Estadística
2009
Maestría en Finanzas
Universidad del CEMA
Profesor: Alberto Landro
Asistente: Julián R. Siri
Clase 9
1. Ejercicios de procesos AR
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
•
Dado un proceso AR(1):
Yt  2  0 .9 Yt  1  e t
et
i .i .d .  0; 4 
Vamos a:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Analizar las condiciones de estacionariedad.
d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones
parciales. Graficarlas.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
a) Expresión del proceso con la notación de operadores
autorregresivos:
Yt  2  0.9 Yt  1  e t
Y t     1Y t  1  e t
Y t   1Y t  1    e t
 1  1 B  Yt
   et
 1  B  Yt    e t
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,
E  Yt   E     1 E  Yt  1   E  e t 
Ahora bien, dado que
E  Yt

E  Yt  1   
E  et
Entonces

0
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
E  Yt   E     1 E  Yt  1   E  e t 


0
    1 
 1  1  
 

 1  1 


2
1  0.9 
 20  M edia del proceso
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, primero
centraremos las variables, y hay que tener en cuenta que:
E  y t  j et   0
E  y t et   
2
e
j   1,  2, ...
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Entonces, el cálculo de la varianza es:
 0  V ar ( y t )  V ar  1 y t  1  e t 
  V ar  y t  1   V ar  e t 
2
1
  0 
2
1
1    
2
1
0

2
e
2
e
0 

2
e
1   
2
1

4
1   0.9  
2
 21, 05263
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:
 1  E  y t y t  1   1 E  y t  1 y t  1   E  y t  1 e t 
 0
0
 1  1 0  0, 9   21, 0526   18, 9474
 2  E  y t y t  2   1 E  y t  1 y t  2   E  y t  2 e t 
1
0
 2  1  1  1  1  0 
 2    0  0, 9   21, 0526   17, 0526
2
1
2
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la
autocovarianza de orden k, es:
k  0
k
1
 j  0
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
c) Análisis de las condiciones de estacionariedad.
Dado que la varianza del proceso ha de ser positiva y finita, el
coeficiente  1 , en valor absoluto, tiene que ser menor a la unidad:
 0  V ar ( y t ) 

2
e
1   
2
1
CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD:  1  1
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
c) Hallar la función de autocorrelación.
Dada la generalización de las autocovarianzas, podemos encontrar una
expresión general de la función de autocorrelación (FAC):
1
1  0
k
k   k  0 
0.9
0.8
0
0.7
 1   0 .9   0 .9
1
0.6
0.5
 2   0 .9   0 .8 1
2
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Observaciones
13
14
15
16
17
18
19
20
 1
k
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
c) Hallar la función de autocorrelación parcial.
11   1  1  0.9
 jj  Y  
 j Y  
j 1

j  1, i
i 1
j 1
1

j  1, i
 i Y
i 1
 22 
 22 
 2  1  1
1  1  1

0.81   0.9 
1   0.9 
2
2  
1 
 j 1  Y
2
1
2
1


 j  2, 3, ... 
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
2
0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Observaciones
13
14
15
16
17
18
19
20
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 2)
•
Un ejercicio para ustedes. Otro proceso AR(1):
Yt  2  0 .9 Yt  1  e t
et
i .i .d .  0; 4 
Desarrollen:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Analizar las condiciones de estacionariedad.
d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones
parciales.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
•
Dado un proceso AR(2):
Yt  2  0.9 Yt  1  0.7 Yt  2  e t
e t ~ i.i.d .  0; 4 
Tareas:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
a) Expresión del proceso con la notación de operadores
autorregresivos:
Yt  2  0 .9 Yt  1  0 .7 Yt  2  e t
Y t     1Y t  1   2 Y t  2  e t
Y t   1Y t  1   2 Y t  2    e t
1   B  
1
2
B
2
Y
t
   et
 2  B  Yt    e t
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,
E  Yt   E      1 E  Yt  1    2 E  Yt  2   E  e t 
Ahora bien, dado que
E  Yt

E  Yt  1   E  Yt  2   
E  et
Entonces

0
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
    1    2 
1  1   2  
 

1  1   2 


2
1  0.9  0.7 
 2.5
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, una vez
más centramos las variables (Yt   ) y tenemos en cuenta que:
E  y t  j et   0
E  y t et   
2
e
j   1,  2, ...
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Entonces, el cálculo de la varianza es:
 0  E ( y t y t )  1 E  y t  1 y t    2 E  y t  2 y t   E  e t y t 
 1 1   2  2  V ar  e t 
 1 1   2  2   e
2
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:
 1  E  y t y t  1   1 E  y t  1 y t  1    2 E  y t  2 y t  1   E  y t  1 e t 
 0
 1  1 0   2  1   1  1
1
0
1   2    0
 2  E  y t y t  2   1 E  y t  1 y t  2    2 E  y t  2 y t  2 
1
 2  1 1   2  0  1  1
2  
2
1
1   2   0   2  0
 0
1   2    0    2  0
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la
autocovarianza de orden k (>2), es:
 k   1 k  1   2  k  2
j
 2
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
k   k  0
1 
1   2   1
1 
1
1   2 
1
0
 1
 1
 0.5294
0
0
 2
1
0
 1   2  1
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
2 
2
0
 1
1
0
 2
0
0

 1
 2  1 
  2
  1   2  
2 

2
1
1   2 
  2  -0 .2 2 3 5 3
 1  1   2
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
Respecto a la condición de estacionariedad del AR(2), dado que la
varianza del proceso es mayor que cero, deberán ser numerador y
denominador del mismo signo, por lo que se debe cumplir:
2  1
1   2  1
 2  1  1
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.

2
Y
  0   1 1   2  2  
2
e
Si dividimos a todo por  0 , nos queda:
0
 1
0
e
1
0
 2
2
0
e
2

0
2
0
 1  1  1   2  2
Y  e
2
2
1   1  1   2  2   1 0 .8 9 7 4 4
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
Entonces:
 1  5.76923
 2  -2.435897
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 4)
•
Considere el siguiente modelo:
Yt  2  0.5Yt  1  0.3Yt  2  e t
e t ~ i.i.d .  0; 4 
Tareas:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 5)
•
Considerando el modelo:
Yt  5  0.8Yt  1  e t
e  4
2
Tareas:
a) Hallar la media del proceso.
b) Expresar el modelo en forma de desvíos.
c) Verificar si se cumple la condición de estacionariedad.
d) Hallar la varianza y covarianza del proceso.
e) Hallar la función de autocorrelación.
f) Si Y80 es igual a 35, ¿qué podemos decir respecto de Y8 1?
g) ¿Y qué podría decirse en cambio si el valor de  1 fuese –0.8?
h) Si en el proceso anterior Y80  3 , ¿qué puede decir respecto de Y8 1?
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 6)
•
En un modelo AR(2) se obtuvo:
 1  0.815
 2  0.685
Tareas:
a) Calcular los parámetros  1 y  2 .
b) Analizar las condiciones de estacionariedad.
c) Calcular la función de autocorrelación.
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