Capítulo 3: EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA
1. Los conductores, los semiconductores y los dieléctricos
2. Los sólidos cristalinos, los policristalinos y los amorfos
3. El dipolo eléctrico
4. La polarización
5. La generalización de la ley de Gauss
6. Los dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
7. La densidad de energía del campo eléctrico
8. Las condiciones de frontera para D y E
9. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática en medios
materiales
E 

0
E 0
•Las cargas eléctricas son “libres”. Las podemos
poner y quitar; tenemos control sobre ellas.
•Los conductores son sencillos. Sus propiedades
hacen que solo aparezcan como condiciones a la
frontera.
2
 qi
1
 q2
 q1
3
M
  0
2
 qN
j
 q3
Conductores, semiconductores y dieléctricos
• Conductor
– Ofrece poca resistencia al flujo de la corriente
eléctrica
• Dieléctrico o aislante
– Ofrece una alta resistencia al flujo de la
corriente eléctrica
• Semiconductor
– Conductividad intermedia entre el conductor y
el aislante
Conductores, semiconductores y dieléctricos
Conductores, semiconductores y dieléctricos
La conductividad depende de la temperatura
Conductores
• Tienen una gran cantidad de portadores
de carga libres
1022 portadores/cm3
• En el caso de los sólidos comúnmente son
metales y los portadores son electrones
• En el caso de los líquidos y los gases los
portadores son iones
Semiconductores
• Tienen una cantidad moderada, y
controlable, de portadores de carga libres
De 106 a 1020 portadores/cm3
• Silicio, Germanio, Selenio, Galio, entro
otros
• Su conductividad se puede modificar con
la adición de “impurezas”
Dieléctricos o aislantes
• Tienen pocos portadores carga libres
Menos de 106 portadores/cm3
• Diamante, vidrio
• Sus moléculas pueden ser polares o no
polares
• Estudiaremos los dieléctricos lineales,
isotrópicos, homogéneos
• El Al2O3 tiene una resistividad de 1014 Ω cm
• No polares
– Las moléculas que forman el sólido no
tienen un momento dipolar permanente
• Polares
– Las moléculas que forman el sólido tienen
un momento dipolar permanente
Sólidos cristalinos, policristalinos y amorfos
• Sólido cristalino
– Estructura ordenada acotada por superficies
planas suaves arregladas simétricamente
• Sólido policristalino
– Formado por secciones cristalinas
macroscópicas con diferentes orientaciones
• Sólido amorfo
– No presenta ningún arreglo u orden
Sólidos cristalinos
Azúcar
Sólidos cristalinos
Pirita
Sólidos cristalinos
Idocrasia siberiana
Sólidos cristalinos
Diamante
Sólidos cristalinos
Berilio
Sólidos cristalinos
Alótropos del Carbono
• No polares
– Las moléculas que forman el sólido no
tienen un momento dipolar permanente
• Polares
– Las moléculas que forman el sólido tienen
un momento dipolar permanente
-
+
+
•Los dieléctricos sí producen campos.
•Sus cargas están ligadas. No podemos hacer nada
con ellas.
•El campo polariza el material. Esa polarización
modifica el campo, que a su vez vuelve a cambiar la
polarización. Y así sucesivamente hasta que se llega a
un equilibrio.
•Los dieléctricos se polarizan
q
a
r
a
q



q
r a
r a
q 
r a
r a
E (r ) 





3
3
3
3

4  0  r  a
4

r

a
2
2
2
2

0

 r  a  2r  a  2
r  a  2r  a  2











q 
r a
r a

E (r ) 


3
3 

4  0
 r 2  a 2  2r  a  2 r 2  a 2  2r  a  2 


 




1 q 
r a

3 
4  0 r 
  a 2
 r a
 1     2  2
   r 
 r
3
2



 

r a
3
  a 2
 r a
1     2  2
 r
  r 
2



 











1 q 
E (r ) 
3 
4  0 r 

a
 1  
 
r
r a
3
2

 r a
  2 2

 r
2


 

r a
3
2

a
 
 r a
1     2  2
r 
 r



 
2








H arem os ahora algunas aproxim aciones, su poniendo que r   a :
2
a
 r a 
a
1. E l term ino   se desprecia frente al térm ino 2  2  que es d e orden  
r 
 r 
r
3
2. C om o (1  x )
-
3
2
1

 r  a  2
x escribim os 1  2  2    1
2
 r 

3
 r a 
3 2 
 r 
q 
r a 
E (r ) 
1  3 2 r  a  
3 
4  0 r  
r 
1

r a 

1  3 2   r  a  
r 


q 
r a


 r  a    r  a   3 2   r  a    r  a   
3 
4  0 r 
r

1
q 
r a
q 
r  2a 


 2 a  3 2  2 r   3   2 a  3
r
3 
2
4  0 r 
r
r
 r 

1
q 
r a
q 
r  2a 

E (r ) 
2a  3 2  2r   3 2a  3
r
3 
2
4  0 r 
r
r
 r 

1
D efiniendo el m om ento dipolar eléctrico com o d  2 qa
E (r ) 
 3r  d
d 
r  3

5
4  0  r
r 
1
q
a
d
a
q
E (r )
 3r  d
d 

r  3

5
4  0  r
r 
1
con
d  2 qa
A lo largo de la bisectriz perpendicular r  d  0 y entonces
E b isectriz
1
d
(r ) 
p erp en d icu lar
4  0 r 3
q
a
r
a
q
 1
1 
q 
1
 (r ) 




 2
2
4  0  r  a
r  a  4 0  r  a  2 r  a
q


2
2
r  a  2r  a 
1


q 
1
1

 (r ) 


1
1 

4  0
 r 2  a 2  2r  a  2
r 2  a 2  2r  a  2 


 




1 q
1


4  0 r 
2

a
 r a
 1     2  2
 
r 
 r
1
2



 

1
1
2

a
 r a
1     2  2
r 
 r

2



 











1 q
1
 (r ) 

4  0 r 
2

a
 
 r a
 1     2  2
 
r 
 r
1


 
2
1

1

a
 r a
1     2  2
r 
 r

2


 
2








H arem os ahora algunas aproxim aciones, su poniendo que r   a :
2
a
 r a 
a
1. E l term ino   se desprecia frente al térm ino 2  2  que es de orden  
r 
 r 
r 
2. C om o (1  x )
-
1
2
1

 r a
x escribim os 1  2  2
2
 r

1




1
2
1
 r a 
 2 
 r 
q 
r a  
r a
 (r ) 
1  2   1  2
4  0 r  
r  
r
1

 

1 r  2 qa
r a 

2 2  
3
4  0 r  r  4  0
r
1
q
D efiniendo el m om ento dipolar eléctrico com o d  2 qa
r d
 (r ) 
4 0 r 3
1
O btener el cam po a partir del potencial.
 (r ) 
1
r d
4  0
r
E  r      r
3

T enem os





 



 A  B  A   B  B    A  A  B  B  A
E n nuestro caso
A
rˆ
r
2
y
B 
d
B d 0 ;  A
rˆ
r
2
 rˆ

 0 ;  2  d  0
r

O btener el cam po a partir del potencial.
 (r ) 
1
4  0
r d
r
E  r      r
3

T enem os





 



 A  B  A   B  B    A  A  B  B  A
E n nuestro caso A 
rˆ
r
E (r )    (r )  
2
1
4  0
y
B 
rˆ
d   r
2
d
rˆ
1
E ( r )    ( r )  
4  0
d   r
2

rˆ 
x


d



d


d


d


x x
y y
z z 
2 

r x

 x2  y2  z2





1

 dx 
 x2  y2  z2


dx

x
2
 y z
2
2

3
2

3
3x

x
2
2
 y z


2
3x d  r

x
2
2
 y z
2
2

5
2
2


5
2
2


3 xy


  d y 

 x2  y2  z2



dx
r

3





3


3x d  r
r
5


5
2


3 xz


  d z 

 x2  y2  z2




5
2





E ( r )    ( r )  
rˆ
1
4  0

d   r
rˆ 
d x 3x d  r

5
 d  r2   r3 
r

x


2

H aciendo lo m ism o para cada una de las c om ponentes
 3r  d
d 
E (r ) 
r  3

5
4  0  r
r 
1
W  q ext ( r  a )  q ext ( r  a )
 ext ( r  a )   ext ( r )  a    ext ( r )
 ext ( r  a )   ext ( r )  a    ext ( r )
W  q   ext ( r )  a    ext ( r )   q  ext ( r )  a    ext ( r )  
 2 qa    ext ( r )
W  d    ext ( r )
W   d  E ext ( r )
N  rF
Eje
q
a
a
q
N  r1  F1  r2  F2
E (r )
N  r1  F1  r2  F2
r1  a ,
r2   a ,
F1  qE ,
N  a  qE  (  a )  (  qE )
N  2 a  qE  2 qa  E
N dE
F 2   qE
 3r  d
d 
E (r ) 
r  3

5
4  0  r
r 
1
 (r ) 
1
4  0
r d
r
3
W ext   d  E ext ( r )
N  d  E ext ( r )
Un capacitor (también llamado
condensador) es un dispositivo que
almacena energía en el campo
eléctrico creado entre un par de
conductores en los cuales se han
colocado cargas iguales pero de
signo opuesto
q
q
q
q  C
C oul
C 
2
q

C oul
C oul


 Faradio
C  
Joule
V olt
Joule
C oul
F arad io =
C oul
2

 2 .9 9 8 0  1 0
Jo u le
10
 8 .9 8 8  1 0
11
7
S tatC
= 8 .9 8 8  1 0
cm
F arad io = 8 .9 8 8  1 0
11
cm
1 cm = 1 .1 1 3  1 0
F arad io
-1 2
S tatC
E rg io
2
E rg io
11
9

2



 
q
A
l

E z  

2 0
kˆ
E z 

2 0
kˆ

E z 

2 0
kˆ
E z  

2 0
kˆ


E  z   0 kˆ
E  z   0 kˆ
 ˆ
E z 
k
0
l


E 

0
 
q
A
l
 
 E  dl
1

0

 
C 
1
0
q

l 
 q
l
  dx
0


0
l
ql
A 0
A 0
ql
A
C 
0
l
l
C 
A
l
0
a
1
 r  
C 
q

q
4  0 r
r a
q
 4  0 a
1 q

4  0 a
C  
C oul
V olt
= Faradio
1 cm
C  4  0 a

 12 F 
 12
 4   8.854  10
0.01
m

1.113

10
F


m
