IIA-2011
TÉCNICAS DE CONTEO
 Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar.
 Ejemplo : ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar
una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una
tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de
batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?.
 Se les denomina técnicas de conteo a las:
 combinaciones,
 permutaciones y
 diagrama de árbol
 Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el
principio básico de la multiplicación y el principio básico de la
adición.
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PRINCIPIO BÁSICO DE LA
MULTIPLICIÓN
 Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde
el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo
de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso
de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto
de:
N1 x N2 x ..........x Nr maneras
 El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la
actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
 Ejemplo : “Una persona desea armar un computador, para lo cuál
considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos
disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de
un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede
ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un
solo modelo de gabinete (Tower). ¿Cuantas maneras tiene esta
persona de armar su PC?”
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PRINCIPIO BÁSICO DE LA
MULTIPLICIÓN

¿Cuántas patentes para automóvil pueden ser diseñadas si deben
constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben
ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al
9?,
a.
b.
c.
d.

Si es posible repetir letras y números,
No es posible repetir letras y números,
Cuántas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D y
empiezan por el cero,
Cuantas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D seguida de
la G.
¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben
constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?,
a.
b.
c.
d.
Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir
dígitos,
El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos,
¿Cuántos de los números telefónicos del punto b empiezan por el número siete?,
¿Cuántos de los números telefónicos del punto b forman un número impar?
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PRINCIPIO BÁSICO DE LA ADICIÓN

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de esas
alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda
alternativa puede realizarse de N maneras..... y la última de las
alternativas puede ser realizada de W maneras, entonces esa
actividad puede ser llevada a cabo de :
M + N + .........+ W maneras

EJEMPLO: “Se desea desea comprar una lavadora de ropa,
para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las
marcas Whirpool, LG y Mademsa, cuando acude a hacer la
compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta
en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), mientras que la lavadora de
la marca LG, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.),
y la lavadora de la marca M, se presenta en solo un tipo de
carga, que es de 11 kg. ¿Cuántas maneras existen de comprar
una lavadora?”
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PRINCIPIO BÁSICO DE LA ADICIÓN
 Supongamos que el instituto tiene tres diferentes cursos de
Algorítmica, cuatro cursos de Diseño Gráfico, tres cursos
de Hardware y Software y dos cursos de Matemáticas
diferentes.
El número de formas en que un estudiante puede elegir
sólo uno de los cursos es:
 Una salón de clases tiene 8 estudiantes varones y 6
estudiantes mujeres. Encontrar el número de formas en
que la clase puede elegir: un representante de la clase.
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PRINCIPIOS BÁSICOS
 ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del
principio básico de la multiplicación y cuando de la
adición?
 Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere
para ser llevada a efecto de una serie de pasos,
entonces haremos uso del principio multiplicativo y si
la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene
alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del
principio aditivo.
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 Ejemplos:
 1)
Una persona desea construir su casa, para lo cuál
considera que puede construir los cimientos de su casa
de cualquiera de dos maneras (concreto o block de
cemento), mientras que las paredes las puede hacer de
adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de
concreto o lámina galvanizada y por último los
acabados los puede realizar de una sola manera
¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su
casa?
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 2)
¿Cuántas placas para automóvil pueden ser
diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de
cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al
9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es
posible repetir letras y números, c. Cuántas de las
placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D
y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas
diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D
seguida de la G.
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 3)
¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar,
los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al
9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los
números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe
ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos,
c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b
empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los
números telefónicos del inciso b forman un número
impar?.
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 Ejemplos:
 1)
Una persona desea comprar una lavadora de ropa,
para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las
marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a
hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W
se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en
cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en
dos colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta
en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos
colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas
maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
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 2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en
las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él
tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al
Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso
a las Vegas, mientras que para ir del paso a
Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de
transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene
Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas
maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia
en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo
medio de transporte en que se fue?.
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 Suppose a bookcase shelf has 5 History texts, 3
Sociology texts, 6 Anthropology texts, and 4
Psychology texts. Find the number n of ways a student
can choose: (a) one of the texts; (b) one of each type of
text.
 (a) Here the Sum Rule applies; hence, n = 5 + 3 + 6 + 4 =
18.
 (b) Here the Product Rule applies; hence, n = 5 ・ 3 ・ 6
・ 4 = 360.
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 A math class contains 8 male students and 6 female
students. Find the number n of ways that the class can
elect: (a) 1 class representative; (b) 2 class
representatives, 1 male and 1 female; (c) 1 president and
1 vice president.
 (a) Here the Sum Rule is used; hence, n = 8 + 6 = 14.
 (b) Here the Product Rule is used; hence, n = 8 ・ 6 =
48.
 (c) There are 14 ways to elect the president, and then 13
ways to elect the vice president. Thus n = 14 ・ 13 = 182.
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 There are four bus lines between A and B, and three bus lines between B
and C. Find the number m of ways that a man can travel by bus: (a)
from A to C by way of B; (b) roundtrip from A to C by way of B; (c)
roundtrip from A to C by way of B but without using a bus line more
than once.
 (a) There are 4 ways to go from A to B and 3 ways from B to C; hence n = 4 ・ 3 =
12.
 (b) There are 12 ways to go from A to C by way of B, and 12 ways to return. Thus
n = 12 ・ 12 = 144.
 (c) The man will travel from A to B to C to B to A. Enter these letters with
connecting arrows as follows: A → B → C → B → A
The man can travel four ways from A to B and three ways from B to C, but he
can only travel two ways from C to B and three ways from B to A since he does
not want to use a bus line more than once. Enter these numbers above the
corresponding arrows as follows: A (4)→ B (3)→C (2)→B(3)→ A
Thus, by the Product Rule, n = 4 ・ 3 ・ 2 ・ 3 = 72.
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