Combinación de Programas
Lógicos y Redes Bayesianas
y su Aplicación a Música
Eduardo Morales
Enrique Sucar
Roberto Morales
Contenido
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Introducción
Redes Bayesianas
Redes Bayesianas + nodos “lógicos”
Mecanismo de razonaminto
Ejemplo musical (1)
Redes Bayesianas dinámicas
Ejemplo musical (2)
Conclusiones y trabajo futuro
Introducción
Las dos áreas más utilizadas para representar
conocimiento en una máquina son:
• Lógica: permite representar objetos, sus
propiedades, y relaciones con otros objetos
• Probabilidad: permite representar y manejar
información con incertidumbre
Propuesta
Este trabajo de investigación plantea como
combinar:
• Cláusulas de Horn: aprovechando su
capacidad expresiva
con
• Redes Bayesianas: aprovechando su manejo
eficiente de información con incertidumbre
Redes Bayesianas
• RB son una herramienta poderosa para
tratar incertidumbre
• Utilizan una representación gráfica de
dependencias entre variables aleatorias
– Nodos: variables proposicionales
– Arcos: dependencias probabilísticas
Redes Bayesianas (2)
• RB representan relaciones de
independencia condicional. Por
ejemplo, E es independiente de
{A,C,D} dado {B}
Redes Bayesianas (3)
• Mecanismo de Razonamiento: propaga
evidencia (variables conocidas) a
través de la red hasta obtener
probabilidades posteriores (de
variables desconocidas)
• Expresividad: RB están limitadas a un
formalismo proposicional
Representación Musical
Una representación en música debe de
incluir:
• Relaciones entre notas, voces,
métricas, ...
• Preferencias entre notas, métricas,
reglas, ...
Representación Musical (2)
Una representación natural es:
• Lógica de primer orden para
representar relaciones entre objetos
musicales
• Distribuciones de probabilidad para
expresar preferencias entre objetos
musicales
Propuesta:
Utilizar redes Bayesianas para expresar
preferencias musicales y extenderlas con
lógica de predicados para expresar
relaciones
Propuesta (2):
: Nodo lógico
: Nodo con
variable aleatoria
Z puede ser:
• Binario (T ó F): relación(X,Y)
• Multivaluado: relación(X,Y,Z)
Razonamiento
• La distribución de probabilidad de “z”
depende de los valores de “x” y “y”, y
de que la relación “R” se satisfaga o no
para esos valores
P( z )    R( x, y ) P( y ) P( x)dydx
x y
Razonamiento (2)
Considerando variables discretas:
P( z )   R( x, y ) P( x) P( y )
x
y
Para obtener P(z) tenemos que
evaluar la relación para todos los
posibles valores no instanciados de
“x” y “y”
Ejemplo (2)
Supongamos:
z  rel ( x, y )  x  y
x
y
>
P ( x  1)  0.7
P ( y  0)  0.4
P ( x  3)  0.3
P ( y  2)  0.6
Si x  1 :
P ( z  true)  0.4
P ( z  false)  0.6
Ejemplo (3)
Si x  3 ó y  0 :
P ( z  true)  1.0
P ( z  false)  0.0
Si y  2 :
P ( z  true)  0.3
P ( z  false)  0.7
Si x y y son desconocid as :
P ( z  true)  0.58
P ( z  false)  0.42
Razonamiento (3)
Alternativamente, podemos:
(i) calcular “fuera de línea” la relación para
todos los posibles valores de las variables
involucradas
z=true x=1
x=3
z=false x=1
x=3
y=0
1
1
y=0
0
0
y=2
1
0
y=2
0
1
Razonamiento (4)
(ii) Construir un nodo determinístico
(iii) incluirlo directamente en una RB
Razonamiento (5)
• La estrategia “en línea”:
– Evalua solo las filas y columnas de las
variables desconocidas
– Puede ser útil cuando el tamaño de la
tabla de probabilidad condicional es
“muy grande”
– Se puede utilizar con variables continuas
usando técnicas de muestreo sobre
distribuciones de probabilidad
Razonamiento (6)
• La estrategia “fuera de línea”:
– Está limitada a variables discretas con
tablas de probabilidades condicionales
“pequeñas”
– Se calcula solo una vez y puede utilizarse
con cualquier herramienta de RB
Aplicación a Música
Aplicación a Música (2)
Para aplicar la representación propuesta
a análisis de contrapunto, necesitamos:
1. Distribuciones de probabilidad
(expresando preferencias) sobre:
• Notas de cantus firmus
• Reglas de contrapunto
• Métricas
Aplicación a Música (2)
2. Relaciones entre notas (considerando
métricas) expresando las reglas de
contrapunto
3. Distribuciones de probabilidad sobre
las notas de contrapunto
Algunas Relaciones Musicales
• Consonancia perfecta: quinta, octava,
unisono, docena_mayor.
• Consonancia imperfecta: tercera, sexta y
decima (mayor y menor)
• Disonancia: el resto.
• Movimientos de pares de notas: contrario,
oblicuo y paralelo.
Ejemplo de Mov. Contrario
Reglas de Contrapunto
• Primera: de consonancia perfecta a perfecta
en movimiento contrario u oblicuo
• Segunda: de consonancia perfecta a
imperfecta en cualquier dirección
• Tercera: de consonancia imperfecta a
perfecta en movimiento contrario u oblicuo
• Cuarta: de consonancia imperfecta a
imperfecta en cualquier dirección
Posible Pedazo de Nodo Lógico
regla(Int1, Int2, Mov1, Mov2, uno) :cons_dis(Int1,cons_perf),
cons_dis(Int2,cons_perf),
movimiento(Mov1,Mov2,Tipo),
member(Tipo,[contrario,oblicuo]).
Aplicación a Música (3)
Aplicación a Música (5)
Esta representación nos permite:
• Sugerir las notas de contrapunto y/o de
cantus firmus más probables
• Analizar qué regla de contrapunto se usa en
ciertas notas
• Sugerir notas y reglas de contrapunto
siguiendo las distribuciones de probabilidad
a priori
Representación Temporal
• En música es importante representar
relaciones temporales
• En redes Bayesianas dinámicas, los
valores de ciertas variables en un
tiempo pueden afectar los valores de
otras variables en tiempos futuros
Representación Temporal (2)
Ejemplo Musical Din.
En nuestro ejemplo musical necesitamos
ligar nodes de tiempos anteriores y
repetir la misma estructura N-2 veces,
donde N es el número de notas en el
cantus firmus
Ejemplo Musical Din. (2)
Ejemplo Musical Din. (3)
A partir de:
• do, mi (cf)
• sol (cp)
• r1, r2 y r4
Capacidades de la
Representación
• La red se puede usar para análisis
musical, p.ejem., estimar las reglas
de contrapunto más probables
• Conociendo las notas de
contrapunto, estimar los valores
más probables del cantus firmus y
de las reglas utilizadas
Capacidadesa de la
Representación (2)
• La red puede usarse para generar
música siguiendo las distribuciones de
probabilidad y las relaciones
expresadas en ella
Conclusiones
• La combinación de redes Bayesianas
con lógica es un poderoso formalismo
para representar conocimiento y
razonar con él
• La representación puede servir para
análisis y composición musical y en
principio para otros dominios
Trabajo Futuro
• Probar la propuesta con un ejemplo
musical “grande” y en otros dominios
• Extender la representación a variables
continuas con técnicas de muestreo
• Aprender la red a partir de datos
musicales y conocimiento del dominio
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Descubrimiento de Conocimiento en Bases de Datos