4.3. La ciudad Lineal – Modelo
de Hotelling
Matilde Machado
para bajar las transparencias:
http://www.eco.uc3m.es/~mmachado/
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
1
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
El modelo:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
“Ciudad lineal” es el intervalo [0,1]
Los consumidores están distribuidos uniformemente a lo
largo de este intervalo.
Hay 2 empresas, localizadas a cada extremo que
venden el mismo bien. La única diferencia entre las
empresas es su localización.
c= coste de 1 unidad del bien
t= coste de transporte por unidad de distancia al
cuadrado. Este coste es soportado por los
consumidores cuando eligen una empresa o la otra.
Representa el valor del tiempo, gasolina, etc.
Los consumidores tienen demandas unitarias o compran
1 unidad o ninguna {0,1}
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
2
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Gráficamente
Masa de
consumidores =
1
1dz  z 0  1  0  1
1
1
0
0
1
x
Localización de
la empresa B
Localización de la
empresa A
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
3
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Los costes de transporte del consumidor x:

De comprar en la empresa A son tx 2

De comprar en la empresa B son 1  x 2 t



s ≡ excedente bruto del consumidor - (es decir su
máxima disponibilidad a pagar)
Supongamos que s es lo suficientemente grande para
que el mercado esté cubierto, es decir para que todos
los consumidores del intervalo puedan comprar. La
utilidad de cada consumidor es por tanto dada por:
U = s-p-td2
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
4
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Tomamos las localizaciones de las empresas como
dadas y compiten en precios.
1. Derivación de las curvas de demanda
2. Problema de optimización en precios y equilibrio
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
5
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
El consumidor indiferente entre comprar en la tienda
A o B se sitúa en x
x se define como el punto donde U x ( A)  U x ( B)
 s  p A  tx 2  s  pB  t (1  x) 2
 p A  tx 2  pB  t (1  x) 2
 p A  tx 2  pB  t  tx 2  2tx
 2tx  pB  p A  t
x
pB  p A  t
2t
Compran a A
A
Compran a B
x
B
Si (pB-pA)↑ el consumidor indiferente se mueve hacia la derecha,
es decir aumenta la demanda de la empresa A y disminuye la
demanda de la empresa B
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
6
4.3. Modelo de Hotelling
s
Ui
Coste total para el
consumidor x: pA+tx2
pB+t(1-x)2
pA
pB
0
i
x
A
1
B
El consumidor indiferente
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
7
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Una vez que sabemos cual es el consumidor
indiferente podemos definir las funciones de
demanda de las empresas A y B.
x
DA ( p A , pB )   1dz  z 0  x 
x
0
1
pB  p A  t
2t
DB ( p A , pB )   1dz  z x  1  x  1 
1
x
pB  p A  t p A  pB  t

2t
2t
La demanda de la empresa A por ejemplo depende positivamente
de la diferencia de precios (pB-pA) y negativamente de los costes
de transporte. Si las dos empresas colocan el mismo precio pB=pA
entonces se reparten el mercado en partes iguales (el consumidor
indiferente se situa en ½).
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
8
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Decimos que el mercado está cubierto cuando el
consumidor indiferente quiere comprar, es decir:
 p  pA  t 
s  pA  t  B
 0
2
t


2
Los beneficios de las empresas son:
 A ( p A , p B )   p A  c  DA ( p A , p B )   p A  c 
Economía Industrial - Matilde Machado
pB  p A  t
2t
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
9
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
El problema de la empresa A, por ejemplo, es:
Max  A ( p A , pB )   p A  c  DA ( p A , pB )   p A  c 
pA
pB  p A  t
2t
p  pA  t 1
 A
CPO:
0 B
  pA  c   0
p A
2t
2t
 pB  2 p A  t  c  0  p A 
pB  t  c
2
Curva de
reacción
de la
empresa
A
Como el problema es simétrico pA=pB=p*
p*  t  c
p* t  c
p 


 p*  t  c
2
2
2
*
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
Cuando t=0
volvemos a
Bertrand p*=c;
*=0
10
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Una vez que tenemos los precios de equilibrio
podemos calcular todas las cantidades de
equilibrio:
x* 
1
2
DA ( p*A , pB* )  x* 
1
2
DB ( p*A , pB* )  1  x* 
1
 DA ( p*A , pB* )
2
 A*   B*   p*  c  DA*   t  c  c  x* 
t
2
Nota: cuanto mayor es t más diferenciado está el bien desde el punto de vista
de los consumidores, mayor es el poder de mercado, los clientes que están
más cerca están más cautivos porque les sale muy caro irse hasta la otra
empresa. Esto permite aumentar el precio de equilibrio y los beneficios.
Cuando t=0 (no hay diferenciación) volvemos a Bertrand
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
11
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Observaciones:
 Cada empresa sirve a medio mercado
D*A=D*B=1/2
 La paradoja de Bertrand desaparece pA=pB>c
 Un aumento de t implica más diferenciación de
productos. Por lo tanto las empresas compiten
con menos vigor y obtienen beneficios
mayores.
 t=0 volvemos a Bertrand
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
12
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
s
Ui
pA+tx2
pB+t(1-x)2
pA=t+c
pB=t+c
0
i
A
½
1
x
B
El consumidor compra al vendedor que le salga
más barato incluyendo el coste de transporte
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
13
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Como cambian los precios cuando cambian las
localizaciones de A y B?
 Si A=0 y B=1 hay máxima diferenciación
 Si A=B= xˆ
Todos los consumidores
comprarán al que tenga el precio más barato,
volvemos a Bertrand,
pA=pB=c y A=B=0.
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
14
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Caso General – localizaciones endógenas:
2 periodos:
 En el primer periodo las empresas seleccionan
localización
 En el segundo periodo las empresas compiten en
precios dada su localización
Se resuelve hacia atrás.
Empezamos por el segundo periodo.
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
15
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Segundo periodo:
 La localización de la empresa A está en a [0,1]
 La localización de la empresa B está (1-b) [0,1]
Nota: La máxima diferenciación sería con a=0;
y 1-b=1 (es decir b=0)
la mínima diferenciación (sustitutos perfectos)
sería con a=1-b a+b=1
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
16
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
1. El consumidor indiferente:
U x ( A)  U x ( B)
p A  t ( x  a) 2  pB  t ( x  (1  b)) 2
 p A  tx 2  ta 2  2txa  pB  tx 2  t (1  b) 2  2tx (1  b)
 2tx 1  b  a   pB  p A  t (1  b) 2  ta 2
2
2
pB  p A  t (1  b) 2  ta 2 pB  p A  t  (1  b)  a 
x

2t 1  b  a 
2t 1  b  a 
x
1  b  a 1  b  a 
pB  p A

2t 1  b  a 
2 1  b  a 
1 b  a
1 b  a


pB  p A
pB  p A
x



a
2t 1  b  a 
2
2t 1  b  a 
2
Por tanto si pA=pB la demanda de A es a+(1-b-a)/2
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
17
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Las demandas son:
1 b  a

pB  p A
DA ( p A , pB )  x 

a
2t 1  b  a 
2
1 b  a

pB  p A
DB ( p A , pB )  1  x  1 

a
2t 1  b  a 
2
p A  pB
1 b  a


b
2t 1  b  a 
2
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
18
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Interpretación de las funciones de demanda:
si p A  pB
DA ( p A , p B ) 
1  b  a 

a
consumidores
cautivos,
a su izquierda
2
mitad de los consumidores
entre a y 1-b
1 b  a
2
DB ( p A , pB ) 
mitad de los consumidores
entre a y 1-b
si p A  pB
DA ( p A , p B )  a 
1  b  a  
2

b
consumidores
cautivos, a su
derecha
pB  p A
2t (1  b  a )
sensibilidad de la demanda
frente a la diferencia de precios
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
19
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Gráficamente
pA+t(x-a)2
pA
pB
0
a
Mercado
cautivo de A
Economía Industrial - Matilde Machado
x
1
1-b
Mercado
cautivo de B
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
20
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
2. Encontrar las funciones de reacción
1 b  a


pB  p A
A

Max    p A  c  DA ( p A , pB )   p A  c   a 
p

A
2


2t (1  b  a) 
1 b  a



pB  p A
1
 A
  pA  c   

0 a
CPO:
0
2t (1  b  a)
2
p A
 2t (1  b  a) 
1 b  a

pB  c
2 pA

a

2t (1  b  a)
2
2t (1  b  a)
1 b  a

pB  c
pA

a

2t (1  b  a)
2
t (1  b  a)

t 1  b  a 
p c
 B
 p A  at (1  b  a) 
2
2
2
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
Función de reacción
21
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
2. Encontrar las funciones de reacción
1 b  a


p A  pB 
Max    pB  c  DB ( p A , pB )   pB  c   b 


pB
2
2
t
(1

b

a
)


 B
CPO:
0
pB
B
1 b  a

 b

2


p A  pB
1
  pB  c   
0
2t (1  b  a)
 2t (1  b  a) 
1  b  a  p A  2 pB  c

 b

0
2
2t (1  b  a )

Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
22
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
2. Encontrar las funciones de reacción (cont.)
b
1  b  a  
2
2 pB  c
1
1 b  a
pB  c 
 a 

0

2t (1  b  a ) 2 
2
2t (1  b  a ) 
1 b  a 1

3 pB  3c
1 b  a

b
 a
0
4t (1  b  a )
2
2
4
3 pB
3c
b 3 a


  
4t (1  b  a ) 4t (1  b  a ) 4 4 4
t  3  b  a  (1  b  a )
 pB  c 
3
 ba
 ab
 c  t (1  b  a )  1 
y
p

c

t
(1

b

a
)
A

1 

3 
3 


Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
23
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
2. Encontrar las funciones de reacción (cont.)
 ba
 a b 
*
pB* (a, b)  c  t (1  b  a) 1 
y
p
(
a
,
b
)

c

t
(1

b

a
)
A

1 

3 
3 


Los precios son máximos cuando la diferenciación
es máxima (a=b=0; pA=pB=c+t) y mínimos
cuando la diferenciación es mínima (a+b=1
(misma localización) y pA=pB=c)
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
24
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
3. 1er periodo, elección simultanea de a y b
Los beneficios son:
 A (a, b)   p*A (a, b)  c  DA (a, b, p*A (a, b), pB* (a, b))
 B (a, b)   pB* (a, b)  c  DB (a, b, p*A (a, b), pB* (a, b))
*
A
*
B
*
A
*
B
Se sustituye p (a, b), p (a, b), D (a, b), D (a, b) y nos quedamos con una
función solamente de a y b. Sacamos las CPO como
siempre.
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
25
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
3. 1er periodo, elección simultanea de a y b
*
*

1 b  a

 a  b    pB  p A
a


c

 (a, b)   c  t 1  a  b  1 



2
3    2t (1  a  b)



ba
*
*
pero pB  p A  2t (1  a  b) 

 3 
lo que simplifica:
A






2


a

b

3


 a  b   b  a 1 b  a 
b

a

1
t


 A (a, b)   t 1  a  b  1 



18
2 
3
 3




3 b  a


 3 a  b 




6


 3 


Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
26
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
3. 1er periodo, elección simultanea de a y b
Max  (a, b)  t 1  a  b 
A
a
3  b  a 
2
18
3  b  a
2 3  b  a 

 (a, b)
CPO:
 t
 t 1  a  b 
a
18
18
t
   3  b  a 1  b  3a   0  a*  0
18
A
Economía Industrial - Matilde Machado
2
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
27
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
3. 1er periodo, elección simultanea de a y b
3  b  a

B
Max  (a, b)  t 1  a  b 
b
18
2
3  b  a
2 3  b  a 

 (a, b)
CPO:
 t
 t 1  a  b 
b
18
18
t
   3  b  a 1  3b  a   0  b*  0  1  b*  1
18
B
Economía Industrial - Matilde Machado
2
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
28
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Conclusión: Las empresas se colocan en los
extremos, eligen máxima diferenciación.
Para la empresa A por ejemplo, un aumento de a
(movimiento hacia la derecha) :
 Tiene un efecto positivo (efecto demanda)
 Tiene un efecto negativo (efecto competencia)
 Si los costes de transporte son cuadráticos el
efecto competencia es más fuerte que el efecto
demanda y las empresas prefieren máxima
diferenciación.
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
29
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
La solución socialmente óptima es la
que minimiza los costes de transporte
y sería a=1/4 y 1-b=3/4. Por tanto
desde el punto de vista social hay
demasiado diferenciación del
producto cuando el mercado es
privado.
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
30
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
El problema del planificador social:



Excedente del consumidor x es:
 s-t(x-a)2-pA si compra en A
 s-t(x-(1-b))2-pB si compra en B
Por cada consumidor el vendedor gana
 pA-c empresa A
 pB-c empresa B
Los precios son pura transferencia entre consumidores y
productores, el excedente total asociado al consumidor
x es:
 s-t(x-a)2-pA+pA-c= s-t(x-a)2-c si compra en A
 s-t(x-(1-b))2-pB+pB-c= s-t(x-(1-b))2-c si compra en B
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
31
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
Para saber el máximo social tenemos que derivar
el consumidor indiferente:
s  t ( x  a ) 2  c  s  t ( x  (1  b)) 2  c
 ( x  a ) 2  ( x  (1  b)) 2
 x 2  a 2  2ax  x 2  (1  b) 2  2(1  b) x
 a 2  2ax  (1  b) 2  2(1  b) x
 2 x [1  b  a ]  (1  b) 2  a 2
x
(1  b  a)(1  b  a) (1  b  a)

 mitad de la distancia entre a y 1-b
2 1  b  a 
2
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
32
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
El monopolista tiene que max el beneficio
social que es lo mismo que minimizar los
costes de transporte
x
a
Min  t (a  z ) 2 dz 
a ,b
0
1b  a
2

1b

t ( z  a) 2 dz 
a
x
compran a A
1
t ((1  b)  z ) 2 dz 
1b  a
2

t ( z  (1  b)) 2 dz
1b
compran a B
0
Economía Industrial - Matilde Machado
a
x
1-b
1
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
33
4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
a
x
Min  t (a  z ) 2 dz 
a ,b
0
1b  a
2

a
compran a A
1b

t ( z  a) 2 dz 
x
1
t ((1  b)  z ) 2 dz 
1b  a
2

t ( z  (1  b)) 2 dz
1b
compran a B
1b  a

3 a
3
3 1b
3 1 
2
(a  z )
( z  a)
(1  b  z )
( z  (1  b))

 Min  



a ,b 

3 0
3 a
3
1b  a
3
1b


2
 a 3 1  1  b  a 3 1  1  b  a 3 b 3 
 Min   
 
 


a ,b
3 
 3 3  2  3  2 
Economía Industrial - Matilde Machado
La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
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4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
 a 3 1  1  b  a 3 1  1  b  a 3 b 3 
Min   
  
  
a ,b
2  3
2 
3 
 3 3 
La CPO:
2

2

0

4
a

1

b

a
 0 (A)


 a

   0  4b 2  1  b  a 2  0 (B)
 b
(A)-(B):
4a 2  4b 2  0  a 2  b 2  a  b
lo que sustituyiendo en (A) implica que:
1
3
2
2
*
*
4a  1  a  a   0  a  ;(1  b ) 
4
4
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La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling
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4.3. La ciudad Lineal –
Modelo de Hotelling
La conclusión básica del modelo de Hotelling es el principio
de diferenciación: las empresas quieren diferenciarse lo
máximo posible para disminuir la competencia en
precios.
Por veces puede que haya fuerzas que se oponen a la
diferenciación y que incluso pueden llevar a
diferenciación mínima:
1) Las empresas pueden querer estar donde está la
demanda (i.e. en el centro)
2) En caso de ausencia de competencia en precios (por
ejemplo por que los precios están regulados) puede
llevar a las empresas a localizarse en el centro y
repartirse el mercado a medias.
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