UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior II:
Optimización (1)
Rafael Salas
Esquema...
La empresa:
Producción
Optimización
Estática comparativa
Mercados
El problema de la
optimización
Tendremos que plantear y resolver un problema
estándar de optimización


Hagamos una lista de sus componentes

... Y resolvámoslo
La optimización

Objetivos
-Maximización de beneficios
Tecnológicas y económicas
 Restricciones

Método
-Primal -Dual
La función objetivo


Usamos información sobre precios..
wi
•precio del input i
P
•Precio del output
…y sobre cantidades…
zi
Y
•cantidad del input i
•cantidad del output
Cómo se hace

…para construir la función objetivo
La función objetivo
m
Coste de los
inputs:


Ingresos:
S
wi zi
i=1
PY
•Restamos C de I:
m

Beneficios:
PY–
•para los m inputs
S
wi z i
i=1
Esquema...
Optimización:
Problema primal
Problema dual
Optimización: el problema primal

Elegimos Y y z que maximizan:
P := P Y –

m
S
wi zi
i=1
...sujeto a la restricción tecnológica...
Y  F(z)

...y a restricciones obvias:
Y 0 z 0
• Podríamos escribirlo:
zZ(Y)
•No podemos tener valores
de output o inputs
negativos
Método de optimización

Si F es diferenciable…

Planteamos el Lagrangiano
Establecemos las condiciones
de primer orden (CPO)

Verificamos las conditiones de
segundo orden

Usamos las CPO para
caracterizar la solución

L (... )

 L (... ) = 0
z
2
2L (... )
z
z* = …
El equilibrio de la empresa
Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve el
siguiente problema optimizador:
Con signo =
Max P(Y,z)=PY- wi zi
s.a: Y =F (z)
En el caso de dos bienes m=2, obtención de Y, z1 , z2 que
solucione:
Max P(Y, z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2
s.a: Y = F ( z1 , z2 )
donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos
El equilibrio de la empresa: derivación análitica
Solución:
 P/  z1 = 0

P Y/z1 = w1
 P /  z2 = 0

P Y/z2 = w2
 P Pmg z1 = w1
 P Pmg z2 = w2
Y
Oferta de producto y demanda
de factores
Pmgz1 = w1/P
F(z)
Y*
Y* y z1* óptimos
z1*
z
1
El equilibrio de la empresa: derivación análitica (2)
 Solución:
RMST
Pmg z1
w1
Pmg z2 w2
Demanda de factores
A
z2*
z1*
isocuanta
por Y*
Demanda de factores
z2
z1* y z2* óptimos

z2*
A'
A

Pmgz1/Pmgz2=w1/w2
(Y*)
z1
*
z1
Las funciones de oferta de
producto y demanda de factores
El equilibrio de la empresa nos va a servir para
estudiar las respuestas óptimas de la empresa ante
variaciones en los precios

Se trata de efectuar ejercicios de estática comparativa
y observar las distintas situaciones de equilibrio ante
condiciones cambiantes

Toda esta información se trasmite a través de las
funciones de oferta de producto y demanda de
factores:

Las funciones de oferta de
producto y demanda de factores
función de los
precios
s
Y
Y* =
(P,w1 ,...,wm )
d
z1* = z1 (P,w1 ,...,wm )
...
zm* =
...
...
d
zm (P,w1 ,...,wm )



Las funciones de oferta de
producto y demanda de factores

La f. de oferta es no decreciente en el precio P
La f. de demanda de factores es no creciente en
sus precios


Homogéneas de grado 0 en P y w
Las funciones de beneficios
Si introducimos Ys (P,w1 ,w2 ), z1d (P,w1 ,w2 ) y z2d (P,w1 ,w2 ) en
la definición de los beneficios obtenemos la función de
beneficios:
P(P,w1 ,w2 ) = P Ys (P,w1 ,w2 ) - w1z1d (P,w1 ,w2 ) -w2 z2d (P,w1 ,w2 )
Indica el máximo beneficio obtenible con los precios del
sistema (es análogo a la f. indirecta de utilidad en el
problema primal del consumidor)
Las funciones de beneficios
La f. de beneficios es no decreciente en el precio
del producto P

La f. de beneficios es no creciente en los precios
deos factores



Homogéneas de grado 1 en P y w
Lema de Hotelling...
Las funciones de beneficios

Lema de Hotelling:

dP(P,w1 ,w2 ) /dP=Ys(P,w1 ,w2 )

dP(P,w1 ,w2 ) /dw1=- z1d(P,w1 ,w2 )

dP(P,w1 ,w2 ) /dw2=- z2d(P,w1 ,w2 )
Práctica
Calcula la demanda de factores, la oferta de
producto y la función de beneficios de:
Y= z11/2 z2 1/2
Y= (z11/2 + z2 1/2)2
Comprueba el lema de Hotelling
.
Práctica
Calcula la demanda de factores, la oferta de
producto y la función de producción dada la
función de beneficios:
Π=p2 (1/4z1+1/z2 )
.
Una advertencia
Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en todo el
análisis.


No obstante
o…algunas veces llegamos a resultados ambiguos
o…otras veces el resultados está indefinido
 Por lo tanto es conveniente comprobar si este método es
el apropiado
Probablemente debamos usar otro método para encontrar
el óptimo


Veremos ejemplos en el problema dual…
Esquema...
Optimización:
Problema primal
Problema dual
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Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior II:
Optimización (1)
Rafael Salas
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11 October 2001