Javier de Jesús Cortés Aguirre.
Pablo Barrera Sánchez.
Guilmer González Flores.
Facultad de Ciencias, UNAM.
Escuela Nacional de Optimización y Análisis Numérico.
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Marzo 2010.
1.
Problema principal.
2.
Estado del arte.
3.
Principales aportaciones.
4.
Trabajo futuro.
5.
Bibliografía.
1. Problema principal.
En diversas aplicaciones es de gran utilidad tener una malla
estructurada de buena calidad con el fin de hacer simulaciones
numéricas de fenómenos de la vida real.

Sea convexa y hexaedral estructurada.

Tenga características geométricas afines al problema a resolver.

Sea aprovechable por métodos de elemento o volumen finito.
1. Problema principal.
Algunas aplicaciones:

Modelación de yacimientos de
hidrocarburos y de aquíferos.

Estudio de diversas aplicaciones referentes
a la solución de las ecuaciones de aguas bajas
(Shallow water equations).
1. Problema principal.
Algunas aplicaciones:
2. Estado del arte.
Mallas hexaedrales estructuradas.




Proceso de generación costoso.
Mayor precisión con menos Elementos.
Menor número de iteraciones en los
métodos de elemento finito.
Son preferidas en ciertas aplicaciones.
Mallas con tetraedros.
Proceso de generación económico.
Precisión similar con un mayor no. de
elementos (un orden de magnitud).
Mayor número de iteraciones.
2. Estado del arte.
El mapeo debe inducir una descomposición natural de la frontera de la
región en seis caras
6
x (B )   
i
i 1
2. Estado del arte.

Ivanenko [6] define un método variacional para generar mallas armónicas y
3
convexas. Considera a una malla x( ) sobre una región    simplemente
conexa como un homeomorfismo
x:B 
donde B es el cubo unitario [0,1] x [0,1] x [0,1].
2. Estado del arte.
Un tipo especial de mapeo es el mapeo armónico, el cual da propiedades
de suavidad a la malla. Sea la energía local del mapeo
E( x ) 
1
x

2
 x
2
 x
x   x  x
3/ 2
3
2

3/ 2

Ivanenko define al mapeo armónico como el mínimo del funcional de
energía
H ( x )   E (x )d  d d  .
B
Liseikin [11] muestra que el mapeo existe y es un homeomorfismo.
2. Estado del arte.
Si consideramos una malla uniforme de dimensión m x n x p sobre el
cubo unitario


 i 1 j 1 k 1 
U   i , j ,  k   
,
,
 1  i  m,1  j  n,1  k  p 

 m 1 n 1 p 1 


podemos aproximar al funcional continuo como
 E ( x )d d d   
U
i , j ,k B
i , j ,k
E ( x )d d d
2. Estado del arte.
Para ello es necesario aproximar al mapeo x por un mapeo trilineal
r ( , ,  )  w1  w2  w4  w5  w3  w6  w8  w7
con
w1  r1 ,
w2  r2  r1 ,
w3  r3  r2  r4  r1 ,
w4  r4  r1 ,
w5  r5  r1 ,
w6  r6  r2  r5  r1.
El Jacobiano del mapeo está dado por
J  r  ( r  r )
el cual es un polinomio de cuarto grado que depende de  , ,  .
2. Estado del arte.
Una alternativa dada por Azarenok consiste en considerar a los 2
dodecaedros que resultan de hacer los cortes sobre las diagonales de
la celda.
5
8
7
6
1
D1
4
2
3
5
8
7
6
1
D2
4
2
3
2. Estado del arte.
5
5
8
6
7
8
7
6
1
4
1
2
3
2
3
Se puede ver que
J (Tl )  6* vol (Tl )
la positividad de los volúmenes de los tetraedros garantiza la
positividad del Jacobiano y a su vez la invertibilidad del mapeo.
2. Estado del arte.
Podemos obtener una aproximación del funcional en cada celda
calculando el promedio sobre los 10 tetraedros
10

E ( x , x , x )d  d d   
i 1
Bi , j ,k
1
10
[ Ei ]
y por tanto una versión discreta del funcional de energía
H (M ) 
d
1
Nc
Nc
10
1
 10 [ E ]
i
j
j 1 i 1
El problema a resolver está dado por:
Obtener :
M *  arg min H ( M )
d
M
el cual es un problema de optimización a gran escala sin restricciones.
2. Estado del arte.

Dentro de los aportes que ha realizado Ushakova [14] destaca el proporcionar
una condición barata y suficientemente robusta para detectar un número
razonable de celdas no convexas.
volumen (Tl )  0,
l  1, 2,...,10
3. Principales aportaciones.
La discretización del funcional de energía dada por Azarenok
H (M ) 
d
1
Nc
Nc
10
1
 10 [ E ]
i
j
j 1 i 1
está bien definida solo para mallas convexas.
Recordando que el integrando del funcional es de la forma  ( x ) , con
v( x )  x   x  x   vol (Tij )

v( x )
Nuestro interés principal consistirá en extender la solución del
problema, mediante un funcional quasi-armónico utilizado con éxito
para la generación de mallas en 2D (Barrera, Domínguez Mota [2]).
3. Principales aportaciones.
La idea principal del funcional quasi-armónico consiste en utilizar un
parámetro de control 
vol (Tij )  
 (2  v)
,

 2
 (v)  
1

,

v

x


2

2
 x
v 
,
v 
2
 x

3/ 2
3/ 2
,
3
H 
1
Nc
Nc
10
1
  10
n 1 m 1
nm

nm
3. Principales aportaciones.
Por tanto, el problema a resolver es el siguiente:
M *  arg min H  ( M )
Obtener :
M
Algoritmo:
a) Partir de una malla inicial M0.
b) Elegir 0  0 inicial.
c) Obtener M *  arg min H ( M ) usando un método de Newton truncado.

M
d) Actualizar
M0  M
0 
e)
1
2
*
0
Repetir el proceso hasta encontrar una malla armónica convexa.
3. Principales aportaciones.
3. Principales aportaciones.
Problema.
Al realizar el proceso anterior, la malla obtenida no tiene, en general,
todas las caras de sus celdas planas, es decir, no todas son
hexaedros.
3. Principales aportaciones.
Tomando las caras de la celda como un tetraedro, es posible aplicar la
siguiente condición
k  Vl  tol
sin embargo obtenemos ahora un problema de optimización a gran escala
con restricciones.
3. Principales aportaciones.
Utilizamos una penalización del tipo
6
C  ki
2
i 1
la cual agregamos al valor del funcional.
Así obtenemos el problema de optimización a gran escala sin
restricciones dado por:
Obtener :
NCF 6

*
2 
M  arg min  H  ( M )  C  k( li ) 
M
l 1 i 1


el cual está bien definido para el caso en que se busque generar una
malla con todas sus celdas interiores hexaedrales.
3. Principales aportaciones.
Al realizar experimentos numéricos con la condición de coplanaridad
mencionada, existen casos en los que el método no logra converger a una
malla hexaedral.
Malla
Cos 5-5-10
Cisne 7-7-5
Pico 10-10-10
¿Se obtiene coplanaridad por
el criterio 1?
No.
Vol max =0.0243004. Hay
un 100% de celdas no
hexaedrales.
No.
Vol max =4.96*10-5.
Hay un 97% de celdas no
hexaedrales.
No.
Vol max =0.00036997.
Hay un 77% de celdas no
hexaedrales.
3. Principales aportaciones.
En vista de este problema, se ha formulado una nueva condición de
coplanaridad.
N
D
N  AB  AD

t
C
A
k  cos( ) 
N AC
N
B
AC
 tol
3. Principales aportaciones.
Malla
Cos 5-5-10
Cisne 7-7-5
Pico 10-10-10
Bote 15-15-10
¿Se obtiene coplanaridad
por el criterio 1?
¿Se obtiene coplanaridad
por el criterio 2?
¿Existe coplanaridad por
el criterio 1 al converger
el crierio 2?
No.
Vol max =0.0243004. Hay
un 100% de celdas no
hexaedrales.
Si.
Cos max = 3.64*10-8
Si.
Vol max = 4.53*10-6
No.
Vol max =4.96*10-5.
Hay un 97% de celdas no
hexaedrales.
Si.
Cos max = 3.52*10-8
Si.
Vol max = 6.97*10-6
No.
Vol max =0.00036997.
Hay un 77% de celdas no
hexaedrales.
Si.
Cos max = 1.88*10-8
Si.
Vol max = 1.47*10-9
Si.
Vol max = 7.38*10-10
Si.
Cos max = 1.22*10-8
Si.
Vol max = 2.6*10-10
3. Principales aportaciones.
a)
Algoritmo:
Partir de una malla inicial convexa M0 (obtenida por el proceso anterior).
b)
Elegir 0  108 , C  1/(2  ) con  iniciando en 0.1 y tol =102.
NCF 6


2
c) Obtener M  arg min  H ( M )  C  k  usando

( lj )
M
l

1
j

1


truncado.
*
d)
Actualizar
M0  M
un método de Newton
*
  0.1
e)
Repetir el proceso hasta encontrar una malla armónica convexa y hexaedral.
3. Principales aportaciones.
3. Principales aportaciones.
El artículo describe una clase de mallas cuadrilaterales y hexaedrales
para resolver EDP’s hiperbólicas en dominios circulares y esféricos.
Haciendo uso del sistema CLAWPACK, se calcula la solución usando
métodos de volumen finito.
Ondas de choque.
3. Principales aportaciones.
Las mallas utilizadas para realizar las simulaciones son las siguientes:
3. Principales aportaciones.
Condiciones iniciales:




p = 5 dentro de una esfera de radio 0.2 centrada en x = y = 0, z = −0.4.
Fuera de esta esfera, p = 1.
La densidad y velocidades iniciales son igual a 1 y 0 respectivamente.
Condiciones de pared sólida.
3. Principales aportaciones.
Simulación sobre las 2 mallas de la esfera.
t = 1.20
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
Simulación sobre la malla radial.
t = 1.20
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
Simulación sobre la malla
armónica convexa y hexaedral.
3. Principales aportaciones.
Simulación sobre el elipsoide realizada con una malla armónica convexa y hexaedral
t = 1.20
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
4. Trabajo futuro.

Analizar las posibles formas de generar mallas iniciales, sobre todo en
regiones con una geometría compleja.

Continuar con la experimentación y calibración de los diversos
funcionales.

Estudiar más aplicaciones en EDP’s.
5. Bibliografía.
[1] Azarenok B., A variational hexaedral grid generator with control metric. Journal of
Computational Physics 218 (2006), pp. 720-747.
[2] Barrera P., Castellanos L., Domínguez-Mota, F.J., González G. y Pérez A., Adaptive
discrete harmonic grid generation. Mathematics and Computers in Simulation 79 (2009), pp.
1792-1809.
[3] Benzley S. E., Perry E., Merkley K., Clark B. y Sjaardema G., A Comparison of AllHexahedral and All-Tetrahedral Finite Element Meshes for Elastic and Elasto-Plastic Analysis.
Proceedings, 4th International Meshing Roundtable, 179-191 (1995).
[4] Cifuentes A.O. y Kalbag A., A Performance Study of Tetrahedral and Hexahedral Elements in
3-D Finite Element Structural Analysis. Finite Elements in Analysis and Design, 12, 313-318
(1992).
[5] Golias N.A. y Tsiboukis T.D., An Approach to Refining Three-Dimensional Tetrahedral
Meshes Based on Delaunay Transformations. Intl. J. Numer. Meth. Eng., vol. 37, pp. 793-812,
1994.
[6] Ivanenko S.A. y Charakhch'yan A.A., Curvilinear Grids of Convex Quadrilaterals. U.S.S.R.
Comput. Maths. Phys., Vol 28, No. 2, 1998.
5. Bibliografía.
[7] Khattri S. K. y Fladmark G., Hexahedral Mesh by Area Functional. ICNAAM 2005.
International conference on numerical analysis and applied mathematics 2005.
[8] Knupp P. y Robidoux N., A Framework for Variational Grid Generation: Conditioning the
Jacobian Matrix with Matrix Norms. SIAM J. Sci. Comput., vol 21, No. 6, pp. 2029-2047, 2000.
[9] Knupp P.M., y Steinberg S., The fundamentals of Grid Generation. Willey & Sons, New York,
1993.
[10] LeVeque R., Calhoun D. y Helzel C., Logically Rectangular Grids and Finite Volume
Methods for PDEs in Circular and Spherical Domains. SIAM Review, Vol. 50, No. 4, pp. 723752, 2008.
[11] Liseikin V.D., Grid Generation Methods. Springer-Verlag, New York, 1999.
[12] Owen S., Non-Simplical Unstructured Mesh Generation. Phd. Thesis, Carnegie Mellon
University, Pittsburgh, PA. U.S.A., April, 1999.
[13] Shewchuk J. R., Tetrahedral Mesh Generation by Delaunay Refinement, Proc. 14th Annu.
ACM Sympos. Comput. Geom, pp.86-95, 1998.
[14] Ushakova O., Conditions of nondegeneracy of three-dimensional cells. A formula of a
volume of cells. SIAM J. Sci. Comp., Vol. 23, No. 4., pp 1274-1290.
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