SUCUNDUM, SUCUNDUM:
El mar es una mala metáfora de un baño térmico y Laplagne –
aunque mejora - tampoco es la kinesina perfecta.
La plausibilidad del marco. ¿Están dadas las
condiciones para una revolución conceptual en el
mundo browniano?
Asi es que tenemos [en la usina celular] los ingredientes necesarios
para construir un motor. El “ratchet” [de “Forced thermal ratchets”] es
una maquina Browniana que come fluctuaciones fuera del equilibrio y
camina. Un ciclo químico es una maquina Browniana que comoe
energía y genera fluctuaciones fuera del equilibrio. Empalmándolos,
tenemos una maquina que consume energía química y camina. Una
versión de un motor de combustión tan molecular que consume una
molécula de combustible por ciclo.
Transporte en la escala macroscopica:
Ratchets, potenciales asimétricos y capturar y
soltar, capturar y soltar …
Feynman Capitulo 46
Nelson Capitulo 10
Extra Extra:
Los papers de Marcelo y otros de Ratchets en la pagina.
Repaso de algunas herramientas necesarias
F 
U(x) Potencial
dU
dx
Pendiente negativa:
Fuerza positiva
Pendiente positiva:
Fuerza negativa.
Mínimo
Local
Mínimo
x
x
En un mínimo local, la
pendiente (y por ende la fuerza)
cambia de signo. La fuerza es
restitutiva del tipo –kx.
Es, esencialmente – para
valores de x suficientemente
cercanos al minimo, un
oscilador armonico
x en general es la posición en un
problema de transporte, pero puede ser
otra variable, como el parámetro (o
coordenada) de una reacción química –
puede ser, por ejemplo la longitud o el
angulo de una union.
Repaso de algunas herramientas necesarias
F 
dU
dx
U(x) Potencial
regiones prohibidas,
inaccesibles
Pendiente negativa:
Fuerza positiva
Pendiente positiva:
Fuerza negativa.
E
T
x
La partícula oscila entre estos limites con una velocidad
Dada por
2T
T  E U  v 
E  T U
m
En un problema de mecánica Newton, sin viscosidad (i.e.
sin disipación), esta descripción permite entender
rápidamente la solución de este problema físico, que
queda determinada esencialmente por el valor de energía
(que se conserva)
x
T 
1
mv
2
2
(positivo, ergo U < E)
Repaso de algunas herramientas necesarias
F 
dU
dx
Pendiente negativa:
Fuerza positiva
U(x) Potencial
Barrera de Potencial
Pendiente positiva:
Fuerza negativa.
E
x
x
Durante este tramo, la partícula avanza contra el gradiente, con fuerza en contra. En el
camino se frena, pierde cinética, pero si la barrera es suficientemente baja (relativo a la
cinética) pasa del otro lado.
En la mecánica de Newton los baches (las barreras de potencial) se superan por inercia.
En un mundo sin inercia (la vida de una bacteria) donde la velocidad es proporcional a la
fuerza y no hay inercia pasar barreras requiere de algún ayudin (otra fuerza que se sume al
potencial, o el baño térmico)
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) Potencial
n  e

E
kT
h+dh
h
M
g
E
x
x
En física estadística sabemos que, la solución de equilibrio esta dado por
la distribución de Boltzmann. Si el tiempo fuese infinito – que para uno no
lo es- a esta distribución de equilibrio poco le importarían las barreras. En
cualquier juego en el que el tiempo importe, las barreras, que determinan el
tiempo de convergencia al equilibrio, son pertinentes.
Queremos entender el transporte en un mundo térmico y viscoso. Como
avanzar en un huracán pegajoso.
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) Potencial
F potencial  
dU
dx
E
x
x
Problema 1) Proteína varada en un mínimo local. Proteína desearía cruzar la
barrera para lo que decide – en plena conciencia de sus deberes y obligaciones, de
su condición de ser de familia y apelando a que la historia lo perdone si acaso se
equivocase – apelar a una enzima.
Proteína apela a enzima que baja la barrera: la base de la catálisis
Repaso de algunas herramientas necesarias
E
Barrera de S a P sin ayudin
La diferencia de energía
libre para cruzar la
barrera se reduce
La diferencia de
energía no cambia
Energía de Interacción
Coordenada de Reacción (x)
Problema 1) Proteína varada en un mínimo local. Proteína desearía cruzar la
barrera. Proteína apela a enzima que baja la barrera sin cambiar la diferencia de
energía entre el estado inicial (sustrato) y el final (producto): la base de la catálisis
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) Potencial
F potencial  
dU
dx
E
x
x
Problema 2) Bacteria, o miosina varada en un mínimo local. Bacteria desearía
cruzar la barrera para lo que decide – en plena conciencia de sus deberes y
obligaciones, de su condición de ser de familia y apelando a que la historia lo
perdone si acaso se equivocase - aplicar una fuerza que llamamos, por pura
convención, Fext que compite con el potencial.
¿Cuan grande tiene que ser la fuerza para que supere la barrera?
Fext  F potencial
En un baño térmico, la fuerza es proporcional a la velocidad y no hay inercia. Si la
bacteria quiere moverse contra el potencial, la fuerza externa ha de ser mayor que
la de la cuesta de potencial.
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) Potencial
F potencial  
dU
dx
E
x
x
Similitud entre los problemas 1 y 2)
La catálisis resuelve un axioma mojigato: ciertas configuraciones químicas han de
ser necesariamente estables, lo que equivale a decir que estén en un pozo profundo
de potencial. Al mismo tiempo han de salir eventualmente de estos estados, lo que
requiere la INTERACCION con un agente activo que establezca un camino posible
(con una barrera de potencial mas baja)
El transporte molecular, vía el ratcheteo, y la interacción con alguna fuerza externa
(en general de combustión química) hace a las veces de catalizador asegurando
que las particulas puedan estar protegidas del huracán térmico y, a la vez, moverse.
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) Potencial
F potencial  
dU
dx
E
x
x
U ( Fext )
¿Cómo es el potencial de una fuerza constante?
Una recta con pendiente = -Fuerza.
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) + U(F)
E
x
x
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) – U(F)
E
x
x
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x)
E
x
x
Un potencial ratchet (asimétrico) en una fuerza oscilante, una
manera de generar transporte rectificado (con un sentido neto) por
un forzado (fluctuaciones) simétricas.
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) + U(F)
E
x
x
Un potencial ratchet (asimétrico) en una fuerza oscilante, una
manera de generar transporte rectificado (con un sentido neto) por
un forzado (fluctuaciones) simétricas.
Para un valor de Fuerza mayor que una rampa y menor que la otra el
Ratchet rectifica (genera movimiento dirigido) de manera optima
Repaso de algunas herramientas necesarias
U(x) – U(F)
E
x
x
Un potencial ratchet (asimétrico) en una fuerza oscilante, una
manera de generar transporte rectificado (con un sentido neto) por
un forzado (fluctuaciones) simétricas.
El forzado F, hace avanzar la partícula (puede cruzar la barrera de potencial)
Pero el forzado –F no hace que retroceda. En ausencia de ruido, el ratchet
determinista funciona “tal como tiene que funcionar”
¿Y con temperatura? – Una aparente paradoja
A sen(wt)
Ratcheteo 1: Hamacando un potencial asimétrico.
KT = 0.01
KT = 0.1
U
F 
dU
A forzados
deterministas
eficientes, la
temperatura (el
ruido) hace lo
que uno intuye.
La maquina
pierde eficiencia.
 A  sin( wt )
dx
A bajos e ineficientes
forzados deterministas el
ruido actua como un
trampolin, facilitando la
corriente. Es decir que si
bien el ruido por si solo no
basta (segunda ley)
combinado “A LA
CARNOT” con algun
gasto de energia, puede
servir de motor para el
transporte.
Corriente = 0
A pequeño, no supera
ninguna barrera
Corriente
A Intermedio, supera una
barrera, corriente máxima.
Corriente
A grande, supera ambas
barreras, el ratchet pierde
eficiencia. .
La esencia del ratcheteo
A sen(wt)
i.e
“Potenciales
polarizados”
(ACTINA)
i.e
Un forzado con
estructura
temporal “rítmico”.
Por ejemplo
dictado por la
cinética de una
reacción de
combustión
(ATP)
Un potencial ratchet y un mecanismo de ratcheteo que
estudiaremos en la practica
1
N=5
0.5
0
0
100
200
400
500
Ld=10
Li=90
1
E=1
300
¿cómo cambia este potencial si agregamos una fuerza constante?
Esta fuerza representa el trabajo que ejerce la partícula al desplazarse.
0.5
0
0
20
40
60
80
100
Mínimo en una
posición
asimétrica (no en
el centro) de la
“V”
Un potencial ratchet y un mecanismo de ratcheteo que
estudiaremos en la practica
1.5
F
Fuerza de
Arrastre
(la carga)
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
V  V ratchet  V ( F Arrast )
V ( F arrast )   F Arrast   x
E F Arrast   F Arrast  L
E=1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
40
60
80
100
Un potencial ratchet y un mecanismo de ratcheteo que
estudiaremos en la practica
1.5
1
E=1
1
0.5
0.5
0
0
100
200
300
400
500
Concentración de partículas, sigue la distribución de Boltzmann.
Esta fuertemente “empaquetada” en el mínimo de potencial.
Para simplificar las cuentas, asumimos que se encuentran todas en el
mínimo
Aproximaciones (para simplificarnos la vida): KT << e y Earrastre << E
¿cómo hacer para que esta partícula remonte el potencial con su carga a cuestas?
1
F
Fuerza de
Arrastre
(la carga)
0.5
0
0
100
200
300
400
500
Supongamos que apagamos el potencial, por ejemplo si la particula es una kinesina
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