Unidad 2
FUNDAMENTOS DE
PROBABILIDAD
OBJETIVO DE LA UNIDAD 2
El estudiante aplicará los fundamentos de la teoría de la Probabilidad
en el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de sucesos.
TEMA
TÉCNICAS
DE CONTEO
Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad
Unidad
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de Probabilidad
Arturo
Alvarado Segura
(ITSY 2006)
Arturo Alvarado Segura (ITSY 2006)
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(Análisis combinatorio)
TÉCNICAS
DE CONTEO
OBJETIVO DE APRENDIZAJE
Que el estudiante analice y resuelva problemas de
conjuntos o muestras que involucren la necesidad de
contar sus elementos de forma indirecta y eficiente.
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Conteo
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EJEMPLOS TÍPICOS DE CONTEO
A. ¿Cuántos equipos de cinco alumnos pueden
representar a nuestra Institución si
a) se quiere que éstos consten sólo de alumnos de
Ingeniería Bioquímica?
b) se quiere que el presidente sea uno de
Ingeniería Industrial?
c) se quiere que el presidente y el tesorero sean
de Ingeniería en Sistemas Computacionales?
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Conteo
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EJEMPLOS TÍPICOS DE CONTEO
B. Imagine que Pancho lanza un par de
dados y observa el número de
puntos en las caras superiores.
Encuentre el número posible de
formas en que pueden caer los
dados (obviamente que con relación a
los puntos de sus caras superiores).
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Conteo
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Conteo
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Motivación al estudiante de ingeniería
a) Suponga que se encuentra al final de una
línea de ensamble de computadoras. Un
supervisor le pide contar las computadoras
de un lote que se ha ensamblado hace unas
horas y del que se desconoce su número.
De inmediato usted empezará a contar una
computadora tras otra y al final informará al
supervisor el número de computadoras que
haya encontrado en el lote.
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Conteo
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Motivación al estudiante de ingeniería
b) Ahora suponga que ese mismo supervisor
le plantea la siguiente pregunta: ¿Cuántos
grupos de siete elementos es posible
formar con las computadoras del lote?
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Conteo
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Motivación al estudiante de ingeniería
El primer planteamiento no representa alguna
dificultad para cuantificar las computadoras
del lote. Sin embargo, al tratar de contar las
posibles muestras de siete computadoras, se
dará cuenta usted que no es tan directo. En
casos como éste, es necesario hacer uso de
las técnicas de conteo para cuantificar el
evento en cuestión (en este caso el número
posible de
distintas).
muestras
de
siete
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computadoras
Conteo
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Entonces…
¿Qué son
las
técnicas de
conteo?
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Conteo
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Las técnicas de conteo son…
Procedimientos algebraicos que se usan
para conocer el número de los posibles
resultados de un experimento, sin
enumerarlos. Nos sirven para conocer el
número
de
muestras
(con
ciertas
características definidas de antemano) que
podemos extraer de un conjunto, sin que
tengamos que contarlas una por una.
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Conteo
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LAS TÉCNICAS DE
CONTEO JUEGAN UN
PAPEL IMPORTANTE
EN EL CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
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En las diapositivas
posteriores
presentamos los
siguientes conceptos y
técnicas:
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Conteo
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CONTANDO PUNTOS
k-tuple ordenado
 Regla fundamental
de conteo
 Permutaciones
 Combinaciones
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Conteo
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k-tuple ordenado
Un conjunto ordenado de k objetos se
denomina como k-tuple ordenado (o k-ada
ordenada). Si representamos los k objetos por
O1, O2, …, Ok, el k-tuple ordenado se
representa por (O1, O2, …, Ok).
Donde Oj representa el objeto, u operación,
asignado en el j-ésimo lugar y que puede
escogerse entre 1 y nj alternativas.
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¿Qué es un par ordenado?
Es un k-tuple ordenado que considera
sólo dos objetos u operaciones.
Un par ordenado se representa por
(O1, O2).
Nota. Se entiende por par ordenado lo siguiente: Si O1 y
O2 son objetos, entonces el par (O1, O2) es diferente del
par (O2, O1).
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Ejemplo de par ordenado
Imagine que un hombre selecciona una línea
aérea para viajar de Mérida a Cancún y
después (de darle un alivio a la pupila
contemplando el mar) selecciona una segunda
línea aérea para viajar a Miami.
De Mérida a Cancún puede viajar por
“Mexicana” o “Aeroméxico”; de Cancún a
Miami
puede
viajar
por
“Mexicana”,
“Aeroméxico” o “United Airlines”.
Continúa…
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Conteo
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Continuación…
Este hombre viajero puede seleccionar sus dos
líneas aéreas en una de las siguientes seis
formas:
(M,M), (M, A), (M, U), (A, A), (A, M), (A, U)
Observe que, por ejemplo, (M, A) no es lo mismo que (A, M).
(M, A) significa que de Mérida a Cancún viaja por Mexicana y de
Cancún a Miami por Aeroméxico; en cambio, (A, M) significa
que primero viaja por Aeroméxio y de Cancún a Miami viaja por
Mexicana.
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Aplicando la notación
Usando la notación de k-tuple ordenado, en el
ejemplo del viajero O1 es la línea aérea para
viajar de Mérida a Cancún, O2 para hacerlo de
Cancún a Miami, así que k=2. Asimismo, se
tienen n1=2 opciones para O1 y n2=3 opciones
para O2.
Lo que hemos revisado sobre k-tuples ordenados
puede formalizarse con la regla fundamental de
conteo.
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Conteo
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Principio fundamental de conteo
Se desea realizar una actividad que consta de k
operaciones. La primera operación puede ser llevada
a cabo de n1 maneras; para cada una de éstas n1
formas de realizar la operación 1, la segunda
operación puede realizarse de n2 formas; para cada
una de las dos primeras, una tercera operación
puede realizarse en n3 formas, y así sucesivamente.
Entonces la secuencia de las k operaciones puede
hacerse en
n1 x n2 x ..........x nk
formas.
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Conteo
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Principio fundamental de conteo
La regla fundamental de conteo implica que cada
uno de los pasos (operaciones) de la actividad
deben ser llevados a efecto, uno tras otro;
además cada operación sólo puede ser realizada
en una forma, entre todas sus alternativas.
(No se admite que un hombre se vista poniéndose 2 camisas ó 2
pares de calcetines en alguna ocasión, sólo puede ponerse un
ejemplar de cada prenda a la vez)
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Ejemplo 1
La regla fundamental de conteo
Imagine que la niña Mayra tiene 2 diademas, 5
blusas, 6 faldas y 3 pares de zapatos, ¿en cuántas
formas diferentes puede vestirse usando una de cada
una de las prendas mencionadas?
Solución:
En este caso n1=2, n2=5, n3=6 y n4=3. Así que la niña
puede vestirse de 2 x 5 x 6 x 3 =_____ formas
distintas.
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Conteo
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Ejemplo 2
La regla fundamental de conteo
Próculo, alumno de segundo semestre, desea anotar
la fecha de cumpleaños de los primeros 10 estudiantes
que entren a la biblioteca. Encuentre el número de
formas en que el joven puede completar su listado.
Lea la solución en la siguiente diapositiva
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Solución al ejemplo de Próculo
Si no existen años bisiestos, hay solamente 365 cumpleaños
posibles. Podemos numerar los días del año 1, 2, 3, …, 365. Un
posible resultado para este listado es una sucesión ordenada
de 10 números, donde el primer número representa el número
del día en el cual acontece el cumpleaños de la primera
persona, el segundo número denota el número del día en el
cual cae el cumpleaños de la segunda persona, y así
sucesivamente. Queremos saber el número de 10-tuples que
podemos formar. Es claro que la primera persona registrada
puede cumplir años en cualquiera de los 365 días del año,
sucede lo mismo con la segunda persona, y así con las otras 8.
Aplicando la regla fundamental de conteo, tenemos que el
listado puede completarse de
365 x 365 x … x 365 = 36510
formas distintas.
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Conteo 23
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ACTIVIDAD PARA EL ESTUDIANTE
Estudie, además de los que se revisaron en
clase, los Ejemplos 1.13, 1.14 y 1.15 del libro
de Walpole. Dibuje el diagrama de árbol para
el Ejemplo 1.15
Ejemplifique el diagrama de árbol de forma
esquemática, recortando y pegando en su
libreta las figuras entregadas en la clase.
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n!
El símbolo n! se lee como “ene factorial” y
se define de la siguiente manera:
Si n es un número natural, entonces:
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
Por definición, 0! = 1.
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Ejemplos de n!
 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
7! / 5! = 7 x 6 = 42
La operación n! es útil para el cálculo de
permutaciones y combinaciones.
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Permutaciones
Una permutación es todo arreglo de
elementos distintos donde nos interesa el
orden que ocupa cada uno de los
elementos que constituyen dicho arreglo.
Se definen en términos de muestras
ordenadas sin reemplazo (o sea, de
elementos no-repetidos) en el modelo de
urna.
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Cálculo del número de permutaciones
El número de permutaciones de n objetos distintos tomados
de k en k, con k  n, puede obtenerse mediante la siguiente
fórmula:
n
Pk 
n!
( n  k )!
O bien, con el uso del principio fundamental de conteo,
haciendo el siguiente producto:
 n  ( n  1)  ( n  2 )    ( n  k  1)
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¿De dónde sale la fórmula de nPk
La operación 1 puede hacerse de n formas, la operación 2
de n -1 formas, la 3 de n-2 formas, así sucesivamente, y la késima operación puede hacerse de n-k+1 formas. De ahí
que, usando la regla de conteo, se obtenga:
n  ( n  1)    ( n  k  1)
Ahora bien, podemos ver que
( n  k )!
( n  k )!
1
y además
n!  n  ( n  1)    ( n  k  1)  ( n  k )!
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Conteo
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¿De dónde sale la fórmula de nPk?
Continuación…
Usando las equivalencias anteriores podemos escribir:
n
Pk  n  ( n  1)    ( n  k  1) 
( n  k )!
( n  k )!

n!
( n  k )!
Entonces tenemos que:
n
Pk 
n!
( n  k )!
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Combinaciones
Una combinación es todo arreglo de elementos en
donde no importa la posición que ocupa cada uno
de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Se definen a partir de muestras desordenadas sin
reemplazo, bajo el enfoque del modelo de urna.
El número de combinaciones de n objetos tomados k a la vez
es el número de subconjuntos, cada uno de tamaño k, que se
pueden formar con base en los n objetos.
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Cálculo del número de combinaciones
El número de combinaciones de n objetos tomados k a la
vez puede obtenerse a través de la siguiente fórmula:
notación
n
Ck

n
n!
  
 k  k ! ( n  k )!
Observe que el número de permutaciones de n objetos
tomados de k en k, puede obtenerse si se multiplica nCk
por k! Esto es cierto porque en cada combinación
tenemos k! permutaciones.
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ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS