Magnitud
Fundamental Dimensión
Longitud
L
Masa
M
Tiempo
T
Sistema
Internacional
SI (MKS)
Sistema
Segesimal
CGS
Sistema
Inglés
Metro
Pie
Centímetro
Cm
m
ft
Kilogramo Gramo
slug
Kg
gr
Segundo Segundo Segundo
S
S
S
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
MAGNITUD
Es cualquier
Que se puede
Puede ser
Vectorial
Escalar
Si posee
Dirección
Si solo posee
Un
Una
Sentido
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Elemento Físico
medir
Que es lo mismo
comparar
Valor numérico
Y una Unidad
Con un
Patrón Establecido
Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente
por un número y una unidad de medida
Camarones
50 Km
En el grafico se
puede observar la
leyenda 50 Km
Esta magnitud se
expresa con solo un
número y una unidad
Las cantidades que se definen con un número y una unidad se
llaman CANTIDADES ESCALARES
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
A las cantidades escalares que se miden con las misma
unidades, se les puede aplicar las reglas de las
operaciones de la aritmética.
50 Km + 72 Km + 26 Km = 148 Km
55 Gl – 30 Gl = 25 Gl.
“El Hombre no es víctima de las circunstancias, él crea sus
propias circunstancias
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Otras cantidades físicas, como el desplazamiento, la
velocidad, la fuerza, etc., además de un número y una
unidad, también tienen dirección y sentido. Estas
cantidades se llaman VECTORIALES o VECTOR
En algunos casos la dirección y el sentido quedan
determinados por un ángulo y un punto cardinal
Rumbo Noreste
Rumbo Norte
Rumbo Este
Pedro G. Ramírez Gutiérrez

Dirección y Sentido

Sentido NO
Plano cartesiano
N
Dirección
120º
30º
O
NE Sentido
Dirección
E
Plano Cartesiano
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
S
Los vectores se representan gráficamente por una flecha
•
Una flecha representa una magnitud por su tamaño
• Una flecha tiene dirección: es el ángulo que forma
con el eje positivo X
• Una flecha tiene sentido: lo indica la saeta de
su extremo final.
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Detener
Deformar
Mover
Tirar
Empujar
A todas estas acciones de
deformar, tirar, empujar,
mover, detener, se les
llama FUERZA
En la diapositiva anterior observamos lo siguiente:
•
DEFORMAR: el monacho acciona sobre el telón.
•
TIRAR: el monacho acciona sobre la tapa del buzón.
•
EMPUJAR: el monacho acciona sobre el morral.
•
MOVER: los monachos actúan sobre los trompos.
• DETENER: el monacho actúa sobre la cuerda y
la cuerda sobre la bomba.
“Podemos concluir que para que exista fuerza deben
interactuar, mínimo, dos cuerpos.”
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Observe que el peso de los
discos deforma la barra.
W
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
W
El peso de los cuerpos tiene
dirección vertical y siempre
tiene sentido hacia abajo
porque es la fuerza con que
la tierra los atrae.
Toda fuerza es un vector porque
tiene magnitud, sentido y
dirección, por eso se representa
con una flecha.
La unidad con que se mide la
fuerza en el SI es Kg·m/s2.
A esta unidad se le ha dado el
nombre de Newton (N) en honor al
físico y matemático inglés ISAAC
NEWTON por haber descubierto
las leyes del movimiento.
En el sistema ingles la fuerza se
mide en libras (lb)
La fuerza es una magnitud deriva de las tres fundamentales
cuya ecuación dimensional es: M·L·T-2
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Con los vectores, como cualquier otra magnitud, se
pueden realizar operaciones matemáticas.
Existen varios métodos para sumar vectores:
Suma Geométrica: es un procedimiento que consiste en
desplazar los vectores, uno a continuación del otro,
respetando de cada uno su dirección y sentido
B
A
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
C
C
B
A
A + B + C
Dados los vectores:
C
B
A
D
E
Para sumarlos procedemos como en el caso anterior:
C
Observe que el polígono se cierra
A
B
D
E
Cuando un polígono se cierra al
sumar vectores, la suma
Vectorial es igual a Cero.
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Observe la siguiente situación:
Se requiere mover el bus
F1 no mueve el bus
F1
F2
F1 más F2 tampoco mueven el bus
Las tres fuerzas aplicadas al tiempo hacen que el
bus se mueva
Podemos concluir que cuando las fuerzas tienen igual
Sentido se suman como cantidades escalares
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Las tres imágenes presentan
fuerzas de sentido contrario:
El perro tira hacia delante y el niño hacia atrás, pero el perro avanza.
¿por qué?
La cometa tira hacia arriba y el niño hacia abajo. No hay avance. ¿por qué?
El pez tira hacia abajo y el pescador hacia arriba, el pez sale. ¿por qué?
Concluimos que cuando dos vectores tienen sentido
opuesto se restan como escalares.
Pedro G. Ramírez Gutiérrez
Sobre un bloque de 200 Kg de masa, colocado sobre una mesa que produce
una fuerza de fricción FR = 45 N, se aplican dos fuerzas F1 y F2 como nos
indica la siguiente gráfica.
F2 = 95 N
F1= 100 N
FR = 45 N
La fuerza neta que actúa sobre el bloque es la
indicada en:
240 N
240 N
150 N
150 N
Sobre un bloque de 200 Kg de masa, colocado sobre una mesa que produce
una fuerza de fricción FR = 45 N, se aplican dos fuerzas F1 y F2 como nos
indica la siguiente gráfica.
F2 = 95 N
F1= 100 N
FR = 45 N
La fuerza neta que actúa sobre el bloque es la
indicada en:
195 N
195 N
50 N
50 N
Dos Vectores son rectangulares cuando forman un
ángulo de 90º, es decir, cuando son
perpendiculares.
Ejemplo:
B
Se necesita mover
el bloque
B
A
A
¿Cómo se suman estas fuerzas?
1º : Trazamos paralelas a cada
Fuerza, por el extremo de la otra, para formar un paralelogramo y luego
trazamos la diagonal, la cual es la suma de los dos vectores.
2º : Para calcular la fuerza neta aplicamos el teorema de Pitágoras
¿Cuál es la resultante de una fuerza de 5 N dirigida horizontalmente a la
derecha y una de 12 N dirigida verticalmente hacia abajo?
β
5 N
12 N
θ
• Trazamos paralelas a las dos fuerzas para formar
un rectángulo
• Trazamos la diagonal del rectángulo que es la fuerza
resultante
• Aplicamos el teorema de Pitágoras
FN =
( 5N ) 2 + (12N )2 =
2
25N 2 + 144 N2 = 169N = 13N
¿ Cómo podemos conocer la dirección de la fuerza neta?
La gota horada la piedra, no por su fuerza, sino por su constancia.
OVIDIO
β
5 N
Sabemos que la dirección de un vector es el ángulo positivo
que forma el con el eje X, para el caso β.
θ
12 N
12 N
Pero podemos calcular el ángulo θ y luego por sustracción
calcular el ángulo β, porque β + θ = 360º
12N
Tan θ =
= 2,4
5N
θ = 67,38º
⇨ Tan-1 2,4 =
67,38013505
por lo tanto β = 360º - 67,38º = 292,62º
Estas unidades se pueden convertir a grados, minutos y segundos así:
67,38013505
º ‘ “
67º 22’ 48’’
Este es el valor del ángulo θ
β = 360º - θ = 360º - 67º 22’ 48” = 292º 37’ 12”
360 º ‘ “
- 67
º ‘ “
22
º ‘ “
48
º ‘ “
=
“En todo triángulo la medida de los lados es directamente
proporcional a los senos de los ángulos opuestos”.
B
c
A
a
a
b
c
=
=
SenA SenB
SenC
C
b
Esta proporción se puede convertir en tres equivalentes, así:
a
b
=
SenA
SenB
a
c
=
SenA SenC
b
c
=
SenB
SenC
Mediante este teorema podes sumar vectores de dos en dos, aplicando el
método del triángulo obtusángulo.
La esperanza debe fundarse en la razón, porque la fantasía se funda en
la locura. CLEMENCEAU
B
a
c
C
b
A
En el triángulo ABC, se conocen el ∠ A = 25º, ∠ C = 30º y a = 3 cm.
Calculemos los elementos que faltan conocer: a, c y ∠ B
Solución:
Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo
es 180º, por lo tanto:
∠ B + 25º + 30º = 180º
Despejando:
∠ B = 180º - 25º - 30º
Ahora aplicamos el teorema del seno:
⇨ ∠ B = 125º
3 cm.
c
=
Sen 25º Sen 30º
3 cm. x Sen 30º
c=
c ≈ 3,55 cm.
Sen 25º
b
3 cm.
3 cm. x Sen 125º
=
b=
b ≈ 4,9 cm.
Sen 125º Sen 30º
Sen 30º
Despejando:
“En todo triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de dichos
lados por el coseno del ángulo que forman”
B
c
A
a
b
C
a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
b2 = a2 + c2 - 2acCosB
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
El hombre fuerte crea sus acontecimientos; el débil sufre
los que le impone el destino. ALFRED DE VIGNY
Calcular la fuerza que mueve el cuerpo
40º
Dos vectores que forman ángulos diferentes de 90º se suman de dos
maneras: Por el método del paralelogramo o por el método del triángulo.
Método del Paralelogramo
40º
Método del Triángulo
En el método del Paralelogramo observe:
Si prolongamos F2
40º
140º
40º
En el método del triángulo observe:
140º
40º
El triángulo formado por
FN, F2 y la paralela de F1,
en el paralelogramo, es
congruente con el triángulo
formado por FN, F1 y F2
Se puede concluir que:
El método del triángulo es un caso especial del método del paralelogramo y
por lo tanto por cualquiera de los dos se pueden hace los cálculos.
140º
40º
Como sólo se conoce los
vectores F1 y F2 y el
ángulo formado por ellos,
tenemos que utilizar el
teorema del Coseno
b
c
a
c
a
b
=
=
=
SenB
SenC
SenA SenC
SenA SenB
b2 = a2 + c2 - 2acCosB
a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
¿Cuál de las seis ecuaciones anteriores podemos utilizar?
FN = F12 + F22 _ 2F1F2Cos 140º
FN =
Reemplazando
( 35 N)2 + ( 30 N)2 _ 2( 35 N)(30 N)(Cos 140º )
FN ≈60 N
Se trata ahora de calcular los ángulos que hacen falta del triángulo
A
140º
40º
B Como conocemos los tres
lados y un ángulo, se
puede aplicar el teorema
del Seno.
60 N
30 N
=
Sen 140º Sen A
30 N x Sen140º
SenA=
60 N
SenA = 0,321393
Sen-1 ANS = 18,75º
∠ B = 180º - 140º - 18,75º
⇨
∠ B = 21,25º
El
vector
F
se
puede
descomponer en dos vectores que
Fy
son sus proyecciones en los ejes
de coordenadas
PROCEDIMIENTO:
FX
1. Se trazan perpendiculares a los ejes de
coordenadas
por los extremos del vector.
F
2. Los vectores Fx y Fy son las componentes
rectangulares del vector F
Cuando veas un gigante, examina antes la posición del sol, no
vaya a ser la sombra de un pigmeo.
Novalis
El vector F forma con el eje X el ángulo
agudo β
FY
FY
La línea punteada perpendicular a X es
congruente con FY por lo tanto la
β
podemos reemplazar
FX
Ahora tenemos un triángulo rectángulo formado por los
vectores F (hipotenusa), FX (cateto adyacente al ∠ β) y FY
(cateto opuesto al ∠ β)
Luego FY = F sen β
FY
F
Entonces :
y
Sen β =
FX F
Cos β =
F
Por tanto
FX = F Cos β
Estas dos ecuaciones nos permiten calcular
componentes rectangulares de cualquier vector
las
FY
FY
75º
FX
Calcular las componentes rectangulares
de una fuerza de 60 N que forma con
la horizontal un ángulo de 75º
Solución:
Trazamos un esquema que interprete el
problema
¿Se puede aplicar el teorema de Pitágoras?
Ahora aplicamos las ecuaciones anteriores
Fy =F·Senθ
FY = 60 N Sen 75º ≈ 58 N
FX = F·Cosθ
FY = 60 N Cos 75º ≈ 15,5 N
Se usa para sumar dos o más de dos vectores al
mismo tiempo así:
F
F1
170º
260
º
30º
F2
Para sumar estos vectores se requiere
descomponer cada uno de ellos en sus componentes
rectangulares.
AY
B = 13
BY 170º
N
BX
A = 15
N
43º
AX
AY = 10,2 N
BY = 2,3 N
BX = 12,8 N
AX = 10,9 N
1. Descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares.
2. Calcular el valor de dichas componentes, mediante las
ecuaciones AX = A·Cosθ y AY = A·Senθ. Este cálculo se
hace por cada Vector.
AY = 15 N·Sen 43º = 10,2 N
AX = 15 N·Cos 43º = 10,9 N
BX = 13 N·Cos 170º = 12,8 N
BY = 13 N·Sen 170º = 2,3 N
La imaginación es más importante que el conocimiento.
Einstein
AY = 10,2 N
FN
Y = 12,5
N
θ
X = - 1,9 N
BY = 2,3 N
AX = 10,9
BX = 12,8 N
N
3. Se suman algebraicamente
los vectores de cada eje.
X = AX – BX = 10,9 N – 12,8 N ⇨ X = - 1,9 N
Y = AY + BY = 10,2 N + 2,3 N ⇨ Y = 12,5 N
4. Se suman los dos vectores rectangulares X y
Y mediante el teorema de Pitágoras F = ∑ + ∑
N
F = (1,9 N) + (12,5 N)
2
N
2
2
x
2
y
= 12,6 N
La dirección del FN, se calcula Utilizando la Tangente de 
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Diapositiva 1