VALOR ABSOLUTO
EN LA
RECTA NUMÉRICA.
Manuel E Padilla
1
CONTENIDO
1. Distancia entre dos puntos.
2. Valor Absoluto.
3. Punto medio.
4. Ecuaciones e Inecuaciones con valor
Absoluto
2
Concepto de distancia entre dos puntos en la
recta numérica
Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto
vamos a analizar la siguiente situación.
Oscar, Alberto y Betty se reúnen, en la casa de
Oscar, para realizar un trabajo de la Universidad.
La casa de Betty está ubicada a tres cuadras a la
izquierda de la casa de Oscar.
Casa de Betty
Casa de Oscar
3 cuadras
Casa de Alberto
5 cuadras
La casa de Alberto, por el contrario está ubicada a 5
cuadras a la derecha de la casa de Oscar.
3
Representemos la anterior situación en la siguiente
recta numérica:
B
A
O
3 cuadras
5 cuadras
Donde:
Punto B: ubicación casa de Betty
Punto A: ubicación casa de Alberto
Punto O: ubicación casa de Oscar
4
Concepto de distancia entre dos puntos en la
recta numérica
Ahora el punto de reunión es donde Alberto.
Cuántas cuadras deben recorrer Oscar y Betty?
Casa de Alberto
Distancia de la casa de Oscar a la
Alberto
Distancia de la casa de Betty a la
de Alberto
Betty: 8 cuadras.
Oscar: 5 cuadras
5
La distancia entre dos puntos es siempre positiva y se
define como la longitud del segmento de recta que
tiene como extremos dichos puntos.
La distancia entre los puntos A y B, que denotamos
d(A , B ) , es la misma que la distancia entre los puntos B
y A, esto es: d(A, B) = d(B, A)
A --------------------->B
I
I
A <---------------------B
I
I
d(A,B)
d(B,A)
6
VALOR ABSOLUTO
La distancia entre dos puntos
matemáticamente usando el símbolo
se
escribe
El cual se lee valor absoluto
Se debe leer Valor Absoluto de x y se debe
interpretar como la distancia entre el real cero (origen) y
el punto cuya coordenada es x, en la recta numérica.
x
IMPORTANTE! Como es una distancia su valor es
siempre positivo o cero. En otras palabras, x  0
d(x,0)= I x - 0 I = I x I
d(0,x)= I 0 - x I = I –x I = I x I
0<-------------------- x
I
I
0-------------------->x
I
I
7
VALOR ABSOLUTO
Si el punto de referencia no es el origen, sino un
punto x 1 , la distancia desde este punto de referencia
hasta otro cualquiera x 2 se representa como
d(x ,x )=lx - x l=lx -x l
x 1 --------------------------> x 2 d(x ,x )=lx - x l
1
2
1
2
2
1
1
l
l
x1
<------------------------ x 2
l
l
2
1
2
d(x ,x )=lx - x l
2
1
2
1
x 1 <------------------------> x 2
l
l
d(x ,x )=lx - x l=lx -x l
1
2
1
2
2
1
8
Ejemplo 1:
d(2, 6)  6  2  4
2
3
4
5
6
d(  7, 1)  1  (  7 )  8
-8
-4
-6
-2
0
2
d(  7,  10 )   7  (  10 )  3
- 11
-9
-7
-5
9
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 2:
Determinar la distancia de -3 a 15







18 unidades
d(-3,15)=I-3 -15I=I-18I=18
Distancia mayor
que cero
Ahora calculemos la distancia de 15 a -3
d(15,-3)=I15-(-3)I=I15+3I=I18I=18
10
Ejemplo 3:
VALOR ABSOLUTO
Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:
25
La distancia de 2 a 5
La distancia de 8 a -2
2 4 1
8   2 
El doble de la distancia de 4 a 1
La distancia de un número real x a 5
3 x 1
x 5
El triple de la distancia (tres veces la
distancia) de un número real x a -1
11
Punto medio entre dos puntos en la recta
numérica
El punto medio entre dos puntos en la recta numérica,
es aquel que divide al segmento comprendido entre
ellos en dos partes iguales.
El punto medio, equidista (es decir, se encuentra
a igual distancia) de los extremos del segmento de
recta
12
Concepto de punto medio entre dos puntos
en la recta numérica
Ejemplo 4: Determinar el punto medio del segmento
correspondiente a la distancia recorrida del punto -2 al
punto 6
     








 
Se recorren 8 unidades
El punto medio es 2.
13
Ecuaciones e
Inecuaciones con Valor
Absoluto.
14
Recordemos el principio de tricotomía: Para dos
números reales “a” y “b” cualquiera, se cumple una y
solo una de las siguientes situaciones:
a es menor que b;
a es igual a b
a es mayor que b
Por tanto:
a
I
a=b
I
b
I
b
I
a
I
Para dos puntos x 1 y x 2 sobre la recta numérica
sucederá una y solo una de las situaciones:
1.- Que x 2 esté a la derecha de x 1
2.- Que x 2 esté a la izquierda de x 1
3.- Que x 2 sea igual a x 1
15
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 5:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica
que están a una distancia de 3 unidades del origen.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
3 unidades 3 unidades
Observando sobre la recta tenemos que hay únicamente
dos puntos que cumplen: el 3 y el -3.
Por lo tanto, el conjunto solución es  - 3 , 3 
d  x, 0  = 3
En términos de distancia
Expresado como valor absoluto es:
x-0 = 3

x 3
con conjunto solución:   3, 3 
16
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 6:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica
que están a una distancia menor de 3 unidades del
origen.





3 Unidades




3 Unidades
Observando sobre la recta tenemos que todos los
puntos entre el -3 y el 3 cumplen
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo   3 , 3 
d x,0  3
En términos de distancia
Expresado como valor absoluto es:
x 0  3

x 3
con conjunto solución:  3 , 3 
17
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 7:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica
que están a una distancia mayor de 3 unidades del
origen.





3 unidades






3 unidades
Observando sobre la recta se tiene que todos los puntos
a la izquierda del -3 y a la derecha del 3 cumplen
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo  -∞ , -3  ∪  3 , ∞ 
d  x,0 > 3
En términos de distancia
Expresado como valor absoluto es:
x-0 > 3

x 3
con solución:
 -∞ , -3  ∪  3 , ∞ 
18
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 8:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica
cuya distancia a -3 es de 7 unidades
Observe que ya
no es al origen
Solución:





Los valores que cumplen esta condición son:
x   10 ó
x4
El conjunto solución es:  10 , 4 
Escrito lo anterior en términos de valor absoluto
x  (3)  x  3  7
19
Ejemplo 9
Encontrar el conjunto solución de x
5  7
Solución
Gráficamente corresponde a:
-2
0
7 unidades
5
12
7 unidades
Los puntos se encuentran en el intervalo   2, 12 
20
Ejemplo 10
x 1  4
Encontrar el conjunto solución de:
Solución
Puesto que
x 1 
x  (1 )
Punto de referencia (-1)
El problema consiste en encontrar todos los puntos sobre la
recta numérica que están a 4 unidades de - 1
-5
-4
-3
4 unidades
-2
-1
0
1
2
3
4 unidades
Los valores que cumplen esta condición son
Por lo tanto el conjunto solución es:
x  5
 - 5, 3 
y
x 3
21
Ejemplo 11:
-6<0
Encontrar el conjunto solución de x  4   6
Expresión verbal: Todos los puntos sobre la recta
numérica cuya distancia a - 4 es igual a – 6
OJO!!!: distancia = – 6 ?
La distancia es una longitud, por lo
no puede ser negativa
Conclusión:
tanto
El conjunto solución de la expresión
x  4   6 es 
22
Ejemplo 12:
Para el conjunto de puntos representados en la recta
numérica
Punto Medio:
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Encontrar la expresión correspondiente, en términos de:
Distancia: Los puntos cuya distancia a
a 4 unidades
Valor absoluto:
x  (2)  4

– 2 es menor o igual
x2 4
23
Ejemplo 13:
Comparar las distancias entre un número real
cualquiera en el intervalo   6 , 4  con -6 y 4



5 unidades




5 unidades
a.)Si x es igual a -1
x equidista tanto de -6 como de 4, lo que puede
escribirse en términos de valor absoluto como:
x  (6)  x  4

x6  x4
24
Ejemplo 13 (continuación)
Comparar las distancias entre un número real
cualquiera en el intervalo   6 , 4  con -6 y 4







b.) Si x está más cerca de -6 que de 4, se tiene:
x  (6)  x  4

x6  x4
25
Ejemplo 13 (continuación)
Comparar las distancias entre un número real
cualquiera en el intervalo   6 , 4  con -6 y 4







c.) Si x está más lejos de -6 que de 4, se tiene:
x  (6)  x  4

x6  x4
26
Ejemplo 14
Encontrar el conjunto solución de
Solución:
x  4  x 3
Esta expresión, se puede interpretar como los puntos x
que equidistan tanto de – 4 como de 3.
-4
3
Solo hay un punto x que equidista tanto de – 4 como
de 3 y es el punto -0,5 = -½.
Punto Medio
entre -4 y 3
-4
-½
3
El conjunto solución será por lo tanto {-½}
27
Ejemplo 15:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que
estén a más de 4 unidades de 2.
Solución:







Los puntos que satisfacen son aquellos que están a la
izquierda de -2 y a la derecha de 6 (sin incluirlos)
El conjunto solución es:
   ,  2    6,  
El enunciado del ejemplo en términos de valor
absoluto corresponde a la inecuación:
x 2  4
28
Ejemplo 16
Expresar en lenguaje corriente
x 3 4
Los números reales cuya distancia a 3 es mayor a
4 unidades
x 2 5
Los números reales cuya distancia a 2 es menor ó
igual a 5 unidades
x 1  5
Los números reales cuya distancia a -1 es igual a
5 unidades
2 x 3  4
Los números reales cuya doble distancia a 3 es
mayor a 4 unidades
x 2  x 3
Los números reales cuya distancia a 2 es mayor
29
que su distancia a -3
Ejemplo 17
x2  x5
Escribir sin símbolo de valor absoluto
Punto de referencia
Para x  2 x  2  0 
Para
x5
si x    2, 5 
x  2
x5  0  x  5
x  2  x  2  0  x  2    x  2 
x  2  x  2  0  x  2  x  2
x  5  x  5  0  x  5    x  5 
x  5  x5  0  x5  x5
2
5
x2  x2
x  5    x  5
x 2  x 5 
 x  2    x  5
 x  2   x  5
 2x  3
30
Ejemplo 18
1
x 3 
Escribir sin símbolo de valor absoluto
2
 2x
si x  ¡
Punto de referencia
x3
Para
1
Para
2
x  3  0  x  3
1
 2x
2
 2x  0 
1
2
 2x  x 
x 
4

1
2
1
 2x  0 
2
 2x 
1
2
1
1

 2 x    x  3    2 x 
2
2

x 
 2x
1
4

1
 2x  0 
2
1
2
 2x  
1

2
1
x 3 
2
 2x 
4
x  3 
1
2
 2x 
x
 1

 3      2 x  

 2
1

 2x
2

 x  3  
x  3
1
2
 2x
3x 
5
2
si
 1

x  
, 
 4

1

 2x 
2

 x  3  
3 x 
5
2
si x     ,  3 
x 
7
2
1

si x    3, 
4

31

 2x
1
3
x 3 
4
x  3  x  3  0  x  3  x  3
x  3  x  3  0  x  3    x  3 
1
1

Ejemplo 19
Para qué valores de p, la siguiente inecuación no
tiene solución
x7  3 p
Recordemos que el
valor absoluto es una
distancia, y por lo tanto debe ser un valor
mayor o igual a cero.
Por lo tanto, para que la inecuación anterior
tenga solución
3  p  0 , esto es equivalente a p  3
Entonces concluimos que
p  3 para que la
inecuación x  7  3  p no tenga solución.
32
A TRABAJAR
33
Ejercicios
1. Representar en la recta numérica:
x  3
x  4
x2  3
x2  x5
x  x4
x5  3
x 1  2
x  1  3
2. Exprese en forma de intervalos los resultados
anteriores.
3. Exprese en términos de valor absoluto y en forma de
intervalos las siguientes expresiones:
x está a menos de 3 unidades de 2.
x está a 5 unidades de -3.
x está al menos a 2 unidades de 1.
34
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