Conceptos básicos
Probabilidad
 A la Estadística Descriptiva le concierne el
resumen de datos recogidos de eventos pasados.
 A la Estadística Inferencial le concierne el cálculo
de la probabilidad de que algo ocurra en el futuro.
 En muchas situaciones, la toma de decisiones se
efectúa en condiciones de incertidumbre.
 La teoría de la probabilidad resulta muy útil en
estos casos.
Enfoques de la probabilidad
 Clásico. Los resultados de un experimento son
igualmente posibles.
No. de resultados favorables
p ( x) 
No. total de posibles resultados
 Empírico ó de frecuencia relativa. Se basa en el
número de veces que ocurre el evento.
No. de veces que el evento ocurre
p( x) 
No. total de observaciones
 Subjetivo. Se basa en la probabilidad que le
asignen a determinado evento, personas con
experiencia en el campo y que tengan más
información.
Distribuciones de Probabilidad
 Una distribución de probabilidad es un listado de
todos los resultados de un experimento y la
probabilidad asociada con cada resultado.
 Por ejemplo, si se lanza al aire una moneda.
Evento E(x)
Probabilidad P(x)
Aguila
0.5
Sello
0.5
Total
1
Algunos conceptos
 Variable aleatoria. Cantidad que resulta de un
experimento que, por azar, puede adoptar
diferentes valores.
 Por ejemplo, si se cuenta el número de alumnos
que no vinieron hoy a clase, puede tomar valores
de 0, 1, 2, . . . El número de ausencias es una
variable aleatoria.
 Variable aleatoria discreta. Adopta solamente
valores claramente separados (el ejemplo de la
moneda).
 Variable aleatoria continua. Resulta de un proceso
de medición, por lo que no conoceremos el
resultado exactamente.
 Las variables aleatorias discretas y continuas , al
organizar sus posibles valores, forman las
distribuciones de probabilidad discretas y
continuas, respectivamente.
Algunos ejemplos de distribuciones discretas
y continuas
Distribuciones de probabilidad
discretas
Distribuciones de probabilidad
continuas
El número de águilas en tres
lanzamientos de una moneda.
El peso de cada estudiante de la clase.
El número de estudiantes que
obtuvieron 100 en el examen pasado.
La temperatura ambiente en esta aula.
El número de obreros que se ausentaron La duración de cada canción en el
hoy en el segundo turno.
último álbum de Tim McGraw.
El número de comerciales de 30
segundos que pasan en la NBC de 8 a 11
de la noche.
Las medidas de Maribel Guardia.
Distribuciones de probabilidad
discretas
 Binomial
Características:
1. Los resultados pueden ser éxito ó fracaso.
2. La v.a. permite contar el número de éxitos en una
cantidad fija de pruebas.
3. La probabilidad de éxito y fracaso es la misma
para cada prueba.
4. Las pruebas son independientes, es decir, el
resultado de una prueba no influye en el
resultado de otra prueba.
 Modelo matemático.
n!
p x q n x
x !(n  x)!
Donde :
n =No. de elementos de la muestra.
x =No. de éxitos de la muestra.
p =Probabilidad de éxito.
q =Probabilidad de fracaso = 1  p
p( x) 
El 5% de los engranajes de tornillo producidos en una fresadora
automática de alta velocidad Carter-Bell se encuentra defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que, en seis engranajes seleccionados
al azar ninguno se encuentre defectuoso?¿Exactamente
uno?¿Todos?
 Hipergeométrica.
Características
1. Los resultados pueden ser éxito ó fracaso.
2. La v.a. es el número de éxitos de un número fijo
de pruebas.
3. Las pruebas no son independientes.
4. Los muestreos se realizan con una población
finita sin reemplazo, por lo que la probabilidad
de éxito cambia en cada prueba.
 Modelo matemático
 A  N  A 
 

x
n

x

p ( x)   
N
 
n 
Donde :
A  No. de éxitos en la población.
N = No. de elementos de la población.
x  No. de éxitos en la muestra.
n =No. de elementos de la muestra.
 Play Time Toys tiene 50 empleados en el área de ensamble. Cuarenta
empleados pertenecen al sindicato y diez no. Se eligen al azar cinco
empleados para formar un comité que hablará con la empresa sobre los
horarios de inicio de los turnos.¿Cuál es la probabilidad de que cuatro
de los cinco empleados pertenezcan al sindicato?
 Poisson.
Características
1. La v.a. es el número de veces que ocurre un
evento durante un intervalo definido.
2. La probabilidad de que ocurra el evento es
proporcional al tamaño del intervalo.
3. Los intervalos no se superponen y son
independientes.
 Modelo matemático
p( x) 
 x e
x!
Donde :
 =Promedio histórico.
e=Constante con valor de 2.7182...
x =No. de éxitos en la muestra.
Un promedio de dos automóviles ingresan por minuto a cierta
autopista. La distribución de ingresos se aproxima a una
distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún
automóvil ingrese en determinado minuto?
Distribuciones de Probabilidad
Continuas
 Distribución normal.
Características.
1. Tiene forma acampanada.
2. El área total bajo la curva es igual a 1.0
3. La media, mediana y moda son iguales y están en
el centro de la curva.
4. Las colas de la curva se extienden
indefinidamente en ambas direcciones.
 Modelo matemático

1
p ( x) 
e
 2
( x   )2
2 2
Estandarización
de
datos
x
z

ó
xx
z
s
 Un grupo de alumnos obtuvo 85 como promedio general en un examen
con una desviación estándar de 6. Convertir las siguientes
calificaciones a unidades estándar (a unidades z).
 A) 90
 B) 70
 C) 85
Cálculo de áreas bajo la curva
normal
 De z = 0 a z = 1.23
 De z = 0 a z = -2.14
 De z = -1.28 a z = 3.11
 De z = 0.46 a z = 1.83
 De z = -1.45 a z = -0.28
 A la derecha de z = -2.44
 A la izquierda de z = -2.56 y a la derecha de z = 3.22
Aplicaciones
 Un grupo de 40 alumnos obtuvo 85 como promedio general en
un examen con una desviación estándar de 6. ¿Cuántos alumnos
aprobaron?
 De acuerdo a cifras del gobierno, el reembolso medio de
impuestos en 2004 fue de $2,454. Suponga que la desviación
estándar es de $650 y que las sumas devueltas tienen una
distribución normal.
a) ¿Qué porcentaje de reembolso son superiores a $3,000?
b)¿Qué porcentaje son superiores a $2,500 e inferiores a
$3,500?
Distribuciones muestrales
 En la práctica, cuando se investiga ya sea un nuevo
producto, la proporción de votantes que se inclinará
por un candidato, etc., no se toma un elemento de la
población para su estudio y luego otro elemento, etc.,
sino se toma una muestra de determinado tamaño;
por lo tanto, tendremos que trabajar con
distribuciones muestrales.
Razones para muestrear
 Establecer contacto con toda la población requeriría
mucho tiempo.
 El costo de estudiar todos los elementos sería
prohibitivo.
 Es imposible verificar de manera física todos los
elementos de la población.
 Algunas pruebas son de naturaleza destructiva.
 Los resultados de la muestra son adecuados.
Distribución muestral de la media
Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años
en el trabajo de tres maestros del tecnológico.
Maestro
Antigüedad
A
6
B
4
C
2
Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias
de tamaño 2 sin reemplazo.
a) ¿Cuál es la media de la población?
b) ¿Cuál es la desviación estándar de la población?
c) ¿Cuál es la distribución muestral de la media para
muestras de tamaño 2?
d) ¿Cuál es la media de la distribución muestral de
la media?
Teorema del Límite Central
 Si todas las muestras de un tamaño particular se
seleccionan de cualquier población, la distribución
muestral de la media se aproxima a una distribución
normal. Esta aproximación mejora con muestras más
grandes.
 Si el tamaño de la muestra (n) es igual ó mayor a 30,
podemos considerar que los datos proceden de una
distribución normal.
 La importancia del TLC es que nos permite usar
estadísticas de la muestra para hacer inferencias
sobre parámetros de la población, sin saber la forma
de la distribución de frecuencia de esa población,
más que lo que podamos obtener de la muestra.
Aplicación del TLC
 La distribución de los ingresos anuales de todos los
cajeros de un banco con cinco años de experiencia
está sesgada negativamente (hacer gráfica). Esta
distribución tiene una media de $19,000 y una
desviaciós estándar de $2,000. Si extraemos una m.a.
de 30 cajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que sus
ganancias promedien más de $19,750?
Ejemplos de distribuciones muestrales de una
media con desviación estándar poblacional
conocida
 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración
que se distribuye aproximadamente en forma normal, con
media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas.
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16
focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.
 Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas
aproximadamente en forma normal con una media
de 174.5 centímetros y una desviación estándar de
6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras
aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta
población, determine:
 El número de las medias muestrales que caen entre
172.5 y 175.8 centímetros.
 El número de medias muestrales que caen por debajo
de 172 centímetros.
Distribución t de Student
 Desarrollada por William Gossett.
 Publicó su trabajo con el seudónimo de Student.
 La distribución t es más bien una familia de distribuciones cuya
forma (y valores )dependen de los grados de libertad.
 Tiene forma acampanada y es simétrica.
 La distribución t es más densa en las colas y más baja en el
centro que la distribución de z.
 Se utiliza cuando el tamaño de muestra es pequeño y se
desconoce la varianza poblacional (es lo que ocurre más
frecuentemente).
Ejemplos de distribuciones muestrales de una media con
desviación estándar poblacional desconocida
 Suponga que un fabricante de alambre de acero afirma
que la fuerza requerida para romper una clase de
alambre dada es de 500 libras. Para probar ésto, se toma
una muestra de 25 piezas de este tipo de alambre y se
somete a tracción. La media y la desviación estándar
resultan 465 libras y 55 libras, respectivamente.
Suponiendo que los esfuerzos de rotura se pueden
considerar como una muestra aleatoria tomada de una
población normal con μ = 500 ¿Qué podemos decidir
respecto a la afirmación del fabricante?
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