ARTE Y
COMBINATORIA
¿Inspiración o simple probabilidad?
Álvaro Fernández Fernández del Amo
04297
• 1-BREVE BIOGRAFÍA DE MOZART
Wolfgang Amadeus Mozart nació en Salzburgo, el 27 de
enero de 1756 y murió en Viena el 5 de diciembre de
1791. Es considerado como uno de los más grandes
compositores de música de todos los tiempos. A pesar
de que murió muy joven, nos ha legado una obra que
abarca todos los géneros musicales de su época:
óperas, conciertos, sonatas, sinfonías…. Según el
testimonio de sus contemporáneos era, un virtuoso del
piano, el violín y la viola.
A los cuatro años practicaba el clavicordio y componía
pequeñas obras de considerable dificultad; a los seis,
tocaba con destreza el clave y el violín. Podía leer
música a primera vista, tenía una memoria prodigiosa y
una inagotable capacidad para la improvisación.
Existen numerosas leyendas acerca de su enemistad
con Salieri, algunas de las cuales involucran a éste
último en la muerte de Mozart. Sin embargo parecen
infundadas, aunque son aceptadas por muchas
personas debido a la literatura y el cine.
Mozart perteneció a una logia masónica, de la que llegó a ser Maestro. Algunas
evidencias de esto se encuentran en sus obras, como la Flauta Mágica. Sin embargo,
también sobre este hecho se ha construido una leyenda de tintes oscurantistas y
misteriosos que distorsionan una realidad mucho más simple.
• 2-EL JUEGO DE LOS DADOS
Entre las obras de Mozart se encuentra
Musikalisches Würfelspiel. Se publica por
primera vez en 1793.
Es en realidad un generador de valses.
Consta de 176 compases, de los que se
pueden obtener un número de valses
“casi infinito”, de 16 compases cada uno,
sin más que tirar unos dados.
La manera de seleccionar los compases
y su orden es la siguiente:
– Se tiran dos dados, y según sea su
suma, se toma el compás
correspondiente a esa suma, de la
primera columna. Para dos dados, la
suma está comprendida entre 2 y 12
(11 posibles valores), que son las 11
filas de la tabla.
– Se repite el proceso con las 16
columnas, obteniéndose los 16
compases que formarán nuestro
vals.
El número que aparece en cada casilla indica el número de
compás, de entre los 176, que se ha de coger. Véase que
cada compás puede salir solo una vez, pues en total hay
176 casillas 11  16  176 
Por ejemplo, si al tirar los dados 16 veces obtenemos las
sumas 5,4,7,3,12,7,6,9,10,8,8,2,6,8,3,7 deberíamos coger
los compases:
40,95,27,63,28,68,36,94,65,155,57,9,76,168,116,151
Si no tenemos en cuenta que algunos compases son iguales entre sí, el número total de
posibles piezas es de
11  11 ..........  11  11
16
(en cada tirada hay 11 posibles resultados, y
se realizan 16 tiradas)
Al tirar los dos dados, no todos los números del 2 al 12 tienen la misma probabilidad de
salir:
1
P ( 2 )  P (12 ) 
36
2
P ( 3 )  P (11 ) 
36
3
P ( 4 )  P (10 ) 
36
P (5 )  P (9 ) 
4
36
P (6 )  P (9 ) 
5
36
P (7 ) 
6
36
De este modo, el vals más probable sería
el: (7,7,7,…..7,7), correspondiente a sacar
un siete en cada tirada, con una
probabilidad
 6 
P ( 7 , 7 ,.... 7 ) 



36 36
36  36 
6
6
6
16
Por contra, el vals más improbable sería
el (2,2,2……2) ó el (12,12,12,….12),
ambos con probabilidad
 1 
P ( 2 , 2 ,..... 2 )  

 36 
16
• 3-ALGUNOS CÁLCULOS
Si cada vals dura unos 30segundos:
→2valses
→172800valses
→63.072.000valses
En 1minuto escuchamos
En 1día
En 1año
….para escucharlos todos seguidos…
11
16
63072000

10
16
10
7
 10  mil millones
9
de años !!!
La edad del universo se calcula en 15 mil millones de años, “sólo” 15 veces más
Vamos a calcular la posibilidad de escuchar repetido uno de los valses:
Si tomamos el vals más frecuente, el (7,7….7), con posibilidad:
P ( 7 , 7 ,.... 7 ) 
6
6
36 36

 6 


36  36 
6
16
Vemos que su complementario -la probabilidad de que éste no ocurra- es:
 6 
P ( No 7 , 7 , 7 .... 7 )  1 

 1 

36 36
36
 36 
6
6
6
16
16
 30 

 (¡atención!)
 36 
Así pues, la posibilidad de que se repita el vals (7,7,…..7) al cabo de N lanzamientos es:

 6  

PN ( 7 , 7 ,.... 7 )  1  1  



36




16
N
Y si lo que queremos ver es cuántos lanzamientos han de hacerse para tener una cierta
probabilidad de que se repita:

6  

 Ln 1  PN   Ln  1  
 

 36  

16
N
 6 
 N

 36 
16
 36 
 N  

 6 
16
 Ln 1  PN

P
1
Si analizamos la función

 6  

PN ( 7 , 7 ,.... 7 )  1  1  


 36  

16
N
Vemos que es del tipo
y  1 a
x
Que para 0  a  1
Se comporta de la siguiente manera
N 0
P  0
N  
P 1
Calculamos algunos valores significativos:
 36 
P  0 .5  N   

 6 

N
0
0
-No tiene sentido estudiar la función para valores de N menores
que 0 pues significaría un número de lanzamientos negativo
-Vemos que necesitaríamos infinitos lanzamientos para tener
una probabilidad del 100%. La función tiende asintóticamente a
1 y es cero en el origen. Para el resto de valores nos da una
posibilidad entre 0 y 1
16
 36 
P  0 . 95  N   

 6 
Ln 1  . 05    6
16
Ln  0 . 5   1 . 95  10
12
lanzamientos
16
Ln 1  . 95    6
16
Ln  0 . 05   8 . 45  10
12
lanzamientos
Si hacemos los mismos cálculos para el vals menos probable, el (2,2,…..2), tenemos:
16
 36 
P  0.5  N  

1


Ln1  .05  6
32
Ln0.5  5.5 10
24
lanzamientos
16
 36 
32
25
P  0.95  N  
 Ln1  .95  6 Ln0.05  2.38 10 lanzamientos
 1 
Traduciendo estos valores en tiempo, como ya hicimos, vemos que necesitaríamos:
1año  63.072.000valses
xaños   valses
-100.000años para tener un 50% de posibilidades de que se repitiera el vals más
probable
17
- 10 años para que aleatoriamente se volviera a repetir el menos probable de todos
con un 95% de posibilidades!!!
Esto es casi la edad del Universo al cuadrado!!!!!!!!
De esta manera, si tiramos los dados y escuchamos el vals que nos salga, casi con toda
seguridad seremos las únicas personas que han escuchado esa melodía en la
historia, y las únicas que la escucharán también en muchos millones de años!!!
El sol se apagará en “sólo” 5mil millones de años ( 5 10 ) de modo que hará falta
que viajemos por el espacio y nos establezcamos en otros mundos para confiar en
que nuestra melodía vuelve a ser escuchada
9
4-UNA BREVE INTRODUCCIÓN A LA ESCRITUA MUSICAL
El compás es la unidad en la que se estructura una pieza musical.
En una partitura, cada compás se marca con unas barras verticales, que marcan la
separación con el anterior y con el siguiente.
El compás se divide en unidades de tiempo, que pueden ser ocupadas por notas musicales o
por silencios. El número de unidades tanto de sonido como de silencio es exacto y no puede
ser vulnerado. La escritura musical tiene unas leyes y una estructura muy matemática y
precisa, pese a lo que pueda parecer. Toda melodía, por muy anárquica que parezca, siempre
estará dividida de manera precisa en compases.
Al principio de la pieza se
indica el tiempo mediante los
dos números que aparecen. En
este caso cada compás tendrá
dos notas negras
Esta pieza
tiene dos
voces, cada
una
representada
en un
pentagrama.
Los
compases de
cada voz han
de coincidir
de manera
exacta
Compás. En este caso,
la voz de arriba se
mantiene en silencio,
mientras que la de abajo
toca dos notas negras
Armonía: vertical
Ahora la voz de arriba
toca cuatro corcheas,
que equivalen a dos
negras, mientras la voz
de abajo está en silencio
Melodía: longitudinal
La dificultad de componer música estriba no solo en componer una melodía
que se ajuste a estas reglas, sino también en lograr que al sucederse unos a
otros, los compases formen una melodía coherente y bella, a la vez que cada
uno esté en armonía con los sonidos de las otras voces que suenan a la vez.
5- ¿INSPIRACIÓN O SIMPLE PROBABILIDAD?
Más que los cálculos sobre el número de valses que se
obtendrían y el tiempo que se requeriría para escucharlos, lo
que realmente importa es la calidad de estos.
Cualquier persona con mínimos conocimientos musicales
podría hacer algo similar: escoger unos compases y crear
unas tablas similares a las de Mozart de modo que también
generaría una infinidad de piezas distintas.
Pero, para obtener un resultado satisfactorio, Mozart no pudo
limitarse simplemente a escribir 176 compases independientes
unos de los otros (algo que podría hacer cualquiera), sino que
de alguna manera tuvo que pensarlos para que formasen
melodías coherentes entre ellos, ordenándolos de manera
adecuada en las tablas.
¿Sería Mozart consciente de las distintas posibilidades que
cada vals tenía de salir como resultado de lanzar los dados?
Si fuera así, el vals (7,7,7…), o los valses con más cincos y
seises obtenidos de los dados, deberían ser los más brillantes,
mientras que otros como el (12,12,12….12) o el (2,2,2….2)
deberían ser los menos logrados.
Es probable que si, aunque escuchándolos, resulta muy difícil asegurar nada. Tras haber visto las casi
infinitas posibilidades de valses que se pueden obtener, resulta asombroso que cualquier vals que
generemos suene sorprendentemente bien, incluidos aquellos con menos posibilidades de ser
obtenidos al azar.
Vemos entonces la verdadera dificultad de idear algo similar a esto, cosa que no está precisamente al
alcance de cualquiera con unos mínimos conocimientos musicales, como podría parecer.
No en vano se dice que Mozart fue el mayor genio de la música de todos los tiempos.
• 6-¿LA MUERTE DEL ARTE?
Mozart dijo:
“Todo está ya compuesto, solo falta escribirlo”
Hemos visto que componer consiste simplemente en
combinar adecuadamente los elementos, ya sean notas o
palabras.
Obviamente no cualquier composición aleatoria de notas
resultaría una obra de arte, pero podemos hacernos la
siguiente pregunta:
¿Podríamos llegar a componer todas las músicas posibles o escribir todas las novelas imaginables?
En la “Historia Interminable” de Michael Ende, se plantea precisamente este problema en un
momento del relato:
“los lunáticos (a ese estado están reducidos los antiguos emperadores) hacen
rodar unos dados con letras inscritas en las caras. Ya no saben narrar. Han perdido el
lenguaje. Por eso he inventado ese juego para ellos. Como ves, los entretiene. Y es muy
fácil. Si lo piensas, tendrás que admitir que todas las historias del mundo, en el fondo, se
componen solo de veintiséis letras. Las letras son siempre las mismas y solo cambia su
combinación. Con las letras se hacen palabras, con las palabras frases, con las frases
capítulos y con los capítulos historias. (…) Y si se juega eternamente tendrán que surgir
todos los poemas, todas las historias posibles, y luego todas las historias de historias,
incluida esta precisamente en la que estamos hablando. ¿Es lógico, no?”
Realizando todas las combinaciones posibles, podríamos llegar a agotar todas las
posibilidades de novelas, poemas, sinfonías, sonatas…o cuadros.
Tanto en la música como en la escritura, se plantea el problema de la extensión que
pudieran tener las obras, infinita en principio. Veamos un ejemplo con la pintura, aunque
algo similar podría plantearse con la literatura o la música:
(Podría hacerse el
Si suponemos un lienzo de 1m 2 y lo dividimos en pequeños cuadrados de 1mm
tendríamos un total de 10 6 cuadraditos.
2
mismo cálculo con
un lienzo más
grande o un
mayado más fino)
Si suponemos una gama de 100 colores distintos para cada cuadrado, al hacer todas las
6
posibles combinaciones, tendríamos un total de:
10
120
100
 10
cuadros
De este modo, con un ordenador suficientemente potente que realizase todas las
combinaciones, podríamos en cuestión de días o meses, pintar todos los cuadros posibles
que jamás se hayan pintado, y los que aun no han sido pintados. Yendo desde un lienzo
totalmente en blanco hasta uno totalmente en negro, pasando por el Guernica o un
Rembrandt, abarcaríamos toda la pintura y ya nada nuevo y original podría ser dibujado por
nadie. Sería el fin del arte como tal: ningún hombre podría jamás volver a crear una obra
nueva.
….
Mona Lisa. Leonardo
….
….
….
New York. Mondrian
¿Sentiríamos la misma admiración por un Picasso si el ordenador se le hubiera adelantado,
sin que el propio artista nunca lo hubiese llegado a pintar?¿Se pagaría lo mismo por él?
• 7-BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
•
•
http://laberintos.itam.mx/despliega.php?idart=162
http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/2.html
http://www.anarkasis.com/pitagoras/100_composicion_combinacion/
http://www.filomusica.com/filo41/mozart.html
Wikipedia
Apuntes Estadística Aplicada de Bartolomé Luque Serrano, profesor de la ETSIA
Descargar

ARTE Y COMBINATORIA