Predicción II
(predicción modelos ARMA)
“There are two kind of forecasters: those who don´t know and those who don´t know they don´t know”
John Kenneth Galbraith (1993)
Predicción Optima de modelos ARMA
Sea un modelo ARMA general
 ( L ) Z t   ( L )a t
Zt 
(L)
 (L)
a t   ( L ) a t  a t   1 a t  1   2 a t  2  .....
Objetivo: dada la información hasta el periodo n, Z n , Z n 1 ,...... Z 1
queremos predecir ‘l-periodos adelante’
Zˆ n ( l )
en t  n  l

Z ln 

j0
l 1
j
a nl j 


j
a nl j 
j0

 

j
a nl j
jl

 
futuro a
*
*
*
ˆ
Z n ( l )   l a n   l  1 a n 1   l  2 a n  2  ......
pasado a
Que es  ?
*
Criterium: Minimizar el error cuadrático medio
2
min* E ( Z n  l  Zˆ n ( l ))

E ( Z nl
2
 Zˆ n ( l ))  
l 1
2
a


2
j
a
j0
2
 E ( Z n  l  Zˆ n ( l ))

*
2
 (
  l j )
* 2
l j
j0

a
2
 2 (
  l  j )(  1)  0 
*
l j
j0
 l j   l j
*
Zˆ n ( l )   l a n   l  1 a n  1   l  2 a n  2  ........
Otra interpretación de la predicción optima
Sea
l 1
Z ln 

j0

j
a nl j 

l j
a n j
j0

E ( Z n  l | Z n , Z n 1 .....) 

l j
a n  j   l a n   l  1 a n 1   l  2 a n  2  ....
j0
Entonces
Zˆ n ( l )  E ( Z n  l | Z n , Z n 1 ..... )
Dada una función de perdida cuadratica, la predicción optima es la
esperanza condicional, donde condicionamos sobre el conjunto
de información pasada.
Fuentes del error de predicción
Sea nuestra predicción
ˆ)
 n (I n , 
:
ˆ
e n ( l)  Z n  l   n ( I n ,  ) 
{ Z n  l  E [ Z n  l | I n ]} 
{ E [ Z n  l | I n ]   n ( I n ,  )} 
{ h ( I n ,  )   h ( I n , ˆ )}
Propiedades del error de prediccion
l 1
Z ln 


j
anl j 
j0
Como

l j
an j
j0
Z n  l  Zˆ n ( l )  e n ( l )
error de predicción
 e n ( l )  Z n  l  Zˆ n ( l ) 
l 1

j
a n  lMA(l-1)
j
j0
1. La predicción Zˆ n ( l ) y el error de predicción e n (l ) estan
incorrelacionados
2.
E ( e n ( l ))  0
Insesgado
l 1
3.
Var ( e n ( l )) 

2
j

2
a
j0
4.
e n ( l ) para l  1 estan correlacio
nados
Intervalos de Predicción
Asumiendo normalidad en los errores, los (1-a) 100% limites
del intervalo de predicción se calculan como

Z n (l)  N  / 2 [1 
l 1

2
j
]
1/ 2

j0
donde N  / 2 son los valores criticos de una Normal (0,1), tal
que P( N  N )   / 2 .
 /2
a
Propiedades del error de prediccion (cont)
Errores de predicción 1-periodo adelante, e n (1), e n  1 (1)..... e n  l (1) ,
están incorrelacionados e n (1)  Z n  1  Zˆ n (1)  a n  1
En general los errores de predicción, l-periodos adelante
estan correlacionados
e n ( l )  Z n  l  Zˆ n ( l )  a n  l   1 a n  l 1  ......  l 1 a n  1
e n  j ( l )  Z n  j  l  Zˆ n  j ( l )  a n  j  l   1 a n  j  l 1  ......  l 1 a n  j  1
nl j
cov( e n ( l ), e n  j ( l )) 
  i  n i  n  j
2
i  n 1
n-j
n
n-j+l n+l
jl
Predicción de un proceso AR(1)
Z t   Z t  1  a t  Zˆ n ( l )  ?
l 1
Z n 1   Z n  a n 1
E ( Z n 1 |  n )   Z n
l  2
Z n  2   Z n 1  a n  2
E ( Z n2 | n )   Z n
2
for any l
l
ˆ
Z n (l )   Z n
La predicción decae geometricamente cuando l aumenta
Predicción de un proceso AR(p)
Z t   1 Z t 1   2 Z t  2  ........  p Z t  p  a t 
Zˆ n ( l )  E ( Z n  l | Z n , Z n 1 ,.....)  ?
l 1
Z n  1   1 Z n   2 Z n 1  ........  p Z n  p  1  a n  1
Zˆ n (1)  E ( Z n  1 |  n )   1 Z n   2 Z n 1  ........  p Z n  p  1
l2
Z n  2   1 Z n  1   2 Z n  ........  p Z n  p  2  a n  2
Zˆ n ( 2 )  E ( Z n  2 |  n )   1 Zˆ n (1)   2 Z n  ........  p Z n  p  2
para cualquiera
l
Zˆ n ( l )   1 Zˆ n ( l  1)   2 Zˆ n ( l  2 )  ........  p Zˆ n ( l  p )
Necesitamos calcular las predicciones previas l-1,l-2,….
Algunos autores llaman a este metodo “plug-in”.
Predicción de un proceso MA(1)
Z t  a t   a t 1
Zˆ n ( l )  E ( Z n  l | I n )  ?
l 1
Z n 1  a n 1   a n
Zˆ n (1)  E ( Z n  1 )   a n
l  2
Z n  2  a n  2   a n 1
an 
Zn
1  L
Zˆ n  2   0
l 1
Zˆ n ( l )  0
Esta es la media del proceso
Predicción de un proceso MA(q)
Z t  (1   1 L   2 L  ......  q L ) a t
2
q
Zˆ n ( l )  E ( Z n  l
donde
an 
ql
 ( l   l 1 L   l  2 L  ....  q L ) a n l  q
| In )  
lq
0
2
1
1   1 L  ....  q L
q
Zn
Actualización de predicciones
Supongamos que tenemos las siguientes predicciones con información
hasta el periodo “n”
Zˆ (1), Zˆ ( 2 ),...... Zˆ ( l )
n
n
n
Z n 1
Cuando llega nueva información,
podemos actualizar las predicciones previas?
1.
e n ( l )  Z n  l  Zˆ n ( l ) 
l 1

j
anl j
j0
l  11
2.
e n 1 ( l  1) 

l
j
a n 1 l 1 j 
j0

j
anl j
j0
l 1
e n 1 ( l  1) 

j
a n  l  j   l a n  en ( l )   l a n
j0
3.
Z n  l  Zˆ n  1 ( l  1 )  Z n  l  Zˆ n ( l )   l a n
Zˆ n ( l )  Zˆ n  1 ( l  1 )   l a n
Zˆ n  1 ( l )  Zˆ n ( l  1 )   l a n  1
Problems
P1: Para cada uno de los siguientes modelos:
( i ) (1 -  1 L ) Z t  a t
2
( ii ) (1   1 L   2 L ) Z t  a t
( iii ) (1 -  1 L )( 1  L ) Z t  a t
(a) Encuentra la predicción l-periodos por delante de Zn+l
(b) Encuentra la varianza del error de predicción a l-periodos
por delante para l=1, 2, y 3.
P2: Con la ayuda del operador annihilator (definido en el
apendice) escribe la expresión para la predicción de un
modelo AR(1) en terminos de Z.
P3: Haz P2 para un modelo MA(1) .
Apendice I : El operador annihilator
Buscamos una expresión compacta del operador de retardos que nos
sirva para expresar las predicciones
 (L )
L
s
 L
s
1 s
1
0
1
2
 1 L
 ...   s  1 L
  s L   s  1 L   s  2 L  ...
El operador annihilator es
[
 (L )
L
s
]  s L
0
1
2
  s  1 L   s  2 L  ..
 (L )
Entonces si Z   ( L ) a , E [ Z
|
a
,
a
,
...]

[
] a t
t
t
ts
t
t 1
s
L
Apendice II: Predicción basada en retardos de Z
Sea
 (L )Z t  a t
Z t  (  ( L ))
1
a t   (L )a t
Entonces
E [ Z t  s | Z t , Z t  1 , ...]  [
 (L )
L
s
]
1
 (L)
Zt
Formula de
Wiener-Kolmogorov
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Forecasting III