasos avanzando 60 cm ,
80 cm y 100 cm. ¿ Cuál es la mayor longitud posible de cada paso?.
60
80
100
2
30
40
50
2
MAXIMO COMUN DIVISOR
m.c.d. = 2 x 2 x 5
15
20
25
2
15
10
25
2
15
5
25
3
5
5
25
5
1
1
5
5
m.c.d. = 20
1
20 cm es la mayor longitud de cada paso
PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA
PROBLEMA 5
Tres luces de un anuncio enciende: la verde cada 2 segundos, la roja
cada 5 segundos y la amarilla cada 8 segundos. Si en este momento
de han prendido todas juntas, ¿ dentro de cuánto tiempo volverán a
encenderse las tres al mismo tiempo ?
MINIMO COMUN MULTIPLO
2
5
8
2
1
5
4
2
5
2
2
5
1
5
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 5
m.c.m. = 40
1
A los 40 segundos, las tres luces de colores se encienden al mismo tiempo
PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO
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