Octava Sesión
Postulados de la Mecánica Cuántica (2)
Resolución de la ecuación de Schrödinger
en problemas particulares
Resumen
• Parámetros característicos de las ondas
• Espectro electromagnético
• Espectros de absorción y de emisión de
los átomos
• Radiación de un cuerpo negro
• Efecto fotoeléctrico: fotón
• Cuantización
Resumen 2
• Modelo Atómico de Bohr
– Átomos hidrogenoides.
– Es un modelo nuclear.
– Cuantización del momento angular del
electrón.
– Cuantización del radio de las órbitas
– Cuantización de la energía del electrón.
– Niveles de energía.
– Energías de ionización.
– Transiciones electrónicas. Espectros.
Resumen 3
• Antecedentes de la Teoría Cuántica
Moderna
– Hipótesis de De Broglie
– Principio de Incertidumbre de Heisenberg
• Postulados de la Mecánica Cuántica
– 1. Función de onda.
– 2. Operadores. La ecuación de Schrödinger.
– 3. Significado físico del cuadrado de la
función de onda.
Postulado 3
• “El cuadrado de la función de onda está
relacionado con la probabilidad de
encontrar a las partículas en una cierta
región del espacio”.
Comentario
• El cuadrado de la función de onda es
una densidad de probabilidad.
• Por lo tanto la función de onda debe
ser:
 Continua.
 Univaluada.
 Finita (cuadrado integrable).
Postulado de Born

d


1

2

Resolución de Problemas
Particulares
1. Se substituye la masa de la partícula.
2. Se substituye el potencial V para el
caso del problema particular.
3. Se resuelve el problema para Ψ y para
E.
Resolución de Problemas
Particulares (2)
•
•
En general hay varias funciones Ψ que
matemáticamente cumple con ser
solución de la ecuación de
Schrödinger.
Se escogen aquellas que además de
cumplir con las restricciones físicas
del problema cumplen con:
Resolución de Problemas
Particulares (3)

d


1

2

• O sea, aquellas que sean:
– Continuas.
– Univaluadas.
– Finitas.
Resolución de Problemas
Particulares (4)
• Con Ψ2 se pueden encontrar zonas del
espacio donde existe mayor
probabilidad de encontrar a las
partículas.
Partícula en un pozo de
potencial unidimensional
V=0
V=
0
V=
a
x
ˆ
H  E
ˆ
ˆ
ˆ
H TV
2

2
ˆT  
2m
En una dimensión:
2
2
ˆT  -  d
2
2m dx
ˆ solo dependede x
V
2
2
 d
ˆ ( x) ( x)  E ( x)

(
x
)

V
2
2m dx
2
2
 d  ( x)
ˆ ( x)  ( x)  0

E
V
2
2m dx


Fuera de la caja :
ˆ ( x)  
V
 d  ( x)
 E    ( x)  0
2
2m dx
d 2  ( x)
  ( x )
2
dx
1 d 2  ( x)
 ( x) 
 dx 2
 fuera (x)  0
2
2
Resumen
Ψ(x) = 0
(- < x < 0)
No sabemos
(0  x  a)
Ψ(x) = 0
(a < x < )
Gráfica de (x)
(x)
0
a
x
¿Cuál es la probabilidad de
encontrar a la partícula
fuera de la caja?
¿Cuál es la probabilidad
de encontrar a la
partícula fuera de la caja?
Ψfuera = 0
Ψ2fuera = 0
Pfuera = 0
Dentro de la caja
V0
 d  ( x)
 E - 0 ( x)  0
2
2m dx
2
2
 d  ( x)
 E ( x)  0
2
2m dx
2
d  ( x)
2mE
  2  ( x)
2
dx

2
2
Dentro de la caja (2)
2 mE
2

• Es una constante.
• Le pongo nombre: - Constante, yo
te bautizo como 2.
Dentro de la caja (3)
2mE
2
 
2

2
d
2
 ( x)    ( x)
2
dx
• Debemos resolver esta ecuación
diferencial de orden 2.
• O sea, necesitamos encontrar una
función que derivada dos veces sea
igual a menos 2 por ella misma.
Dentro de la caja (4)
• Toda ecuación diferencial de orden n
tiene n soluciones (linealmente
independientes).
• Les propongo estás dos soluciones:
I ( x)  Asenx
II ( x)  Bcosx
Dentro de la caja (5)
• A ver si es cierto
I ( x)  Asenx
II ( x)  Bcosx
d
Asenx  Acosx
dx
d2
2
Asen

x



Asenx
2
dx
d
Bcosx  -Bsenx
dx
d2
2
Bcos

x


Bcosx
2
dx
encontramos dos funciones que
cumplen con que derivadas dos veces
son iguales a -2 por ellas mismas.
Dentro de la caja (6)
• Por lo tanto:
I ( x)  Asenx
II ( x)  Bcosx
Son solucionesde la ecuacióndiferencial :
2
d
2
 ( x)    ( x)
2
dx
Dentro de la caja (7)
• Pero ¿cumplen con ser funciones de
onda aceptables?
• ¿Cumplen con el postulado de Born?
• ¿Son continuas, univaluadas y finitas?
Gráfica de (x)
(x)
0
a
x
¿Cuánto debe valer (0)?
¿Cuánto debe valer (0)?
Ψ(0) = 0
Para que la función sea continua
en x = 0
Dentro de la caja (8)
• Por lo tanto:
I (0)  Asen (0) tendríaque ser 0
II (0)  Bcos (0) tendríaque ser 0
Función Seno
• La función seno cumple con ser
cero en x=0.
Función Coseno
La función coseno no cumple con ser
cero en x=0. El coseno no es una
función de onda aceptable para este
problema.
Gráfica de (x)
(x)
0
a
x
¿Cuánto debe valer (a)?
¿Cuánto debe valer (a)?
Ψ(a) = 0
Para que la función sea continua
en x = a
Por lo tanto
(a )  Asen (a) tendríaque ser 0
Le quito el subíndice porque ya solo me quedé
con una función
Función Seno
• ¿Dónde se hace cero la función seno?
Función Seno
• ¿Dónde se hace cero la función seno?
• En 0 y en múltiplo enteros de .
• Por lo tanto, para que la función sea
aceptable, su argumento debe
cumplir con:
a  n ; n  Z

De donde :
n


;n  Z
a
P ero
2mE
2
  2

2 2
n
2mE
 2  2
a

Despejando la energía
h

2
2
2 2
2mE(4)
n

2
h
a
2


h

2

Z

n
;
E  n 
2 
ma
8


La energía de una partícula en un
pozo de potencial está cuantizada
Energía de la partícula
 h 


E  n 
;
n

Z
2 
8
ma


2
2
La energía de una partícula en un
pozo de potencial está cuantizada
¿De dónde surgen los
números cuánticos?
• De las restricciones físicas al
movimiento de las partículas. (Si fuera
matemático diría: -De las condiciones a
la frontera de la ecuación diferencial).
• Si la partícula se moviera libremente,
no habría cuantización.
Niveles de Energía
2

h
E n  n 2 
2
8
ma


; n  Z 

 h2   h2
  
E1  1
2 
2
8
ma
8
ma

 
 h2 
  4 E1
E 2  4
2 
 8ma 
 h2
E 3  9
2
8
ma


  9E1




Energías positivas porque es pura
energía cinética.
El número cuántico también aparece
en la función de onda
 ( x)  Asenx
n
Pero 
;
a
n
 ( x)  Asen
x
a
Pues si, porque…
Postulado 1
• “Para cada estado de un sistema
dinámico de N partículas existe una
función de onda Ψ que depende de
las coordenadas de las N partículas
y del tiempo. Dicha función de onda
describe al sistema tan
completamente como es posible”
Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t)
n
n ( x)  Asen
x
a
1 ( x)  Asen

x
a
2
2 ( x)  Asen
x
a
3
3 ( x)  Asen
x
a
5
5 ( x)  Asen
x
a
4
4 ( x)  Asen
x
a
3
3 ( x)  Asen
x
a
2
2 ( x)  Asen
x
a
1 ( x)  Asen

a
x
Ahora tenemos que garantizar
que

d


1

2


d


1

2

n 

Asen
dx

1


 
a 
2

n 

Asen
dx

1


0 
a 
a
2
n
A
sen
x
dx

1
0
a
a
2
2 n
A  sen
xdx  1
0
a
a
2
2




1

A
 a sen 2 n xdx 
 0

a


1
2
• Y, con ayuda de una tabla de integrales:
1
2
2
A  
a
1
2
n
2
n ( x)    sen
x
a
a
1
2

2
1 ( x)    sen x
a
a
1
2
2
2
2 ( x)    sen
x
a
a
1
2
3
2
3 ( x)    sen
x
a
a
1
2
4
2
4 ( x)    sen
x
a
a
• Los números cuánticos surgen de las
restricciones físicas al movimiento.
• A mayor energía, mayor es el
número de nodos en la función de
onda.
• La función de onda no tiene
significado físico. Su cuadrado es
una densidad de probabilidad.
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