1
2
Objetivos:
1.
2.
3.
4.
5.
Definir la raíz enésima de un número.
Calcular raices cuadradas principales.
Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.
Simplificar expresiones con radicales
Expresar una raiz en forma exponencial y
viceversa.
6. Racionalizar numeradores y/o
denominadores.
7. Sumar y restar expresiones con radicales.
8. Multiplicar expresiones con radicales.
3
Definición
Decimos que la raíz enésima de x es c, y
escribimos;
ín d ice
x  c
n
rad ical
E jem plo:
3
si y solo si
c  x
n
raíz
rad ican d o
8  2 si y solo si 2
3
8
4
Aclaración:
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas,
una raíz cuadrada positiva o principal y una raíz
cuadrada negativa. Para cualquier número
positivo x, escribimos la raíz cuadrada positiva
como x y la raíz cuadrada negativa como  x .
E jem plo:
La
y
4 puede ser igual a 2 o igual a  2 pues
 2 
2
 4.
2
2
 4
5
Para cualquier número real a
 a
n
si n es p ar y a  0 .
n
a
n
a a
n
a  a si n es im par.
n
si n es par y a  0.
n
Ejemplos:
2

1.
5
2.
 5 
2
5
 5  5
6
3
3.
4.
5.
3
7
7
3
 7 
 7
3
 56 
8.
 7
7
6
6.
7.
 56 
4
2
 ab
 56
 56 
w  2w  1 
2
 x
a  b
9.
7 x  5
10.
4
x
6
 7x  5
2
56
 w  1  w  1

 w  1
2
 w 1
7
Propiedades de los radicales
Sean m y n números naturales mayores que 1. Si a y b
son números reales tal que a > 0 y b > 0 ( números
positivos ), entonces;
 a
1.
n
a
2.
n
a .b 
3.
n
n
a

b
n
a
n
b
4.
n .m
a
m .k
5.
n
m

a
n

a
n
n
b
a
 a
n
k
m
Ejemplos:
Simplifica. Suponga que las variables representan
números positivos.
36  6
1)
2)
3
3)
5
25x y  5 xy
2
5)
27  3
6)
3
8
 64x y
3
4)
  4 xy
32  2
6
3
12
4
x
6
 x
2
7)
16 x y
81 z
10
3
4

4x y
9z
5
2
4
8
Ejemplos:
Simplifica. Suponga que las variables representan
números positivos.
24 
1)
2)
3)
3
46  2 6
 16 
3
3
8  2   2 2
12x y 
4
5
2
4  3x y y  2 x y
4
4
2
3y
9
10
4)
7
5)
 x  1  x  1
x + 2 x +1 
2
4
32 x y
z
8
16  2x x y y
4
6

4
z
3
8
4

 x  1
2
2 xy

z
2
2
4
 x 1
3
2x y
2
Exponentes Racionales como Raíces
Las raíces o radicales representan exponentes
racionales.
P o ten cia
 a
m
a
n
n

a
m
n

ín d ice
Ejemplos:
1.
2.
3
x
2
 x
 
4
6
m
3
2
3
 6
3
4
11
12
a  b
3.
3
4.
 z
w 
5.
3x  1
6.
7.
3x  5
x3
4
x2
3
 a  b
2
 z
4


2 3
3
2
 w  3
3
 3x  1 


3
x

5


 x  3
1
 x  2
1
2
4

1
2
1
w
2
  w  3
3
4
13
Evalúa usando raíces:
2
1) 27
2) 9
3
5
2

3
27
1

 16 
3) 

 81 
3
4


5
9
2
2

3
27
1
 
 81 


 16 
5

2
 3  9
2
1

3
9
3
4

 

5

243
3
4
1
81 
27
3
    
8
16 
2
3
14
La racionalización del denominador
Al proceso de escribir una expresión racional con
radicales en el denominador como otra expresión
que no tiene radicales en el denominador se
denomina como racionalizar el denominador.
“De igual forma podemos racionalizar el
numerador.”
15
Aclaración: Para racionalizar el denominador
de una expresión que tiene un solo término
con raíz en el denominador, se multiplica el
numerador y el denominador por una
expresión con radical que eleve cada factor
dentro del radicando a una potencia que
coincida con el índice del radical.
Ejemplos:
Racionaliza cada denominador. Suponga que las
variables representan números positivos.
5
1)
5

3x
3
2)
3)
3
4
5


3
7

7
3

3
5
1
3

3
2

3 x
3 7
7
4

5 3x
3x
3x
7
3
3x
7
5
2
5
2

3

3 7
2
7
4  25 
3
2
 5 3x
3x
5
3
3

100
5
16
17
4)
3
2x
3
5y

2
3
5
5)
4
3a b
3

2b
3a
2 4
2
7
32 a b
4
5y

15
4
2

2
4
2
3
2x
4
5 y

3
2
3
3
5 y
3a
2
4
4
24a
2b
2 4
50 xy
3
5 y
3a

8
4


2
3
32 b
2
3
2
2

4

3
4

8
4
4
50 xy
5y
2
32 b
3
3a

2
16 2 b
24a
4b
2
2
8


4
3a
2b
2 4
2

2
18
Aclaración: Para racionalizar un denominador que
tiene un binomio con raíces cuadradas, se multiplica
el numerador y el denominador por la expresión
conjugada del denominador. La expresión
conjugada se obtiene cambiando el signo del medio
del binomio.
El objetivo es construir una diferencia de cuadrados.
19
Ejemplos:
Racionaliza el denominador.
1)
4
1

3
4+ 4 3
1 3
2)
x3
56


1
3
3 1
3
4
1

4+ 4 3
2
x3
56



4 1+ 3
1 
3

 1 
3


4+4 3
1
3

2
 2  2 3
56
56

 x  3 
56
5  36
2


x 5  6 x  3 5  18
 31
20
Ejemplos:
Racionaliza el numerador.
xh3
1)
x3
xh3

h
h

xh3
h

 
2
xh3

x  3
x3
x h3 x3
h

xh3
x3

2
xh3
xh3
x  h  3   x  3

h

x3



xh3
x3
1
xh3
x3


x3 
 
x3 
21
xh 
2)
x

,h0
h
xh 
h
x 


xh 
xh 
xhx
h

xh 
x



  x
x
2
xh 
x 


x 
h
xh 

1
xh 
x
2

22
Multiplicación de expresiones con radicales
Para multiplicar expresiones con radicales se usa
la propiedad distributiva y las propiedades de
radicales;
n
 a p ara tod o a  0
1.
n
a
2.
n
a .b 
3.
n
a

b
4.
n .m
a
m .k
5.
n
m

a
n
n
a
n
b

a
n
n
b
a
k
 a
n
m
p ara tod o a  0
Ejemplos:
Multiplica las expresiones con radicales. Suponga
que las variables representan números positivos.
1.

33

3 1  3 
2.

53


52  52
33 33 2 3

 1 
3.

x 4

x 2

53 56
5
x 2 x 4 x 8
 x 2 x 8
23
4.

32 x  3

8x  2
   16 2 x  3  4 2 x  2 
  4 2 x  3  2 2 x  2 
 82x  8 2x  6 2x  6
 16 x  2 2 x  6
5.

3x  3

3x  3

 3x  3 3x  3 3x  9
 3x  9
6.
2

2

3 x  1  4 3 x   2 2 3 x
 12 x  4 3 x  1
 1   1
24
25
Suma y resta de expresiones con radicales
Para sumar o restar expresiones con radicales se
usa la propiedad distributiva y las propiedades de
radicales.
El objetivo es simplificar los radicales para tener
radicandos iguales. En tal caso sumamos los
coeficientes y conservamos el radical, mediante el
uso de la propiedad distributiva.
Ejemplos:
Suma y/o resta las expresiones con radicales.
Suponga que las variables representan números
positivos.
1. 2 3  4 3
2. 2
x 7
8
3.

6 3
 5 x
x
50 
4 2
32
25 2  16 2
 2 2 5 2 4 2  3
2
26
27
8x 
4.

50 x 
4 2x 
32 x
25 2 x  16 2 x
 2 2x  5 2x  4 2x
 3 2x
5 . 2 3 54 x  3 3 16 x  4 3 128 x
 2 27
3
 2 3
3
3
2 x  3 8 2 x  4 64 2 x
3
3
3
3
2 x  32 3 2 x  4 4 3 2 x
3


4
2x
 6 2 x  6 2 x  16 2 x
3
3
3
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