CAPITULO 5
Funciones de Variables
Aleatorias
y
Función Generadora de
Momentos
Estadística Computacional
Funciones de Variables Aleatorias
Sea X v.a. con función de densidad
(cuantía) fX. Sea Y = g(x). Entonces:
 X es v.a. discreta y g continua 
Y = g o X es v.a. discreta
 X es v.a. continua y g continua 
Y = g o X sea v.a. continua
Transformación de Variables

A
sA
X :   RX
H : RX  RY
s   dominio X
x  RX rango X
(s, x)  X
x  RX dominio H
y  RY rango
H
(x, y)  H
RX
B
X(s)  B
RY
C
H(x)  C
H(X(s))  C
Y :   RY
s   dominio Y = H(X)
y  RY rango Y = H(X)
(s, y)  Y = H(X)
P(C) = P[{ x  RX : H(x)  C}] = P[{ s   : H(X(s))  C}]
Transformación de Variables
Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(xij)
f(x11) ··· f(x31) ·······f(xn1) f(x12) ········· f(xn2)
x11 x21 x31 x41 ······· xn1
x12 x22 x32 ·· xn2
f(x13) ········· f(xn3) f(x1j) ········· f(xnj)
x13 x23 x33 ·· xn3
X
x1j x2j x3j ·· xnj
Y
y1
y2
y3
yj
Sea H(xij) = yj una función que tiene la propiedad de asignar un valor yj
Entonces
a todo xij j  J para i = 1, 2, 3 ,...; j = 1, 2,...
nj
Y = H(X)

es una variable aleatoria
con función de cuantía g(yj) =ij = 1jf(xij)
Transformación de Variables
Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x)
Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria.
Entonces:
Si H(x) discreta
Y = H( X) es
v.a. discreta
Y = H( X) es
v.a. discreta
Y = H( X) es
continua
v.a. discreta
Y = H( X) es
v.a. continua
discreta
X es v.a.
Si H(x) continua
Funciones de Variables Aleatorias
X: 
R
v.a.c.

g:D
R
fu continua, estrictamente
monótona, derivable y con
derivada no nula en A  D
Y = g(X) v.a.
Entonces:
1
1
fY ( y )  f X ( g ( y )) 
dg ( y )
dy
 I g ( A) ( y )
Transformación de V.A. Continuas
f(x)
Sea
X v.a.
2
f(x) = 2x 0 < x < 1
y
x
Sea
f(x) = 2x
1
0<x<1
Y = H(X) = 3X + 1
4
3
pdf de Y; g(y) ?
2
y = 3x + 1
G(y) = P(Y  y) = P(3X + 1  y)
= P(X  (y – 1)/ 3)
1
g(y)
x
1
1
2
(y –1)/3

=  2x dx =
0
y
y
1
9
[y – 1]2
1
2
3
g(y) = G’(y) 
4
2
9
5
(y - 1)
Funciones de Variables Aleatorias
Ejemplo:
fX(x) = I0,1(x)
g(x) = ln x
Sea Y = g o X = ln X.
Encontrar la densidad de Y = ln X
Funciones de Variables Aleatorias
Solución:
Sea A = 0,1  D = R+
Además g es derivable y con derivada no
nula en A
Entonces:
f ln X ( y )  f X (e )  e  I R  ( y )  1 e  I R  ( y )
y
y
y
Caso X  U (0,1)
H(X) = ln X
Sea X ~ U(0,1)
G(y) = P(Y
 y)
0<x<1
P(ln X  y)

Y = ln X
P(X  ey )
X = H-1(Y) 
X = eY
F(ey)
f(x) = 1
Y = H(X)
g(y)
encontrar g(y)
1
dF(x) dx
g(y) = G’(y) =
= 1 x ey
dy
dx
x
g(y) >0 
y
0
-
1
0
y
-
Funciones de Variables Aleatorias
Solución:
Además, algunas propiedades de Y son:
EY  
1
 ye
R

y
dy  1  Eln X    ln x  I 0,1 ( x )dx
  1  1
V Y   E Y
2
0
Un método operativo
X  U (0,1)
Y = ln X
FY ( y )  P(Y  y )  P(ln X  y )
 P( X  e )  FX (e )
y
y
derivando con respecto a “y” tenemos:
fY ( y ) 
d
dy
y
FY ( y ) 
dFX (e )
 1 e  I R  ( y )
y
dx

dx
dy
 f X (e )  e
y
y
Un método operativo
En general, sea X v.a.c.  Y = X2
fY ( y ) 
1
2 y
f
X

( y )  f X ( y )
Consideremos X  N(0,1), sea Y = X2, luego:
 1
y/2
fY ( y ) 
e


2 y  2
1
Y
1
2
 (1)
2
e
y/2
1 / 2
y/2

  1/ 2
2


y
e
Ejercicio
Sea X = ln Y  N (  , 2 )
Encontrar la distribución de Y
Nota: Y se conoce como
distribución Log-normal.
Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, 2)
Función Generadora de Momentos
Definición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad
o cuantía fX. Se llama función generadora de
momentos a
 : D  R R / X(t) = E [etX]
t
X v.a.d.
X(t)
 X (t )   e f X ( xi )
txi
iI
X v.a.c.
 X (t )   e f ( x )dx
tx
R
Función Generadora de Momentos
Observaciones:
 Tal serie o integral pude no existir siempre
 t  D.
 Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1.
 Deseamos que exista V(0,)D y que
además sea derivable k-veces.
 Cuando X(t)=E[etX] no exista, podemos
usar
X(t)=EeitX
llamada
función
característica.
Función Generadora de Momentos
X
U(a,b)
P()
Exp()
N(,2)
X(t)
bt
at

 1  e e


t
 b  a 

 ( e 1) 
e
t

  t 

t 
e
t 
2 2
t /2





Función Generadora de Momentos
X
(,)
B(n,p)
X(t)
  


  t 
pe
t


 (1  p )
n
Función Generadora de Momentos
Usando el desarrollo en serie de Maclaurin X(t)
X
(t )  E e 
tx
2 2
3 3
n n


t x
t x
t x
 E 1  tx 

 ... 
 ...
2!
3!
n!


 X (t )  1  tEX  
t
2
2!
  ... 
E X
2
’X(0) = E[X]
’’X(0) = E[X2]
t
n
n!
  ...
E X
n
Función Generadora de Momentos
En general, bajo condiciones de regularidad:
nX(0) = E[Xn]
Finalmente:
Si Y = X +   Y(t) = et X(t)
Z = X + Y ; X  Y  Z(t) = X(t) Y(t)
Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, 2)
Caso X  U (0,1)
Sea X ~ U(0,1)
G(y) = P(Y  y) = P(e-X  y)
f(x) = 1
Y = H(X)
H(X) = e-X

X = H-1(Y) 
0<x<1
P(- X  ln y ) =
Y = e-X
P(X  - ln y ) =
X = - ln Y
encontrar g(y)
1 – F(ln y)
g(y)
dF(x) dx
_1
g(y) = G’(y) =
=
1
dx dy
y
g(y)  x
y
0
1
1
e-1
1
y
e-1
1
Transformación de V.A. Continuas
X: 
v.a.c.
X
 H : X
Y
H()
continua, estrictamente
monótona, derivable y con
derivada no nula en A  Y
Y = H(X) v.a.
Entonces:
-1
gY( y) = fX( H
-1
(
y ))
dH ( y )
dy
Caso X  U (0,1)
Sea X ~ U(0,1)
H(X) = X2
G(y) = P(Y  y) = P(X2  y)
f(x) = 1 0 < x < 1
Y = H(X)

P(- y  X   y ) =
Y = X2
X = H-1(Y)  X =  Y
ó X=-Y
dF(y) dx
encontrar g(y) = G’(y) =
dx dy
g(y) =
F( y ) – F(-  y )
dF(-y) dx
dx dy
1
f( y ) + f(-  y )
2y

Caso X  N
Sea X ~ N(,2)
f(x) =
x -
1
-½

e
2 
Y = H(X)
- < x < 
1
2
1
2 
1
e 2
e
y2
(X –  )

Sabemos que
dx
g(y) = f(x)
dy
X = Y + 
encontrar g(y) =
g(y) =
2
H(X) =
X–
Y= 

X = H-1(Y) 
(,2)
1 y+-

2
2
* 
Reconocemos la
Normal Estandar
(N(0,1)
Caso X  N (,2)
Sea X ~ N(,2)
f(x) =
2
x -
1
-½
 - < x < 
e
2 

Y = ln X
X = H-1(Y) 
X = eY
Y = H(X)
1
encontrar g(y) =
g(y) =
1
2 
2 
y
e
1
2
e
H(X) = ln X
Sabemos que
dx
g(y) = f(x)
dy
1
2
ey - 

ey - 

2
y
*e
2
Caso X  N (,2)
Sea X ~ N(,2)
f(x) =
2
x -
1
-½
 - < x < 
e
2 
Y = H(X)

dx
g(y) = f(x)
dy
X = lnY
1
=
-
g y =
Sabemos que
Y = eX
X = H-1(Y) 
encontrar g(y)
H(X) = eX
2 
y1
e
1
2
2 
e
1
2
lny – 

lny – 

2
*
1
y
2
Se le denomina
distribución
LogNormal: (N(0,1)
Distribución LogNormal (0,1)
Fenómenos aleatorios representados por variables
aleatorias con esta distribución:
• Diámetro de pequeñas partículas después de un
proceso de chancado
• El tamaño de un organismo sujeto a un número
pequeño de impulsos
• Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos;
etc.
• Tiempo de vida de ciertos ítems
• Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN
Distribución LogNormal (, 2)
f(x) =
F(x) :
E[X] =
ln x - 
_ 1
2

x-1
2 
e
x  R
No tiene expresión
analítica.
2
e2
V[X] = e
2
2
2
2

(e –
1)
Caso X  N(0,1)
Sea X ~ N(0,1)
f(x) =
1
2
Y = H(X)
e- ½ x
Sabemos que:
2

- < x < 
Y = X2
X = H-1(Y)  X =  Y
.
ó
H(X) = X2
g(y) =
1
f( y ) + f(-  y )
2y
X=-Y
- 1/ 2 - y / 2


1
1
1
y
e
- y/ 2
- y/ 2
encontrar g(y) =
+
=
e
e




2 y 2
2

21/ 2 
- 1/ 2 - y/ 2
g y =
y
e
21/ 2 
Reconocemos
una distribución
n ; con n = 1

Desafíos ...
Sea X ~ U(1, 3)
Sea f(x) = 2x
0<x<1
H(X) = 3X + 1
H(X) = 3X + 1
J(X) = eX
J(X) = e-X
Sea f(x) = e-x
x>0
H(X) = X3
J(X) =
3
(X + 1)2
Sea f(x) = ½
-1 < x < 1
H(X) = 4 – x2
J(X) = ln X
f(x ) =
x
2
n
2
n
1
2


1
2

e
x
2
n
2
= 
x>0
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