Elementos Finitos en un continuo elástico
Objetivo:
Determinar el campo de tensiones y deformaciones en un sólido contínuo
Fases del método:
1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias, en un
número de elementos finitos
2. Los elementos se encuentran conectados entre si mediante un número
discreto de puntos que se denominan nodos, situados en su contorno. Los
desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas del problema.
3. Definición de funciones que definan de manera única el campo de
desplazamientos dentro de cada elemento finito en función de los
desplazamientos nodales.
4. Ecuaciones constitutivas del material que relaciona los desplazamientos y
deformaciones con las tensiones.
5. Determinación de un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal
que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera carga repartidas
alejandro.gutierrez@.usach.cl
Aplicación del método
Pasos 1 y 2
División mediante líneas
Creación de nodos
y
vj
v(x,y)
j
uj
u(x,y)
k
i
x
Paso 3.-
Solución Aproximada
p
u ( x, y ) 
N
i
( x , y )u i
i
( x , y )vi
Funciones de interpolación
i 1
p
v( x, y ) 
N
i 1
u ( x , y )   N i

 
v( x, y )   0
0
N
Ni
0
j
0
N
j
 ui 
 
vi

   
 u j 

v 
 j
  
Propiedades de las funciones de interpolación
Elemento triangular
u ( xi , y i )  u i  N i ( xi , y i )u i  N j ( xi , y i )u j  N k ( xi , y i )u k
vi
N i ( xi , yi )  1
N j ( xi , yi )  0
N k ( xi , yi )  0
u ( x j , y j )  u j  N i ( x j , y j )u i  N j ( x j , y j )u j  N k ( x j , y j )u k
Ni(x j, y j )  0
N j (x j, y j )  1
N k (x j, y j )  0
u ( x k , y k )  u k  N i ( x k , y k )u i  N j ( x k , y k )u j  N k ( x k , y k )u k
N i ( xk , yk )  0
N j ( xk , yk )  0
N k ( xk , yk )  1
i
v(x,y)
u(x,y)
ui
u ( x , y )  N i ( x , y )u i  N j ( x , y )u j  N k ( x , y )u k
Elemento 2-D
Ni(x,y)
Nk(x,y)
Nj(x,y)
i
i
i
k
k
k
j
j
j
ui
i
uj
uk
p
u ( x, y ) 
Nu
i
i 1
k
j
i
Paso 4.-
Ecuaciones constitutivas
{s}[D]({e} - {e0})  {s0}
{s}.- Campo de tensiones
[D].-
Matriz de elasticidad
{e}.-
Campo de Deformaciones
{e0}.-
Deformaciones de origen térmico
{s0}.- Tensiones residuales
Caso 2-D
Deformaciones
ex 


e }   e y 
 
 xy 
 

 x
[L    0

 

  y

0 

 
y 
 

 x 
 u 


 x 
 v 
e }  

 y 
 u v 

 y x 


 

 x
e }   0

 

  y
u ( x , y ) 
e }  [ L 

v( x, y ) 

0 

  u ( x , y ) 



y  v ( x, y ) 
 

 x 
u ( x , y )   N i

 
v( x, y )   0
0
N
Ni
0
N
0
N i
y
0
N
j
u e 
e }  [ B  e 
v 
u e 
e }  [ L [ N  e 
v 
 N
i

 x
[ B    0

 N i
  y
j
 ui 
 
vi

 

u
 j 

v 
 j

  

j
x
N
0
N i
N
x
y
0
j
j
y
N j
x









Tensiones
Cálculo de las Tensiones
s }  [ D e }
[D  
E
1 -
2
1



 0

1
0


0

(1 -  ) 2 
0
u e 
s }  [ D [ B  e 
v 
s } 
E
1 -
2
1



 0

1
0
 N
i

0
  x

0
0

(1 -  ) 2  
 N i
  y
N
0
N i
y
j
x
N
0
N i
N
x
y
0
j
j
y
N j
x


 e
 u 
  e
 v
 


Paso 5.-
Sistema de fuerzas concentrada en los nodos
Vi
i
Ui
 ui 
U i 
 
 
vi
V
 
 i 
 u j   U j 
v 
V 
 j
 j
  
  
Trabajos Virtuales
Al interior del elemento
u }  [ N  u e
 }
e }  [ B u }
e
 u }  [ N  u
}
 e }  [ B  u }
e
e
 e } s }
Trabajo de las Tensiones
 u } b }
Trabajo de las fuerzas de cuerpo
T
T
En los nodos del elemento
 u
} q }
e T
e
Trabajo de las fuerzas nodales
Igualando Trabajos
 e } s }
T
 u } b }
T
 u
 u
} [B  s }
 u } [ N  b }

e T
T
e T

T
} q }   u } (  [B  s }dV -  [ N  b }dV )
e T
T
e T
e
T
V
V
q }   [B  s }dV -  [ N  b }dV
T
e
V
T
V
{s}[D]({e} - {e0})  {s0}
q }   [B  [D (e } - e })  s }}dV -  [ N  b }dV
T
e
T
0
0
V
V
{e}  [Bue}
q }   [B  [D ([B u } - e })  s }}dV -  [ N  b }dV
T
e
T
e
0
V
q }
e

T
   [ B  [ D [ B dV

V
0
V
 e
 u - [ B T [ D e 0 }dV  [ B T s 0 }dV 



V
V
V

 }
[ N T b }dV
q }  [ K ]{ u
e
e
}  { f e }  { fs }  { f b }
[K    [B  [D [B dV
T
Matriz de Rigidez
V
 f e }  -  [B  [D e }dV
T
0
Fuerzas deformación inicial
V
 f s }   [B  s }dV
T
0
Fuerzas tensión residual
V
 f b }  -  [ N  b }dV
T
V
Fuerzas de cuerpo
Aplicación Elemento Barra:
x
x1
A,E
x2
N 1 ( x )  a1  b1 x
1  a1  b1 x1
N 2 ( x )  a 2  b2 x
0  a1  b1 x 2
N1 
x2 - x
x 2 - x1
a1 
b1 
N2 
x2
x 2 - x1
-1
x 2 - x1
x - x1
x 2 - x1
N1 
x2 - x
N2 
x 2 - x1
x - x1
x 2 - x1

1
1
x1
x2
x1
x2
Ejemplo:
Se tiene una barra como muestra la figura, se ha determinado por algún método el
desplazamiento que tienen los nodos extremos, además se sabe que inicialmente se
tiene una deformación de origen térmico de e  1.0x10-4 y una tensión residual de 10
x106 N/m2. La barra es de Acero E=2.0x1011 N/m2, una sección transversal de A=
0.001m2 Determine la tensión en el centro de la barra.
500
2
1
x
u2=3 mm
u1=1 mm
Cálculo
q }  [ K ]{ u
e
0
e
}  { f e }  { fs }  { f b }
U 1 
q }   
U 2 
e
[ B   [ L [ N 
[N   [N 1
N1 
 u1 
u }   
u 2 
[K ] 
e
 [B  [D [B dV
T
V
[D   [E 
 d 
[L    
 dx 
N2
xj - x
N2 
x j - xi
 -1
[B   
 x j - x i


x j - x i 
1
x - xi
x j - xi
[B 
T
 -1
x - x
j
i


 1
x - x
i
 j






 -1 
x - x 
 -1
T
2
1
[ B  [ D [ B   
 [ E 
 1 
 x 2 - x1
 x 2 - x1 
[B 
T
 1
[ D [ B  
2 
( x 2 - x1 )  - 1
E
 [B 
T
V
E  1
[ D [ B dV  2 
L - 1
EA  1
[K  

L - 1
- 1

1 
- 1

1 
- 1
  dV
1 V


x 2 - x1 
1
x 2 - x1  L
Fuerzas nodales equivalente a deformación iinicial
 f e }  -  [B  [D e }dV
T
0
V
1  - 1
 f e }  -    [E e }dV
L1 
V
0
 - 1
E e 0  - 1
 fe } 
   dV  EA e 0  
L  1 V
1 
Fuerzas nodales equivalente a tensiones residuales
 f s }   [B T s }dV
0
V
 fs }  
V
1  - 1
  s }dV
L1 
 - 1
 fs }  s 0 A  
1 
0
q }  [ K ]{ u
e
 U 1  EA  1
 

U
L - 1
 2
e
}  { f e }  { fs }
- 1  u 1 
 - 1
 - 1
   - EA e 0    A s 0  
1  u 2 
 1 
 1 
Remplazando valores
1
U 1 
8
   4 . 0 x10 
- 1
U 2 
- 1  0 . 001 
- 1
- 1
3
3
 - 2 . 0 x10    1 . 0 x10  

1   0 . 003 
 1 
 1 
 U 1   - 799000 
 

U 2   799000 
Elemento Viga
qi
2
EI
d w
dx
2
wi
qj
 - M (x)
w( x)  1   2 x   3 x 2   4 x3
L
Condiciones de Borde
w (0)  w i
dw (0)
dx
 qi
w (L )  w
dw ( L )
dx
q
j
j
Determinar la matriz de rigidez del elemento Viga
wj
w  1   2x   3x   4x
2
3
Aplicando condiciones de borde se llega a:
wi   1
qi   2
w j  1   2L   3L   4L
2
3
q j   2  2 3 L  3 4 L
Escrito en forma matricial se tiene:
1

0

1

0
0
0
1
0
L
L2
1
2L
0   1   wi 
   
0  2   q i 
    
L3    3   w j 
2 
3 L   4   q j 
wi


 1  

q
i
  


 2  3

2
3
1
    - 2 wi - q i  2 w j - q j 
L
L
L 
 3   L
1
2
1
   2

 4
w

q
w

q
i
j
j
2
3
2
 L3

L
L
L
2
Para la viga en estudio se tiene que:
2
M ( x )  Vi x - M i
EI
d w
dx
w ( x )  wi  q i x  ( -
-6
2
d w
dx
2

L
2
wi -
4
L
3
L
2
wi -
6
qi 
L
2
2
L
2
 Vi x - M i
3
qi 
2
wj -
L
L
q j  6(
Igualando términos
Mi

EI
Vi
EI
-6
L

2
12
L
3
wi -
wi -
4
L
qi 
L
2
3
L
q j )x  (
2
wi -
1
L
2
2
wi 
3
L
qi -
2
3
L
1
L
2
wj 
qi -
1
L
2
6
L
2
12
L
L
3
wjwj
2
qj
L
6
L
qj
2
V i  -V j
M
j
2
L
3
q j )x
Por equilibrio :
6
qi 2
2
1
wj -
 Vi L - M i
wj 
1
L
2
q j )x
3
 12 EI
 L3
 6 EI

2
 L
 - 12 EI
 L3
 6 EI

2
 L
- 12 EI
6 EI
2
3
L
4 EI
L
- 6 EI
L
- 6 EI
L
12 EI
2
2
L
- 6 EI
3
2
L
L
2 EI
L
2
6 EI 
2
L  w
 i   Vi 
2 EI 
q   M 
2
L  i    i 
  

- 6 EI  w j
Vj
  

2

L
q j   M j 


4 EI   

L 
Se recomienda hacerla con los polinomios de interpolación:
3
w ( x )  (1 -
L
2
N
3
jw
(x)  (
jq
( x)  (-
L
1
L
3
3
2
x 
2
2
2
L
x 
L
L
x -
2
L
x 
2
3
x )
2
2
x 
3
x )
2
L
[L  
x )
x )
1
2
3
3
3
L
3
1
2
2
2
x ) wi  ( x -
L
L
N iq ( x )  ( x N
2
3
N iw ( x )  (1 -
2
x 
[D  
1
L
d
2
2
dx
x )q i  (
3
3
L
2
x 2
2
L
3
x )w j  (3
[ N   [N iw
N iq
N
1
1
x 
2
L
L
N
jw
jq
x )q j
3
2

2
EI
[B   
-6
 L
[ B   [ L [ N 
2

12 x
L
3
-
4
L
-
6x
6
2
L
L
2
-
12 x
L
3
-
2
L

6x 
2
L 
[K    [B  [D [B dV
T
V
 - 6 12 x 
 L 2  L3 
 4 6x 
L  - 2 
- 6 12 x
 L L  [ EI 
  6 12 x   L2  L3
0
- 3
 L2
L 
 2 6x 
-  2 
 L L 
L
B1,1
2
-
4
-
L
12 EI
 - 6 12 x 
  EI  2  3  dx 
3
L
L
L


0
6x
6
2
L
L
2
-
12 x
L
3
-
2
L

6x 
dx
2 
L 
Se amplía la matriz a una viga que además esta sometida a tracción o compresión
Mi
Vi
Mj
Uj
Ui
 EA
 L

 0


0

 EA
 L
 0


 0

0
0
-
EA
L
12 EI
3
L
6 EI
6 EI
2
L
4 EI
2
L
0
0
L
- 12 EI
3
L
6 EI
L
2
- 6 EI
2
L
2 EI
L
2
Vj
0
0
0
0
- 12 EI
6 EI
3
L
2 EI
2
L
0
0
12 EI
- 6 EI
L
- 6 EI
L
EA
L
0
0
2
3
L
4 EI
2
L
L
- 6 EI
L
2
2



 ui   U i 

 v  
i 
Vi




  q i   M i 
 u   U 
j 
 j  
v j   V j 
  M 
j
q 
 j  



Para que sea válida en cualquier posición en el plano debe ser multiplicada
por la matriz de rotación dada por:
 cos( q )

sen (q )

 0
[R   
 0
 0

 0
- sen (q )
0
0
0
cos( q )
0
0
0
0
1
0
0
0
0
cos( q )
- sen (q )
0
0
sen (q )
cos( q )
0
0
0
0
0

0

0

0
0

1 
2
2
2
2


-x - x )
y - y
y - y
- x - x )
x - x
y - y
y - y


 x1 - x0 )
y 1 - y 0)
y 1 - y 0)
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
 E A  12 
 E I
 E A   y - y )  12 
 E I  x - x )
6
 E I
 E  A - 12 
 E I
 E  A   y - y ) - 12 
 E I  x - x )
6
 E I 

1
0
1
0
1
0
1
0
3
5
3
5
3
3
5
3
5
3


L
L
L
L
L
L
L
L
L
L


2
2
2
2
y - y
x - x
x - x
y - y
- y - y )
x - x
 -  x1 - x0 )

 y 1 - y 0)
 x1 - x0 )
 x1 - x0 )
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
 E A   y - y )  12 
 E I  x - x )
 E  A  12 
 E I
6
 E I
 E  A   y - y ) - 12 
 E I  x - x )
 E  A - 12 
 E I
6
 E I 

1
0
1
0
1
0
1
0
3
5
3
5
3
3
5
3
5
3


L
L
L
L
L
L
L
L
L
L


y - y
x - x
y - y
x - x
1
0
1
0
I
1
0
1
0
I


6
 E I
6
 E I
4  E
( - 6) 
 E I
( - 6) 
 E I
2  E


3
3
L
3
3
2
L
L
L
L
L
T


R KR 


2
2
2
2
-x - x )
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
y
y
 1 0)
 1 0)
 1 0)
 1 0)

1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0

 E  A - 12 
 E I
 E  A   y - y ) - 12 
 E I  x - x )
( - 6) 
 E I
 E A  12 
 E I
 E A   y - y )  12 
 E I  x - x ) ( - 6 ) 
 E I

1
0
1
0
1
0
1
0

3
5
3
5
3
3
5
3
5
3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L




2
2
2
2
x - x
y - y
-y - y )
x - x )
x - x
- x - x )
y - y
y - y )
x - x )
x - x



 1

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
 E A   y - y ) - 12 
 E I  x - x )
 E A - 12 
 E I
( - 6) 
 E I
 E A   y - y )  12 
 E I  x - x )
 E A  12 
 E I
( - 6) 
 E I


1
0
1
0
1
0
1
0
3
5
3
5
3
3
5
3
5
3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L




y - y
x - x
y - y
x - x
1
0
1
0
I
1
0
1
0
I


6
 E I
6
 E I
2  E
( - 6) 
 E I
( - 6) 
 E I
4  E
3
3
2
3
3
L


L
L
L
L
L


Elemento triangular
u ( x , y )  a 0  a1 x  a 2 y
vj
j
vk
uk
k
y y  a0 
 
y j  a1  

y k   a 2 
 ui 
 
u j 
u 
 k
uj
Desarrollamos para u(x,y)
u ( x i , y i )  u i  a 0  a1 x i  a 2 y i
vi
i
1 x i

1 xj

1 x k
v ( x , y )  a 0  a1 x  a 2 y
u ( x j , y j )  u j  a 0  a1 x j  a 2 y j
ui


 x y - y x
j k
j k

 a0 
 

a 

1
 
x y - y x
j k
 j k
a 

 2

 x y - y x
j k
 j k
u ( x k , y k )  u k  a 0  a1 x k  a 2 y k
x y
- y x
 - xi)  y k  y i xk
x y - y x


i
j
k
- x y  y x  x y - y x
x y - y x - x y  y x  x y - y x
x y - y x - x y  y x  x y - y x
i k
i k
i j
i j
j k
j k
i k
i k
i j
i j
j k
j k
i k
i k
i j
i j

y

y
y
y
y

y

 k) j

)
k
i
j
i
u 
u 
u 
i
j
k
- x y  y x  x y - y x
x y - y x - x y  y x  x y - y x
x y - y x - x y  y x  x y - y x
i k
i k
i j
i j
j k
j k
i k
i k
i j
i j
j k
j k
i k
i k
i j
i j


x - x
x - x
 - xk )  xi
k
j
j
i
u 
u 
u 
i
j
k
- x y  y x  x y - y x
x y - y x - x y  y x  x y - y x
x y - y x - x y  y x  x y - y x
i k
i k
i j
i j
j k
j k
i k
i k
i j
i j
j k
j k
i k
i k
i j
i j

j
k
j k
u 
u 
i
j
i
j
u
Campo de desplazamientos.
u ( x, y ) 
[( x
j

[

y k - x k y j )  ( y j - y k ) x  ( x k - x j ) y u i  [( x k y i - x i y k )  ( y k - y i ) x  ( x i - x k ) y u j  ( x i y j - x j y i )  ( y i - y j ) x  ( x j - x k ) y u k
x j y k - y j x k - xi y k  y i x k  xi y j - yi x j
u ( x, y ) 
u ( x, y ) 
[( x
j

[

y k - x k y j )  ( y j - y k ) x  ( x k - x j ) y u i  [( x k y i - x i y k )  ( y k - y i ) x  ( x i - x k ) y u j  ( x i y j - x j y i )  ( y i - y j ) x  ( x j - x k ) y u k
x j y k - y j x k - xi y k  y i x k  xi y j - yi x j
( a i  bi x  c i y ) u i  ( a j  b j x  c j y ) u j  ( a k  b k x  c k y ) u k
x j y k - y j x k - xi y k  y i x k  xi y j - y i x j
ai  x j yk - xk y j
1
bi  y j - y k
ci  x k - x j
j
xi
yi
1 xj
yj 
1 xk
yk
xj
yj
xk
yk
- xi
1
yj
1
yk
 yi
1 xj
1 xk
  x j y k - y j x k - xi y k  y i x k  xi y j - y i x j
i
k
u ( x, y ) 
v( x, y ) 
( a i  bi x  c i y ) u i  ( a j  b j x  c j y ) u j  ( a k  b k x  c k y ) u k

( a i  bi x  c i y ) v i  ( a j  b j x  c j y ) v j  ( a k  b k x  c k y ) v k

Tensión deformación
ex 
ex 
ey 
 xy 
u
ey 
x
u
x
v
y
v
x



ex 
 bi
  1
e y   0
    c
 xy 
 i
1

1

v
 xy 
y
u
y

v
x
( bi u i  b j u j  b k u k )
(ci vi  c j v j  c k v k )
u
y

1

( bi v i  b j v j  b k v k  c i u i  c j u j  c k u k )
0
bj
0
bk
ci
0
cj
0
bi
ck
bj
ck
 ui 
 
vi
0  
  u j 
c k     [ B  }
vj
b k   
u k 
 
 v k 
 bi
1
[B    0

ci

0
bj
0
bk
ci
0
cj
0
bi
ck
bj
ck
0

ck 
b k 
 ui 
 
v
 i
 u j 
 }   
v j 
u k 
 
 v k 
Tensión plana

s x 
1 

E
 
 1
s y  
2
  (1 -  ) 
0 0
 xy 

s x 
E
 
s

 y
2
(
1

)
 
 xy 

1 

 1

0 0


e 
 x
 

0  e y   [C e }
1 -  
   xy 
2 
0

b
 i

0  . 0
1 -  
 ci
2 
0
0
bj
0
bk
ci
0
cj
0
bi
ck
bj
ck
 ui 
 
vi


0
  u j 
c k     [C [. B  }
vj


bk 
u k 
 
 v k 
Matriz de rigidez
[K ] 
 [B  [D [B dV
T

(1 -  )
2
V
 bi
1
[B    0

ci

[K  
0
bj
0
bk
ci
0
cj
0
bi
ck
bj
ck
0

ck 
b k 
1
E 
D


[ 
2 
1-
 0

1
0


0

(1 -  ) 2 
0
 b 2  c 2 b  c  c b
b b  c c
b  c  c b
b b  c c
b  c  c b 
 i)
  i)
i
i
i
i
i j
i
j
i
j
i
j
i k
i
k
i
k
i
k 


2
2
c c  b b 
 b i   c i  c i   b i  c i)   b i)    c i   b j  b i   c j c i c j  b i   b j c i   b k  b i   c k
i k
i
k


2
2
 b b  c c
c  b  b c
b )  c ) 
b  c  c b
b b  c c
b  c  c b 

Ee
i
j
i
j
i
j
i
j
j
j
j
j
j
j
j
k
j
k
j
k
j
k

K1 
2
4 A e (1 -  )  b    c  c    b c  c  b    b b    c  c    b  c ) 2   b ) 2   c    b  b    c c  c  b    b 
 i
j
i
j
i j
i
j
j
j
j
j
j
j
j
k
j
k
j k
j
k 


2
2
 b i b k  c i   c k c i   b k  b i   c k b j b k  c j   c k c j   b k  b j   c k  b k )   c k )   b k    c k  c k    b k 


2
2
b    c  c   b
c c  b b
b  c  c b
c c  b b
b  c  c b
c
 b )  
k
i
k
i k
i
k
j
k
j
k
j k
j
k
k
k
k
k  k)
k
 i

Ejemplo:
La estructura de la figura esta compuesta por una viga, una barra y una placa,
en su extremo se aplica una carga vertical de 10000 N hacia abajo. Determinar
los desplazamientos nodales, las fuerzas en cada uno de los elementos y la
tensión máxima en cada uno de ellos.
Barra circular d = 50
Placa e=10mm
Viga cuadrada de a = 100
30º
10000 N
1000
1
1b
1p
2
3
1v
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Diapositiva 1