EVALUACIÓN DE
ARGUMENTOS:
UN EXAMEN DIAGNOSTICO
José Alfredo Amor
Facultad de Ciencias UNAM
[email protected]
En el lenguaje coloquial se llama
“lógico” a lo que se considera de
sentido común. Incluso en
matemáticas o filosofía
¿Este sentido común que aplicamos en la vida
debe dirigir la construcción del razonamiento
lógico? ¿La manera natural de razonar
determina a la lógica?
O por el contrario, ¿Son las normas de la lógica
las que deben regir nuestra manera natural de
razonar? ¿La lógica nos enseña a razonar
correctamente?
¿Esto es lógico o no lógico ?
CIRCUNFERENCIA DEL ECUADOR = 2r
CIRCUNFERENCIA CON UN METRO MÁS= 2R
La diferencia entre las dos circunferencias es:
2R – 2r = 1m por construcción. Entonces factorizando 2,
2(R – r) = 1m. Y despejando: R – r = 1/2 m  0.159 m.
Es decir, ?= R – r = 15.9 cm !
ADEMÁS, R – r = 1/2 NO DEPENDE DEL TAMAÑO DE r
¡ES UNA CONSTANTE !
2 r
2R
r
R
¡ R – r=15.9cm !
R-r
¿Sabemos negar?
•
1. La negación lógica del enunciado
“Si te portas bien entonces te llevo al cine” es:
a) Si no te portas bien entonces no te llevo al cine.
b) Si te portas bien entonces no te llevo al cine.
c) Te portas bien y no te llevo al cine.
•
2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
w{x/ xA y xB}, entonces:
a)wA y wB b)wA y (wB o wB) c) wA o wB
•
3. La negación lógica de “ser blanco” es:
a)ser negro.
b)no ser blanco.
c)ser de color distinto al blanco.
•
4. La negación lógica de “3 < x” es:
a) 3 > x
b) 3  x
c) 3 ≮ x
•
5. La negación lógica de “Todos los perros ladran” es:
a)Hay perros que no ladran.
b)Todos los perros no ladran.
c)Ningún perro ladra.
Respuestas Correctas: c,c,b,c,a.
•
•
•
•
•
1. La negación lógica del enunciado
“Si te portas bien entonces te llevo al
cine” es:
c) Te portas bien y no te llevo al cine.
2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
w{x/ xA y xB}, entonces:
c) wA o wB
3. La negación lógica de “ser blanco” es:
b)no ser blanco.
4. La negación lógica de “3 < x” es:
c) 3 ≮ x
5. La negación lógica de “Todos los perros
ladran” es:
a)Hay perros que no ladran.
LA LÓGICA DEDUCTIVA
• Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio
•
•
del razonamiento deductivo correcto o válido.
El razonamiento deductivo válido es el proceso de
obtener conclusiones a partir de suposiciones o
hechos, en el que las conclusiones se siguen
necesariamente de las suposiciones o hechos.
Esto es sumamente importante en el razonamiento,
ya que las demostraciones son argumentos o
sucesiones de argumentos, y estos deben ser
argumentos válidos. Resulta pues obvia la
importancia de saber si un argumento dado es
válido o no lo es.
¿QUE ES UN ARGUMENTO?

Un argumento es un conjunto finito
ordenado de afirmaciones de las cuales se
dice que la última (llamada conclusión), se
sigue de las anteriores, (llamadas premisas).
EJEMPLO



Juan vendrá, si hay buen día.
No hay buen día.
Por lo tanto, Juan no vendrá
Un argumento es: lógicamente válido o
lógicamente inválido
¿QUE ES UN ARGUMENTO VÁLIDO?
Un argumento es lógicamente válido
si y sólo si sucede que:
Sin importar cuál es la interpretación,
Si todas las premisas son verdaderas, la
conclusión
necesariamente
debe
ser
verdadera.
Dicho de otra manera, es lógicamente válido,
si no hay interpretación alguna para la cual
las premisas sean todas verdaderas y la
conclusión sea falsa.
Hay ejemplos de los cuatro tipos de
argumentos:
1. Válidos con conclusión verdadera
2. Válidos con conclusión falsa
3. Inválidos con conclusión verdadera
4. Inválidos con conclusión falsa.
 (Aquí verdadera o falsa, es respecto a
la interpretación natural)

ALGUNAS PRECISIONES


Obsérvese que en un argumento válido, si las
premisas son todas verdaderas, la conclusión será
necesariamente verdadera. Por lo tanto, en un
argumento válido, si la conclusión es falsa,
entonces al menos una de las premisas debe ser
falsa.
¡No importa cuál es la interpretación!
Si el argumento es inválido, lo único que
podemos decir es que hay una interpretación para la
cual las premisas son verdaderas y la conclusión es
falsa, pero con otras interpretaciones puede suceder
cualquiera otra cosa.
Ejemplos de lo anterior, con la interpretación
natural de la aritmética, son los siguientes:
A) ARGUMENTO VÁLIDO CON
CONCLUSIÓN VERDADERA
Todo múltiplo de 6 es
múltiplo de 3.
12 es múltiplo de 6.
 12 es múltiplo de 3.
C) ARGUMENTO INVÁLIDO CON
CONCLUSIÓN VERDADERA
Todo número con exactamente
dos divisores es primo.
4 no tiene exactamente dos
divisores. (Tiene tres: 1,2,4)
 4 no es primo.
B) ARGUMENTO VÁLIDO
CON CONCLUSIÓN FALSA
Todo múltiplo de 4 es par.
5 es múltiplo de 4.
 5 es par.
D) ARGUMETO INVÁLIDO
CON CONCLUSIÓN FALSA
Todo múltiplo de 6 es par.
8 no es múltiplo de 6.
 8 no es par.
Ejemplos de lo anterior, con una interpretación natural,
son los siguientes:




A) ARGUMENTO VÁLIDO CON
CONCONCLUSIÓN VERDADERA
Todo hombre es mortal.
Sócrates es hombre.
Sócrates es mortal
C) ARGUMENTO INVÁLIDO
CON CONCLUSIÓN VERDADERA
Todo pingüino es ave.
Mi perro no es pingüino.
 Mi perro no es ave.






B) ARGUMENTO VÁLIDO
CON CONCLUSIÓN FALSA
Toda ave es voladora.
El avestruz es ave.
 El avestruz es voladora.
D) ARGUMETO INVÁLIDO
CON CONCLUSIÓN FALSA
Todo pez es nadador.
El delfín no es pez (es mamífero).
 El delfín no es nadador.
Una última observación: si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna
interpretación, sólo podemos concluir que:
o bien el argumento es inválido, o bien alguna de las premisas es falsa.
Ejemplos de lo anterior, con una interpretación natural,
son los siguientes: Para mostrar que C) es inválido,
basta con cambiar “ave” por “animal”.




A) ARGUMENTO VÁLIDO CON
CONCONCLUSIÓN VERDADERA
Todo hombre es mortal.
Sócrates es hombre.
Sócrates es mortal
C) ARGUMENTO INVÁLIDO
CON CONCLUSIÓN VERDADERA
Todo pingüino es ave.
Mi perro no es pingüino.
 Mi perro no es ave.






B) ARGUMENTO VÁLIDO
CON CONCLUSIÓN FALSA
Toda ave es voladora.
El avestruz es ave.
 El avestruz es voladora.
D) ARGUMETO INVÁLIDO
CON CONCLUSIÓN FALSA
Todo pez es nadador.
El delfín no es pez (es mamífero).
 El delfín no es nadador.
Una última observación: si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna
interpretación, sólo podemos concluir que:
o bien el argumento es inválido, o bien alguna de las premisas es falsa.

Debe ser claro que los dos ejemplos de argumentos
inválidos C) y D) tienen la misma forma y que el
hecho de que la conclusión pueda ser verdadera (con
la interpretación usual) es una contingencia; es decir,
se debe a la casualidad, si únicamente consideramos
las premisas dadas.

Debe ser claro también que en el ejemplo B) de
argumento válido con conclusión falsa, por el hecho
de ser un argumento válido, necesariamente alguna
de las premisas debe de ser falsa con la
interpretación usual.


Ahora bien, ¿cómo podemos demostrar que un
argumento
inválido
es
efectivamente
inválido?.
La manera de hacerlo es dando una
interpretación conveniente al lenguaje
involucrado, de modo que resulte (respecto a
esa interpretación) que las premisas sean todas
verdaderas y la conclusión sea falsa. Esto
ocurre en el argumento D) con la
interpretación usual tal como está.
¿Y cómo demostramos la validez de un
argumento?


La manera semántica directa de demostrar que un
argumento es válido consiste en suponer verdaderas a
todas las premisas (con respecto a una interpretación
abstracta), sin tomar en cuenta ninguna interpretación en
particular, y a partir de eso, usando únicamente los
criterios de verdad, hacer ver que la conclusión es
necesariamente verdadera.
En algunos casos la manera semántica directa, no es
posible, por lo que hay que hacerlo de modo indirecto, por
reducción al absurdo, es decir suponiendo que hubiera
una interpretación respecto a la cual todas las premisas
fueran verdaderas y la conclusión fuera falsa. A partir de
ahí, llegar a una contradicción.
Escribir el número y su respuesta
1. Considere el siguiente argumento:
 Todos los borogroves son kismis, si algo
tirila.
 Nito tirila y Pac es un borogrove.
 Por lo tanto, Pac es un kismi.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
2. Considere el siguiente argumento:

Todos le tienen miedo a Drácula.

Drácula sólo le tiene miedo a William.
 Por lo tanto, William es Drácula.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
3. Considere el siguiente argumento:
 Si hoy es jueves entonces mañana será
viernes.
 Mañana será viernes.
 Por lo tanto, hoy es jueves.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
4. Considere el siguiente argumento:
 Juan es hermano de todos los hermanos de
Roberto.
 Juan no es hermano de sí mismo.
 Por lo tanto, Juan no es hermano de
Roberto.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
5. Considere el siguiente argumento:
 X es un número menor que todos los
números menores que Y.
 X no es menor que X.
 Por lo tanto, X no es menor que Y.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
6. Considere el siguiente argumento:
 Algunos humanos son mexicanos.
 Algunos mexicanos fuman.
 Por lo tanto, Algunos humanos fuman.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
7. Considere el siguiente argumento:
 Hay una lanza que perfora a todos los escudos.
 Hay un escudo al que no lo perfora ninguna
lanza.
 Por lo tanto, Hay una lanza que perfora y no
perfora a un escudo.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
8. Considere el siguiente argumento:

2 divide al numerador de 6/8.

6/8 = 3/4.

Por lo tanto, 2 divide al numerador de 3/4.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
9. Considere el siguiente argumento:
 Romeo ama a Julieta
 Julieta es una palabra de siete letras
 Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete
letras.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Escribir el número y su respuesta
10. Considere el siguiente argumento:
 Cualquier barbero de Ensenada, rasura a todos
los hombres de Ensenada que no se rasuran a
sí mismos, y sólo a esos.
 Por lo tanto, no hay barberos en Ensenada.
a) El argumento es lógicamente válido
b) El argumento es lógicamente inválido
Respuestas Correctas:
1. a)
2. a)
3. b)
4. a)
5. a)
6. b)
7. a)
8. a)
9. a)
10. a)
VALIDEZ E INVALIDEZ DE ARGUMENTOS
diga de cada afirmación si es verdadera o falsa





a) Si un argumento es válido, su conclusión es
verdadera.
b) Si la conclusión de un argumento es verdadera,
el argumento es válido.
c) Si un argumento es inválido, todas sus premisas
son verdaderas y la conclusión es falsa.
d) Si un argumento es inválido, al menos una de
sus premisas es verdadera y la conclusión es falsa.
e) Si un argumento tiene todas sus premisas
verdaderas y la conclusión falsa, el argumento es
inválido.





f) Si un argumento válido tiene alguna premisa falsa,
tiene también la conclusión falsa.
g) Si un argumento válido tiene la conclusión falsa,
tiene todas las premisas falsas.
h) Si un argumento válido tiene la conclusión falsa,
tiene al menos una premisa falsa.
i) Si un argumento válido tiene todas sus premisas
verdaderas, tiene la conclusión verdadera.
j) Si un argumento tiene todas sus premisas
verdaderas y la conclusión verdadera, es válido.
BIBLIOGRAFÍA








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comunicada II, TDL, Univ. Xalapa, AML, Ed. Torres Asociados,
2003.
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Easley, J. A. Lógica y heurística en la reforma curricular de las
matemáticas, Matemáticas y Enseñanza, Nos. 7 y 8, SMM, 1976.
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Limusa, 1987.
Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas, Editorial Trillas,
1965.
Smullyan Raymond, ¿Cómo se llama este libro?, Editorial Cátedra
colec. Teorema, 1978.
Tarski Alfred, Truth and proof, Scientific American, junio 1969.
Torres Torija, Planteo y resolución de problemas, Editorial
Trillas, 1976.
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QUE ES UN ARGUMENTO CORRECTO?