3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Matilde Machado
para bajar las transparencias:
http://www.eco.uc3m.es/~mmachado/
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand


En el modelo de Cournot, las empresas deciden
cuanto producir y el precio de mercado se ajusta
para equilibrar la oferta y la demanda. Pero la
frase “el precio se ajusta” es muy imprecisa, en la
práctica como funciona este ajustamiento?
Es quizás más natural pensar en las empresas
fijando precios y dejando que los consumidores
decidan cuanto quieren comprar a esos precios.
En este contexto surge el modelo de Bertrand
(1883).
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Modelo de Bertrand
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Los supuestos son los mismos que los del modelo de
Cournot pero las empresas eligen precios y no
cantidades:

2 Empresas

Las empresas eligen precios simultáneamente (es decir
antes de observar el precio de su rival)

El producto de las empresas es homogéneo (sustitutos
perfectos)  el consumidor compra del productor que le
ofrezca un precio más barato

Coste marginal constante = c para ambas empresas

Las empresas satisfacen toda la demanda (es decir no
hay restricciones de capacidad)
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Ejemplos de competencia a la Bertrand
pueden ser entre gasolineras en la misma
ruta/calle. La gasolina es un bien
homogéneo y el conductor (en EEUU) por
lo menos puede mirar el precio sin parar a
la ida y en el regreso de su trabajo.
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
La demanda que enfrenta la empresa i es dada por:

 D ( p i ) si p i  p j capta toda la dem anda del m ercado

1
D i ( p i , p j )   D ( p i ) si p i  p j (o cualquier otra cantidad)
2
si p i  p j pierde toda la dem anda
0

Di(pi,pj)
pj
0
0.5D(pi)
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand


El objetivo es de nuevo encontrar las funciones de
reacción (ahora en precios) y luego el equilibrio de Nash
El equilibrio de Nash se caracteriza por un vector de
precios (p*i,p*j) tal que cada empresa maximiza su
beneficio dado el precio de la otra empresa.
 P i ( p i* , p *j )  P i ( p i , p *j )  p i
 j * *
j
*
P
(
p
,
p
)

P
(
p
, p j ) p j

i
j
i

La paradoja de Bertrand dice que el único equilibrio es
aquél en que p*i=p*j=c y por tanto los beneficios de
equilibrio son nulos Pi*Pj*0.
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Vamos a demostrar que este es el único equilibrio en el modelo de
Bertrand. La prueba se construye por contradicción.
Prueba:
1) Supongamos que (sin pérdida de generalidad) p*1>p*2>c es un
equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible.
La empresa 1 no tendría demanda D1=0  P1=0
La empresa 2 tendría toda la demanda del mercado D2=D(p*2) y
P2=(p*2-c)D(p*2)>0
Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de la empresa 1
a p*2 no es p*1 sino p’1= p*2-e. (e es pequeño) lo que llevaría a
P10.
Demostramos que la situación p*1>p*2>c no constituye un equilibrio
del modelo de Bertrand
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
2) Supongamos que p*1=p*2>c es un equilibrio y vamos a
probar que esto no sería posible.
en este caso las empresas se reparten el mercado.
Vamos a suponer que en partes iguales:
P1= (p*1-c)(½D(p*1))>0
P2= (p*2-c)(½D(p*2))= P1> 0
Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de,
por ejemplo, la empresa 1 a p*2 no es p*1 sino p’1= p*2e. (e es muy pequeño) en cuyo caso se ganaría toda la
demanda del mercado y P1’= (p’1-c)D(p’1)≈ (p*1-c)D(p*1)
> P1= (p*1-c)(½D(p*1))>0
Demostramos que la situación p*1=p*2>c no constituye
un equilibrio del modelo de Bertrand
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Gráficamente la situación 2)
p*2
p*2-e
P1 P ’ P 2
c
q
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
3) Supongamos que p*1>p*2=c es un equilibrio y vamos a
probar que esto no sería posible.
en este caso la empresa 1 no tiene demanda
P 1= 0
P2= (p*2-c)D(p*2)=0 (toda la demanda)
Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de,
por ejemplo, la empresa 2 a p*1 no es p*2 sino p’2= p*1-e.
(e es pequeño) en cuyo caso mantendría toda la
demanda del mercado y P2’= (p’2-c)D(p’2)>0
Demostramos que la situación p*1>p*2=c no constituye
un equilibrio del modelo de Bertrand
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
4) El único equilibrio posible es p*1=p*2=c. Pero hay que probar que es de
hecho un equilibrio
en este caso las empresas se reparten el mercado pero no tienen
beneficios.
P 1= 0
P 2= 0
Si la empresa 1 ↓ p1  P1= (p*1-e-c)D(p*1-e)=-eD(p*1-e)<0
luego no tiene incentivos a ↓ p1
Si la empresa 1 ↑ p1  P1= (p*1+e-c)×0=0
luego tampoco tiene incentivo a ↑p1
La empresa 1 no tiene incentivos a desviarse luego p*1 es la mejor
respuesta a p*2. Lo mismo se puede decir para la empresa 2.
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Conclusión: Probamos la paradoja de Bertrand i.e. que
apenas con 2 empresas el único equilibrio posible es
que las dos empresas tienen el mismo precio y este es
igual al coste marginal, por lo que tienen beneficios
nulos y no hay pérdida de eficiencia.
Estamos en el mismo equilibrio que en competencia perfecta
pero con apenas 2 empresas. Esto es difícil de creer
porque con apenas 2 empresas es difícil de creer que
no se pueda tener situaciones con precios por encima
del coste marginal y beneficios positivos.
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
La función de reacción de las empresas es
M
 pM
si p j  p

M
R i ( p j )   p j  e si c  p j  p

si p j  c
 c
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
Gráficamente la función de reacción de las empresas es:
R2(p1)
p1
R1(p2)
pM
M
 pM
si p 2  p

M
R1 ( p 2 )   p 2  e si c  p 2  p
c
si p 2  c

El equilibro de Nash es
único y se da donde se
cruzan las funciones de
reacción (p*2=c,p*1=c) y la
demanda se reparte entre
los dos D*1=D*2=D/2
c
45º
c
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pM
p2
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
El caso Asimétrico: Costes marginales diferentes c1>c2 . En
este caso el resultado anterior ya no se verifica. El
equilibrio de Bertrand implica:
p*=c1 (en realidad c1-e, e pequeño) y la
empresa 2 capta todo el mercado y
obtiene beneficios>0
P 1  0

 P 2  ( c1  e  c 2 ) D ( c1  e )  ( c1  c 2 ) D ( c 1 )  0

p2


Nota: Si c1>pM(c2) entonces el equilibrio sería
p2=pM(c2)=argmax{p}(p-c2)D(p)
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
La paradoja del modelo de Bertrand se puede solucionar si
se cambian cada uno de los 3 supuestos básicos del
modelo.
1.
Solución de Edgeworth: introducción de restricciones de capacidad,
que impiden la empresa vender más cantidad de las que
físicamente puede producir. La idea es que al precio de
competencia perfecta c, cada empresa por si sola no puede
abastecer toda la demanda. El (p*1,p*2)=(c,c) ya no es un equilibrio
del mercado. ¿Porqué? Se prueba por contradicción.
Imaginemos que es un equilibrio. Entonces P1=0, P2=0, si la
empresa 1 sube el precio entonces la empresa 2 enfrenta toda la
demanda pero no la puede absorber.
P2=(c-c)K=0 donde K<D(c)
P1=(p1-c)D1(p1)>0 y D1(p1)=D(p1)-K por tanto la empresa 1 tiene
incentivos en desviarse el punto inicial no es un equilibrio.
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3.4. Competencia en precios
modelo de Bertrand
2.
3.
Dimensión Temporal (juegos repetidos): Si consideramos que los
competidores no se “encuentran” en el mercado una sola vez sino
que probablemente tiene una relación de largo plazo entonces
pueden darse cuenta que una guerra de precios (p1=p2-e) solo
conduce a P=0.
Diferenciación del producto. Si los productos no son homogéneos
(ej: distintas marcas, distinta localización) entonces una reducción
de precios no implica que el rival se quede sin demanda, es decir
no implica ganarse todo el mercado por lo que p=c ya no será un
equilibrio.
Conclusión: El análisis de Bertrand es un caso extremo, al
introducir supuestos más realistas se suaviza la competencia y
el precio de equilibrio será mayor que coste marginal
Los modelos de oligopolio no tienen que ser el mismo para
todas las industrias sino que uno u otro se adapta mejor a una
u otra industria
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