Otro paso en el
estudio de las
probabilidades
Profesor: Eduardo Ortega Montes
Alumna en práctica: Karin Acevedo Santibañez
OBJETIVOS DE LA CLASE:
Comprender concepto de probabilidad
Conocer y aplicar los Principios Aditivio y multiplicativo
Recordemos algunos conceptos
PROBABILIDAD
Mide la frecuencia con la que aparece un suceso
determinado cuando se realiza un experimento
Suceso
Suceso
Elemental
Suceso
Compuesto
¿Cómo se puede calcular la probabilidad?
Se puede calcular utilizando la Regla de Laplace
La probabilidad de ocurrencia de un
suceso, es el cociente entre casos
favorables y casos posibles
P(A) = Casos Favorables (#A)
Casos Posibles (#Ω)
Ω también se
denomina ESPACIO
MUESTRAL
Para utilizar la Regla de Laplace se deben cumplir dos
requisitos:
1) #(suceso) tiene que ser FINITA
2) Todos los sucesos deben tener la MISMA probabilidad
de ocurrencia, es decir, SUCESOS EQUIPROBABLES
RECORDAR: el valor de la probabilidad está contenido en
el intervalo [ 0 , 1 ], o bien, en porcentajes
[ 0 , 100]%
Probabilidad de que no ocurra un suceso
Si “p” es la probabilidad de que ocurra un suceso A;
entonces la probabilidad de que A no ocurra se
denomina “el complemento de A”, y se calcula:
1 – P(A) = 1 - p
EJEMPLOS
1) Al lanzar un dado al aire, analicemos la ocurrencia de los siguientes
sucesos:
 Suceso A: que salga el número 2
Casos Favorables: 2
Casos Posibles (Ω):
#A = 1
1,2,3,4,5,6
Aplicando Regla de Laplace:
P(A) = Casos Favorables (#A)
Casos Posibles (#Ω)
P(A) = 1 = 0,166 = 16,6%
6
#Ω= 6
 Suceso B: que salga un número menor que 5
Casos Favorables:
Casos Posibles (Ω):
1,2,3,4
#B = 4
1,2,3,4,5,6
Aplicando Regla de Laplace:
P(B) = Casos Favorables (#B)
Casos Posibles (#Ω)
P(B) = 4 = 2 0,666 = 66,6%
6
3
#Ω= 6
2) Al lanzar una moneda dos veces al aire, el espacio muestral es:
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
C
(C,C)
S
(C,S)
C
Ω
C
(S,C)
S
(S,S)
S
#Ω=4
a) la probabilidad de que salga a lo menos un sello es:
S: que salga a lo menos un sello
P(S) = #S = 3 = 0,75 = 75%
#Ω 4
b) Calcule la probabilidad de que salga una cara y un sello:
Respuesta:
T: que salga una cara y un sello
P(T) = #T = 2 = 1 = 0,5 = 50%
#Ω 4
2
3) Se lanzan dos dados a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de
que la suma de los números obtenidos sea 9?
La siguiente tabla entrega información sobre 10
postulantes a un equipo de básquetbol:
Número de
postulante
Altura (Metros)
Edad
1
1,91
22
2
1,95
20
3
1,95
19
4
1,97
20
5
1,90
21
6
1,95
19
7
1,97
20
8
1,91
19
9
1,95
21
10
1,95
19
Si se escoge una de estas personas al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) tenga 19 años?
b) mida 1,95 metros?
c) tenga una altura superior a 1,95 metros?
d) su edad supere los 20 años?
e) sea el más bajo de todos?
TABLA
ANALICEMOS LAS SIGUIENTES SITUACIONES:
1) Un juego consiste en lanzar un dado dos veces, y gana
el que obtiene un 5 en el segundo lanzamiento, siempre
y cuando en el primero haya obtenido un número par.
(D)
1) Otro juego trata de extraer una carta de un naipe y
lanzar un dado. Gana el que tenga mayor carta y mayor
número en el dado. (I)
Dos sucesos son INDEPENDIENTES si la ocurrencia de uno no afecta en la
ocurrencia del otro.
Dos sucesos son DEPENDIENTES si la ocurrencia de uno de ellos, depende de
lo que haya ocurrido con el otro.
PRINCIPIOS FUNADAMENTALES
PARA CONTAR
proporciona
Procedimientos y fórmulas necesarias para
contar las posibilidades que hay de elegir un
conjunto de elementos con determinadas
características.
Los cuales son
Principio de la
suma
Principio de la
multiplicación
PRINCIPIO DE LA SUMA
Situación:
Para pintar un objeto de un solo color se dispone de 3 colores
diferentes de pinturas brillantes y otros 4 colores de pintaras
opacas.
¿De cuántas maneras podemos elegir la pintura con la que
pintaremos el objeto?
Pintura brillante: 3 maneras distintas
Pintura opaca: 4 maneras distintas
Pintura brillante u opaca: 4 + 3 = 7 maneras distintas
En general:
Si un objeto A puede ser elegido de m maneras distintas y
otro objeto B de n maneras diferentes, entonces existen
(m + n) maneras distintas de escoger A o B
PRINCIPIO MULTIPILCATIVO
Situación:
Calculemos cuántos pares se pueden formar con las letras de la
palabra HOJA, si la primera de cada par debe ser una vocal.
2
4
4 letras para elegir (H, O, J, A)
2 letras vocales para elegir (A, O)
Veamos cuáles son los pares: AH AO AJ AA
OH OO OJ OA
En total son
2 ∙ 4= 8 pares
de letras.
Diagrama de árbol:
A
Plano cartesiano
H
= AH
O
= AO
J
= AJ
A
A
= AA
J
O
H = OH
O = OO
O
J
H
= OJ
A = OA
A
O
En general:
Si un conjunto A tiene m elementos y un conjunto B
tiene n elementos y los agrupamos tomando un elemento
de cada conjunto, en el orden indicado, tendremos (m ∙ n)
agrupaciones posibles.
RESUMEN PROBABILIDAD
 Si P es la probabilidad de que un suceso ocurra, entonces
tendremos que:
0 ≤ P ≤ 1, o bien, 0% ≤ P ≤ 100%.
 Al suceso que tiene 0% de probabilidad de que ocurra lo
llamaremos SUCESO IMPOSIBLE, y al suceso de probabilidad
100% SUCESO SEGURO.
 Si P es la probabilidad de que un seceso ocurra, entonces (1 - P)
es la probabilidad de que NO ocurra. Lo que se denomina,
complemento de P
 P(A y B) = P(A) ∙ P(B)
 P(A ó B) = 1 - P[ no A y no B]
= 1 - [ (no A) ∙ (no B) ]
P(A ó B) = 1 - [ (1 – P(A)) ∙ (1 – P(B)) ]
RESUMEN CONTEO
 Principio de la suma: se utiliza cuando se desea “contar”
el número de maneras o formas en que puede ocurrir uno u
otro suceso, entonces podemos sumar ambas
posibilidades (no probabilidades)
 Principio multiplicativo: permite calcular cuántas
agrupaciones se pueden formar cumpliendo con ciertas
condiciones. En este caso se multiplican dichos valores.
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