CÁLCULO DE VOLÚMENES
INTEGRAL DEFINIDA

2




f
x
dx
a
b
2º BACHILLERATO
IES EL PILES
VOLUMEN DEL CUERPO DE REVOLUCIÓN que
engendra y=f(x) en [a,b] al girar alrededor
del eje X

Consideramos:




Una función y=f(x)
Un intervalo cerrado [a,b],
en donde la función es
continua.
El recinto formado por
y=f(x), las rectas x=a, x=b
e y=0
Giramos el recinto
alrededor del eje Ox para
obtener un volumen de
revolución
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CÁLCULO DEL VOLUMEN DE REVOLUCIÓN
Para cada partición, a  x 0 , x1 ,... x n  b
cada rectángulo se
convierte en un cilindro de
radio m para el interior y M i
para el exterior. La altura de
cada cilindro es  x  x 
i
i
n
   m  x
2
i
i
i 1
 x i 1   V 
i 1
n
   M  x
2
i
i
 x i 1 
i 1
Tomando límites:
n
L  lim
n 
   m i   x i  x i 1   V  lim
2
n 
i 1
V 

b
a
n
   M i   x i  x i 1   L
2
i 1
2
   f  x  dx  L
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y
V 
VOLUMEN DETERMINADO POR
f ( x)  x
EN EL INTERVALO [0,2]
2
  x  dx
2
0
2
2


2
0
x dx  
4
x
5
5
2

0
32 
5
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Volumen de un cilindro de radio r y
altura h
Consideramos el
cilindro, como un
volumen generado
por la función y=r en el
intervalo [0,h]
V 

h
r dx    r  x
2
2
0
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h
0
  r h
2
Volumen de un cono de radio r y
altura h
Consideramos el cono como el
volumen engendrado por la
función
y 
r
x
h
en el intervalo [0,h]
2
V 

h
0
2
r
r 
x dx   2
h 
h



h
x dx  
2
0
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r
2
h
2

x
3
3
h
2

0
 r h
3
Volumen de una esfera de radio r
La esfera se engendra al girar sobre el eje OX
la función
y r x
2
2
en el intervalo [-r,r]
r
3
 2
 3 r3 
 3 r3  4
x 
2
2
3




V    r  x dx    r  x 


r



r





r



r
3  r
3 
3  3



r
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VOLUMEN DE REVOLUCIÓN DETERMINADO
POR DOS CURVAS y  f  x  ; y  g  x 
EN EL INTERVALO [a,b]
• Se cumple que 0<f(x)<g(x)
en [a,b]
•El volumen es la resta de los
volúmenes de revolución
generados por f(x) y g(x), es decir:
V 
  g  x 
b
a
2

  f  x   dx
2
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CALCULAR EL VOLUMEN ENGENDRADO POR
LA REGIÓN QUE DELIMITAN LAS PARÁBOLAS
y  2 x; y 
2
1
x
2
2
•Son dos parábolas, una vertical y otra horizontal.
 x  [ 0 ,2 ] y  f  x  
x
2
2
 y  g x    2 x
•Es imprescindible calcular los puntos de corte
de las dos parábolas. Resolviendo el sistema
los puntos son: (0,0) y (2,2)
V 

2
0
2

 2 x 
x 
12
2
x

dx


x







4
20
5



0
4
5
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