Predicción I
(algunos aspectos generales)
“There are two kind of forecasters: those who don´t know and those who don´t know they don´t know”
John Kenneth Galbraith (1993)
Predicción en Acción
Las predicciones ayudan en la toma de decisiones en una gran variedad de
areas.
•
Planificación y Control de Operaciones : Las empresas usan prediciones
para decidir que producir, cuando y donde.
•
Marketing: Decisiones de precios, de gastos en publicidad, …dependen
fuertemente de las previsiones que se tengan sobre como van a responder las
ventas a los diferentes esquemas de marketing.
•
Economia: Predicciones de las variables macro-economicas claves como el
PNB, Paro, Consumo, Inversión, Tipos de Interes, etc… son usadas por el
gobierno para fijar su politica monetaria y fiscal.
•
Especulación Financiera: Especuladores en los mercados financieros tienen
un gran interes en la predicción de los rendimientos de activos financieros
(acciones, tipos de interes, tipos de cambio, etc…).
Predicción en Acción(cont)
•
Management del riesgo financiero: Predicción de la volatilidad es crucial
para evaluar (y asegurar) el riesgo asociado a las diferentes carteras de
inversión. Predicción de la volatilidad es tambien crucial para las empresas e
inversores que necesitan poner precio a opciones y derivados.
•
Planificación de la Capacidad: Para ello es crucial la predicción tanto de la
demanda como de la oferta.
•
Demografía: La predicción de la población es crucial para planificar el gasto
publico en sanidad, infraestructuras, educacion, etc
Elementos Básicos de Cualquier Predicción
Piensa en una variable economica que quieras predecir. Que
necesitas?
• Función de perdida: Simetrica o asimetrica
• Objeto a predecir: Una serie temporal, un suceso, …etc.
• Formato de la Predicción: Puntual, Intervalo, Densidad, …etc.
• Horizonte de la predicción: Corto, Medio o Largo Plazo
• Conjunto de Información: Univariante o Multivariante
• Metodos y Complejidad: Modelos, Principio de la Parsimonia,
…etc.
Elementos Basicos de Cualquier Predicción (cont)
Como se comparan predicciones?
• Evaluación de Prediciones: Diferente medidas de errores de
predicción (mira la transparencia 13).
ES MUY IMPORTANTE DARSE CUENTA QUE TODA
PREDICCION TIENE UN ERROR. En general este error
puede venir de tres fuentes diferentes:
• Error de Especificación
• Error de Aproximación
• Error de Estimación
Predicción con modelos de Regresión:
El modelo de regresión es un modelo explicitamente multivariante,
en donde la variable a explicar se explica y se predice en base a su
propia historia pasada y la historia pasada de otras variables
relacionadas. En el curso Econometria I quizás ya hayas visto el
tema de predicción en este marco, aquí lo repasaremos brevemente
yt   0  1xt   t
 t es WN ( 0 ,  )
2
(a) Modelo de Predicción Condicional
Un modelo de predicción condicional es uno que puede ser usado
para predecir una variable de interés, condicionado en ciertos
supuestos sobre otras variables. Con el modelo de regresión,
yt   0  1xt   t
 t es N ( 0 ,  )
2
nuestra predicción condicional h-periodos adelante de la variable
y, dado el valor de x h-periodos adelante x *T  h es
*
*
y T  h , T | x T  h   0  1 x T  h
Asumiendo normalidad, la densidad de predicción condicional es
*
N ( y T  h , T | x T  h ), y de ahí podemos obtener los intervalos de
predicción condicional. Para hacer el procedimiento operacional
remplazamos los parámetros desconocidos por sus estimaciones
Modelo de Predicción Condicional (cont)
Las predicciones siempre están sujetas a un error. Al menos hay
tres fuentes de error
• Incertidumbre en la Especificación: Todos los modelos estan
equivocados!!!! (algunos mas que otros)
• Incertidumbre en la Innovación: Innovaciones futuras son
desconocidas cuando se hace la predicción.
• Incertidumbre en los Parametros: Los coeficients que usamos
para producir las predicciones son estimaciones, y por lo tanto
estan sujetas a variabilidad muestral.
Q1: Que tipo de incertidumbre es menos importante??
Q2: Que tipo de incertidumbre es mas difícil de evitar??
Modelo de Predicción Condicional (cont)
Cuando usamos un modelo de predicción condicional, es fácil
cuantificar la incertidumbre derivada tanto de las innovaciones como
de los parámetros. Considera el siguiente ejemplo:
y t  x t   t
Supón que queremos predecir yT+h en xT+h= x*T+h . Entonces
*
yT  h  x T  h  T  h
Por lo que
*
*
yˆ T  h , T | x T  h  ˆ x T  h
con el error correspondiente
Entonces,
*
ˆ T  h , T  y T  h  yˆ T  h , T  (   ˆ ) x T  h   T  h
*
2
2
var( ˆ T  h , T )  ( x T  h ) var( ˆ )  
Modelo de Predicción Condicional (cont)
En la última expresión, el primer termino contabiliza la incertidumbre
derivada de la estimación de los parámetros, mientras que el segundo
hace los mismo con respecto a la incertidumbre derivada de la
innovación. Tomado todo junto conseguimos podemos derivar la
densidad de predicción:
*
N ( ˆ x T  h , Var ( ˆ T  h , T ))
de donde se obtaine cualquier intervalo de predicción que nos
interese.
(b) Modelos de Predicción no-condicional
A menudo no queremos hacer predicciones condicionales de y dado x,
sino la mejor predicción de y (predicción incondicional). Para
conseguir esta predicción a menudo nos encontramos con el problema
de conseguir una predicción incondicional de las variables
explicativas. Es decir, que para conseguir una predicción incondicional
de y , no podemos insertar un valor arbitrario del futuro x, sino que
necesitamos insertar una predicción puntual optima, xT+h,T ,
y T  h , T   0  1 x T  h , T
Normalmente no tenemos una predicción de x y el modelo de
regresión no ayuda. Todo se hace mas sencillo si asumimos que la
variable sigue un modelo ARMA. En las proximas transparencias,
PREDICCION II, aprenderás a realizar este tipo de predicciones.
Evaluación de Predicciones
Hay muchas formas de hacer predicciones; pero todas ellas tienen en
común los siguientes ingredientes:
(i) que hay ciertas regularidades que captar
(ii) que tales irregularidades son informativas sobre el futuro
(iii) están encapsuladas en el método seleccionado para predecir
(iv) se excluyen las no-regularidades
Los principales métodos son:
1) Adivinación
2) Extrapolación
3) Indicadores Adelantados
4) Encuestas
5) Modelos de Series Temporales
6) Modelos Econométricos
Evaluación de Predicciones (cont)
Las medidas mas comunes de la precisión de la predicción son:
T
Error cuadrático medio:
MSE

1
T

e
2
t  h,t
t 1
Raíz cuadrada del MSE
T
Error absoluto medio

RMSE
1
T

e
2
t  h,t
t 1
T
MAE

1
T

| e t  h,t |
t 1
donde et+h,t=yt+h-yt+h,t son los errores de predicción.
(a) Comparación de la Precisión en las Predicciones
Supón que hay dos métodos alternativos de predicción que producen
los errores et(1) y et(2) para t=1, ..., T. Entonces si el criterio de
evaluación es el MSE, el método que produzca el menor MSE
sobre el periodo muestral será considerado superior.
Como podemos contrastar que MSE(1) = MSE(2) versus lo
contrario?
Supongamos que los errores de predicción son insesgados y no
autocorrelated. Considere, ahora, el siguiente par de variables
aleatorias et(1) + et(2) y et(1) - et(2) . Ahora
E [( e
(1)
e
(2)
)( e
(1)
e
(2)
)]  
2
2

1
2
así que los dos MSE seran iguales si y solo si este par de variables
aleatorias están incorrelacionadas.
Q2: Encuentra una forma sencilla de realizar este contraste( Una
Pista: Vía regresión simple).
Combinación de Predicciones
Sean ft(1) y ft(2) dos predicciones de yt con errores
 yt  ft
( j)
et
( j)
E (et
(1 )
( j)
para j  1,2, y tal que
)  0, E ( et
( j)
(2)
E (et et
) 
2
2
j
,y
)   1 2
Considere ahora una combinación de predicciones, que sea una media
ponderada de las dos predicciones individuales,
(1)
(2)
C t  kf
 (1  k ) f
t
t
El error de predicción es
(c)
(1)
(2)
e
 y t  C t  ke
 (1  k ) e
t
t
t
Combinación de Predicciones (cont)
Por lo tanto la varianza de este error
2
2 2
2 2
 c  k   (1  k )   2 k (1  k )  1  2
1
2
Esta expresión se minimiza para el valor de k
2
  1  2
2
ko 
2
2
    2  1  2
1
2

y substituyendo en la expresión de arriba, la varianza menor
alcanzable es
2 2
2
  (1   )
2
1 2


c ,0
2
2
    2  1  2
1
2

2
2 2
 min(  ,  )
c ,0
1
2
 
1
or 
2
Observa que
, al menos que
2
1
Si alguna de estas igualdades se dan, la varianza de la combinación de
predicciones será igual a la menor de las dos varianzas de los errores
de predicción.
Preguntas sobre la combinación de Predicciones
P1: Muestra que
k o   0 si y solo si
P 2: Explica que ocurre con
+1.
2
 c, o
2
1
  
cuando  se aproxima a –1 o
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