Tema III
Teorías de fallas
estáticas
Mecánica de materiales – Falla estática
Teorías fundamentales de falla
1) Teoría del “Esfuerzo normal” para
materiales frágiles y la teoría del “Esfuerzo
Normal Máximo” para materiales dúctiles
propuestas por Rankine.
2) Teoría de la “Deformación Unitaria
Máxima” para materiales dúctiles propuesta
por Saint-Venant.
3) Teoría del “Esfuerzo Cortante Máximo”
para materiales dúctiles propuesta por
coulomb en 1773 y por Tresca en 1868.
Mecánica de materiales – Falla estática
teorías fundamentales de falla
Teoría de la “Fricción Interna” para
materiales frágiles establecida por Mohr y
Coulomb.
5) Teoría de la “Energía Máxima de
Deformación” para materiales dúctiles
propuesta por Beltrami.
6) Teoría de la “Energía Máxima de
Distorsión”
para
materiales
dúctiles,
establecida por Huber, Von mises y Hencky.
7) Teoría del “Esfuerzo Cortante Octaédrico”
para materiales dúctiles de Von Mises y
Henky.
4)
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal
(materiales frágiles) y Normal Máximo
(materiales dúctiles)
“La falla en una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (biaxial o triaxial), es
alcanzada cuando el Esfuerzo Normal o Normal
Máximo en un punto cualquiera de la muestra se
hace mayor o igual al esfuerzo de falla axial,
determinado por una prueba de tensión o
compresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo normal
Esta teoría afirma que la falla para
materiales dúctiles ocurre siempre que:
1  
ft

f
1  
2 
ft

f
2 
fc

f
3 
ft

f
3 
fc

f
fc

Y para materiales frágiles:
 1   ut
 1   uc
 2   ut
 2   uc
 3   ut
 3   uc
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal para falla
por esfuerzos triaxiales (frágil)


ut
uc
ut

uc

Región de no
falla FS>1
ut

uc

Superficie de
Falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo
para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)

Región de falla
(exterior) FS<1
Región de no falla
(interior) FS>1
f
f
f

f
f
f

Superficie de
falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal para falla
por esfuerzos biaxiales (frágil)

Diagonal
de corte
ut
ut
uc

Región de
falla FS=1
Región de
falla FS<1
Región de no
falla FS>1
uc


Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo
para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)
Diagonal
de corte

Región de
falla FS<1
f

f
f
Región de
falla FS=1
f


Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo normal
Si el criterio de falla es la fluencia se
tiene:
FS 

ft
1
FS  

fc
1
Si el criterio de falla es la ruptura
FS 
 ut
1
FS  
 uc
1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria
Máxima (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (biaxial o triaxial es
alcanzada cuando la deformación unitaria máxima
en un punto cualquiera de la muestra se hace
mayor o igual a la deformación unitaria de falla
(σf/E), determinada por una prueba de tensión o
compresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Deformación unitaria en el punto
de falla
Haciendo una prueba de esfuerzo axial, la
deformación unitaria en el punto de falla
sería
f 

f
E
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría deformación unitaria
Según esta teoría la falla se produce cuando:
1  
f
 1  
2  
f
 2  
f
3  
f
 3  
f
f
Expresando estas ecuaciones en función
de los esfuerzos principales
 1    2   3   
f
 1    2   3    
f
 2    1   3   
f
 2    1   3    
f
 3    2   3   
f
 3    1   2    
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Deformación limitadora en la
dirección de los ejes (1) y (2)
1  

f

E
1
E
 1   3 
2  

f
1

E
E
de donde
3 
1


respectiva mente
1

f

 3   1  
f
 3   1 
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria
Máxima para falla por esfuerzos
triaxiales (dúctil)

Región de no falla
(interior) FS>1
Región de falla
(exterior) FS<1


Superficie de
falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria
Máxima para falla por Esfuerzos
biaxiales (dúctil)

f / (1+v)
Región de
falla FS<1
f / (1-v)
f
f / (1-v)
Región de no
falla FS>1
Superficie de
falla FS=1
f

f

f / (1+v)
Diagonal de corte
f

Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad según la teoría
de la deformación unitaria máxima
Según esta teoría existe seguridad siempre
que:
f
FS 
 i    j   k 
donde :
i  j  k  1, 2 ,3 por turno
El esfuerzo de corte límite viene dado por:
f 

f
1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo
(materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (biaxial o triaxial) es
alcanzada cuando el esfuerzo cortante máximo en
un punto cualquiera de la muestra se hace mayor
o igual al esfuerzo de corte máximo de falla (f),
determinado por una prueba de tensión o
compresión del mismo material”
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximo
Para que la falla por fluencia ocurra según la
Teoría del Esfuerzo de Corte Máxima debe
ocurrir que:
1 

f
2
2 

f
2
3 

f
2
De la misma forma, en función de los esfuerzos
principales se tiene que:
2 3   f
1  3   f
1  2   f
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo
para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)
Región de no falla
(interna) FS>1
Región de falla
(externa) FS<1






Superficie de
falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo
para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)

σ3=σf
Diagonal de corte
F
σ3-σ1= σf
Región de
falla FS<1
Región de no
falla FS>1
F
F
F
σ1=-σf

F
F
σ3=-σf
σ1= σf
σ1-σ3= σf
σ1=- σ3
Región de
falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximo
1  
Cuadrante
I
Cuadrante
II
Cuadrante
III
 1  
Cuadrante
IV
1 3  
3 
y
f
3 1  
f
f
y
f
f
 3  
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Combinación de las teorías del
esfuerzo normal máximo y la del
esfuerzo de corte máximo
σ3
σf
σ1
σf
σf
σf
σ3
σ1
Mecánica de materiales – Falla estática
Combinación de teorías normal máximo y
corte máximo
Cuadrante
Cuadrante
Cuadrante
Cuadrante
I
II
III
IV
FS 

f
y
1
FS 

f
3
f
3 1
FS  
FS 
FS 


f
1

f
1 3
y
FS  

f
3
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximo
En el caso de corte puro σ1= -σ3, todas las
combinaciones caen sobre la línea diagonal
a 45º que pasa por el origen. El esfuerzo
de corte límite ocurre en un punto sobre la
superficie en el cuadrante II y IV
f 

2
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de Falla de la Fricción Interna
(Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (biaxial o triaxial), es
alcanzada cuando el mayor círculo de Mohr
asociado con el estado de esfuerzos en un punto
cualquiera de la muestra, se hace tangente o
mayor al contorno de la envolvente de los círculos
de prueba, determinado en un ensayo de tensión
axial, compresión axial y torsión del mismo
material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Región de falla para la teoría de MohrCoulomb (frágil)

u
uc
Envolvente superior de los círculos


Envolvente inferior de los círculos
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
El círculo O – σut, se obtiene a partir del ensayo
de tensión uniaxial; el círculo
O – σuc, se
obtiene del ensayo de compresión uniaxial y el
círculo O – u se obtiene del ensayo de corte
puro.
Con estos círculos se origina una
envolvente a partir de los tres círculos de
prueba, una en la parte superior y otra en la
parte inferior. De esta forma la región de falla
esta ubicada en la parte exterior de la
envolvente de los círculos sobre el plano σ - 
como se muestra en la figura siguiente
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna

Región de falla
ab
Región de no falla

Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
Para el caso de un estado de esfuerzo biaxial,
cuando σ1 es de tensión y σ3 es a
compresión, el máximo esfuerzo de corte y el
esfuerzo normal están dados por:
   1   max 
 
1 3
2
1 3
2
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
Si sustituimos la ecuación de la recta  = aσ+b
con las ecuaciones anteriores obtendríamos:
 1 1  a    3 1  a   2 b
Para evaluar las constantes a y b se deben
tomar las siguientes condiciones de borde
 1   ut
 3   uc
cuando
cuando
3  0
1  0
Mecánica de materiales – Falla estática
Valores de las constantes a y b
Si resolvemos teniendo en cuenta las condiciones
de borde anteriores obtendríamos:
a
 ut   uc
 ut   uc
y
b
 ut  uc
 ut   uc
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna
Si estas constantes son sustituidas se puede
determinar completamente la ecuación de la
envolvente de falla por fractura
Cuadrante
Cuadrante
IV
II
1
 ut
3
 ut


3
 ut
1
 ut
1
1
Para los cuadrantes I y III, estas relaciones se
hallan directamente de la figura siguiente
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de Mohr-Coulomb con
teoría de falla del Esfuerzo Normal
superpuesta

Diagonal de corte
σ1 = -σ3

ut
Región de
falla FS<1
f
uc
σ1 = σuc
ut
Región de no
falla FS>1
f
Región de
falla FS=1
σ3 = σuc
uc


Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna con teoría del
esfuerzo normal
 ut
 ut
Cuadrante
Cuadrante
I
II
FS 
1
Cuadrante
III
IV
FS 
FS  
FS 
3
 ut
3 1
Cuadrante
FS 
y
 ut
 uc
 uc
1
y
 ut
1 3
 ut
 uc
FS  
 uc
3
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna con teoría del
esfuerzo normal
La resistencia última al corte se obtiene como
sigue:
u 
 ut
1
 ut
 uc
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de la Energía Máxima
de Deformación (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (triaxial o biaxial), es
alacanzada cuando la energía de deformación por
unidad de volumen en un punto cualquiera de la
muestra, se hace mayor o igual a la energía de
deformación por unidad de volumen de falla,
determinada por una prueba de tensión o
compresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación
Para expresar matemáticamente la teoría, es
necesario desarrollar una expresión para la energía
elástica total de deformación por unidad de volumen
en un estado general de esfuerzos. Esta energía es
igual al área situada debajo de la curva esfuerzodeformación.
U 
1
2
F
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación en el cubo
elemental
En un cubo elemental que esté sometido sólo
a esfuerzo de tracción a lo largo del eje X, la
energía de deformación viene dada por:
U 
1
2
 x  x dAdx 
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de deformación
La ecuación anterior describe la energía elástica
total absorbida por el elemento. Puesto que el
volumen del elemento es (dAdx), la energía de
deformación por unidad de volumen está dada
por:
UT 
U
dAdx

1
2
 x x 
1
2
x
2 E
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación para un
elemento sometido a corte
De igual manera, la energía de deformación
por unidad de volumen de un elemento
sometido a corte puro está dada por:
UT 
1
2
 xy  xy 
1
2
xy
2 G
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación para un
estado general de esfuerzos
Las relaciones de la deformación uniaxial pura y
de corte puro se pueden combinar por el principio
de superposición para dar la energía de
deformación elástica en una distribución general
de un estado de esfuerzo en tres dimensiones.
UT 
1
2

x
 x   y  y   z  z   xy  xy   xz  xz   yz 
yz

Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación en función de
los esfuerzos principales
UT 
1
2E

2
1
2
2
En función de los esfuerzos y deformaciones
principales tendríamos:
UT 

  2   3  2  1 2   2 3   3 1 
1
2
 1 1   2  2   3 3 
Mecánica de materiales – Falla estática
energía de deformación
Para una prueba de tensión uniaxial, el único
esfuerzo principal que no es cero, es aquel que
se hace igual a la resistencia a la fluencia σf en
el punto de fluencia, y la energía total de
deformación por unidad de volumen que le
corresponde es:
U Tf 
1
2E

2
f
U T  U Tf
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía Máxima de
Deformación para falla por esfuerzos
triaxiales (dúctil)

Región de no falla
(interior) FS>1
Región de falla
(exterior) FS<1


Superficie de
falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para estado de
esfuerzo triaxial según teoría de la
energía de deformación
FS 

f
      2  1 2   2 3   3 1 
2
1
2
2
2
3
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía Máxima de
Deformación para esfuerzos biaxiales
(dúctil)

Región de
falla FS<1
F

F
F

Región de no
falla FS>1
F
Región de
falla FS=1

Diagonal de corte
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para estado de
esfuerzo biaxial según teoría de
energía de deformación
FS 

f
  2 1 3  
2
1
La resistencia límite al corte sería:
f 

f
2 1   
2
3
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de la Energía de
distorsión (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (triaxial o biaxial), es
alcanzada cuando la energía de distorsión por unidad
de volumeb en un punto cualquiera de la muestra, se
hace igual o mayor a la energía de distorsión por
unidad de volumen de falla, determinada por una
prueba de tensión o compresión axial del mismo
material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de distorsión
La teoría de la energía de distorsión se originó a
partir de observación de que los materiales
pueden soportar presiones hidrostáticas muy
elevadas sin producir ningún efecto sobre la
fluencia. Así se postuló que la fluencia no era de
ninguna manera, un fenómeno de tensión o de
compresión simple, sino, mas bien que estaba
relacionada de algún modo con la distorsión del
elemento esforzado.
Debido a esto, en el
desarrollo de esta teoría, la energía total de
deformación elástica puede ser dividida en dos
componentes:
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de deformación


La energía de distorsión o de cambio de
forma.
La energía de variación de volumen.
UT=U’T+U’’T
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía asociada con la variación de
volumen
U T ''
U T ''
1
6E
1
2
 mV
 1   2   3  1  2 
2
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de distorsión
U T ' U T  U T.''
U T ''
1
2E
U
'
T


2
1

     2  1 2   2 3   1 3 
2
2
1
6E
2
3

1

2

2
1
6E
 1   2   3  1  2 
  2   3    3   1 
2
2
2

Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de distorsión para un estado
de esfuerzo uniaxial
U Tf '
1
3E
U T ' U Tf '

2
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía de Distorsión
para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)

Región de no falla
(interior) FS>1
Región de falla
(exterior) FS<1


Superficie de
falla FS=1
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado
de esfuerzo triaxial según teoría de
energía de distorsión

FS 
1
2

  2    2   3    3   1 
2
1
f
2
2

Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía de Distorsión
para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)

Región de
falla FS<1
σ1 = -σ3
F
F

F
F

Región de no
falla FS>1
F
Región de
falla FS=1
F

Diagonal de corte
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado
de esfuerzo biaxial según teoría de
energía de distorsión
FS 

f
   1 3  
2
1
2
3
El límite a la fluencia por corte puro viene dada
por:

f


f
3
 0 ,577 
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla del Esfuerzo Cortante
Octaédrico de Von Mises y Hencky
(materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier
combinación de cargas (triaxial o biaxial), es
alcanzada cuando el esfuerzo de corte octaédrico
en un punto cualquiera de la mustra, se hace igual
o mayor al esfuerzo octaédrico de falla,
determinada por un prueba de tensión o
compresión axial del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Esfuerzos octaédricos
 oct 
 oct 
 oct 
1  2 3
3
1
 1   2 
3
2
3

f
2
  2   3    3   1 
2
2
Mecánica de materiales – Falla estática
Planos de corte octaédricos guiados
a la teoría de falla de Mises-Hencky
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado
de esfuerzo triaxial según teoría del
esfuerzo octaédrico

FS 
1
2

  2    2   3    3   1 
2
1
f
2
2

Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías de falla
para un estado de esfuerzo biaxial
Dos planteamientos pueden ser empleados para
comparar las teorías de falla, uno de ellos es el
siguiente:
Teoría de esfuerzo de corte máximo.
f=1,00 σf
Teoría de la deformación unitaria máxima f=0,74 σf
Teoría de la energía de deformación.
f=0,608 σf
Teoría de la energía de distorsión
f=0,577 σf
Teoría del esfuerzo cortante máximo
f=0,50 σf
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías de falla
gráficamente sobre un sistema
coordenado normalizado:
Mecánica de materiales – Falla estática
Observaciones acerca de las
teorías de falla
La evaluación de las teorías de falla, con clara
evidencia experimental llevan a las observaciones
siguientes:


Para materiales isotrópicos que fallan por fractura
frágil, la mejor teoría a usar es la teoría del
Esfuerzo Normal.
Para materiales que fallan por fractura frágil pero
que presentan una resistencia última en
compresión, la mejor teoría a usar es la de MohrCoulomb.
Mecánica de materiales – Falla estática
observaciones acerca de las teorías de
falla

Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia
o ruptura dúctil, la mejor teoría a usar es la teoría
de la Energía de Distorsión.

Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia
o ruptura dúctil, la teoría del esfuerzo de corte
máximo es tan valida como la teoría de la energía
de distorsión.
Mecánica de materiales – Falla estática



observaciones acerca de las teorías de
falla
Como un método práctico, puede ser usada la
teoría de Mohr-Coulomb en aquellos materiales
isotrópicos que presenten una ductilidad menor
al 5% de elongación sobre una longitud
calibrada de 2 pulgadas.
Como un método práctico, puede ser usada la
teoría de la energía de distorsión o la del
esfuerzo de corte máximo en aquellos
materiales isotrópicos que presenten un
ductilidad de 5% o mas en 2 pulgadas de su
longitud calibrada.
Donde sea posible debe ser llevado a cabo un
análisis de mecánica de la fractura.
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías para una
variedad de materiales dúctiles
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías para una
variedad de materiales frágiles
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TEMA 3 Teorías de fallas estáticas ver