UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
Facultad de Ingeniería
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO II
M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN
México, DF Abril 2005
USO DEL CARBONO 14
14
( C) PARA FECHAR
Jaime González Méndez
La curiosidad por el tiempo
 El hombre siempre ha sentido curiosidad por el
tiempo.
 Esta curiosidad lo ha llevado a investigar sobre
su pasado. Para eso se ha valido de infinidad
de herramientas.
 Una de ellas es ubicar en el tiempo y espacio,
los restos de animales, plantas, rocas etc., para
poder darse una idea clara del entorno en
aquellos tiempos remotos.
Fechamiento
 Al proceso de ubicar en el tiempo los
restos fósiles se denomina Fechamiento
o datación.
 Para fechar los restos fósiles de seres
vivos se utiliza el 14Carbono, el que a
partir de ahora identificaremos como 14C
¿Qué es el Carbono 14?
 El Carbono 14 es un isótopo del Carbono
12 que todos conocemos, lo que lo hace
diferente al 12C es que el 14C, tiene 8
neutrones en el núcleo y no 6 como es
común.
 El 14C a diferencia del 12C es inestable y
radioactivo, es decir desprende rayos b(se desintegra) para posteriormente
convertirse en Nitrógeno (14N).
¿En que tiempo se desintegra
el Carbono 14?
 Los isótopos radiactivos como el 14C, se desintegran de una manera muy peculiar.
 Si tenemos n átomos de 14C, pasará un determinado tiempo t para que la cantidad por desintegrar se reduzca a n/2 y otro tiempo t para que se
reduzca a n/4, es decir en cada tiempo t se logra
desintegrar la mitad de átomos de los existentes
anteriormente; de ahí que se emplee el termino
vida media o periodo de semidesintegracion.
 De esta manera vida media se define como el
tiempo transcurrido en el cual el numero de
átomos del carbono decae a la mitad del número
inicial.
Tabla de vida media de
algunos isótopos radiactivos
Isótopo
Vida media
Isótopo
Vida media
Berilio-8
10-16 seg.
Polonio-213
4 10-6 s
Aluminio-28
2.25 min.
Carbono 14
5730 años
8 días
Carbono 15
24 segundos
Estroncio-90
28 años
Uranio 235
7.1 x 108 años
Radio 223
11.7 días
Uranio 238
4.5 x 109 años
Radio 224
3.64 días
Cobalto-60
5,3 años
Radio 225
14.8 días
Radón-222
4 días
Radio 226
1620 años
Unnilquadio-105
Radio 228
6.7 años
Yodo-131
Tabla No. 1
32 segundos
Desintegración de
14C
 Cada isótopo radiactivo tiene diferente periodo
de semidesintegracion o vida media; en la
tabla No. 1 se muestran algunos.
 De dicha tabla se obtiene que se necesitan
5730 [años] para que una cantidad cualquiera
de átomos de 14C se reduzca a la mitad, es
decir 5730 [años] es el valor de la vida media
del 14C. El dato anterior nos conduce a la
siguiente grafica.
Curva de desintegración
14
de C
Actividad
1
Tiempo (años)
0
5730
11460
17190
22920
28650
34380
1/2
1/4
1/8
t = T1/2
0
5000
1/16
10000
15000
20000
25000
Años
Grafica No.1
1/32
30000
1/64
35000
40000
Porcion de
C14 restante
1
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
1/64
Datación con Carbono-14
Ahora expliquémonos el porque de la
posibilidad de fechar con 14C, y por que se da
solo en seres vivos:
 Las reacciones nucleares en la atmósfera que
resultan del bombardeo por los rayos cósmicos,
producen una pequeña porción de 14C en CO2
(Dióxido de Carbono) de la atmósfera.
 Las plantas que obtiene su carbono de esta
fuente contiene la misma proporción de 14C
que la atmósfera.
 Cuando una planta muere, deja de absorber
carbono y su 14C se desintegra por emisión beta
menos, transformándose en 14N.
Ciclo de
14C
 Lo explicado
anteriormente forma
parte de un ciclo, el
llamado ciclo del
carbono, que se
muestra en la figura
No.1
Figura No.1
Datación con
14C
 En el momento en que se somete a estudio el
fósil de una planta, ésta ya tiene una buena
cantidad de 14C desintegrado, es ahí cuando se
relaciona los átomos restantes de 14C con los
originales para poder saber la edad que tiene
esa planta de haber muerto.
 La duda ahora es, que fórmula, ecuación o
artificio matemático se emplea para determinar
la edad de un fósil de ser vivo a partir de los
átomos restantes (aun no desintegrados) de
14C. Es ahí donde el Cálculo hace su aplicación.
Datación con
14C
 Al estudiar por primera vez un fósil de
ser vivo se encuentra que conserva aún
un numero cualquiera de átomos de 14C,
al que llamaremos N, que en sí
representa en número de átomos de 14C
en un tiempo dado.
 Podemos también decir que un dN es el
cambio en N durante un intervalo de
tiempo dt.
Velocidad de
desintegración
 La razón de cambio de N es la cantidad
negativa dN/dt, así pues –dN/dt se llama
velocidad de desintegracion o actividad.
A = -dN/ dt
 El signo menos se explica debido a que dN
siempre es negativo.
 La unidad para medir la actividad es el Curie
(Ci), que representa 3.70 * 10 10
desintegraciones/seg.
Velocidad de
Desintegración
 Si observamos nos podemos dar cuenta si
tenemos una cantidad muy grande de
núcleos de 14C, una cantidad muy grande
también será la que se desintegrara en
cualquier intervalo de tiempo. De este modo
podemos decir que la actividad es
directamente proporcional a N, por lo que
queda:
dN
Nl = -
dt
Constante de
Desintegración
 De la ecuación anterior, la constante que convierte la
proporcionalidad en igualdad se llama constante de
desintegración y tiene diferentes valores para cada
uno de los isótopos radiactivos.
 Si despejamos l vemos que es la razón del número de
desintegraciones por unidad de tiempo al número de
núcleos restantes.
dN
l=Ec. 1
N dt
 Por lo que l puede interpretarse como la probabilidad
por unidad de tiempo de un núcleo individual de
desintegre.
Datación con
14C
 La ecuación anterior se puede escribir
en una forma ligeramente diferente, y
esto es posible si existen No átomos en
el tiempo t = 0, entonces queda:

N
No
t
dN
=  - ldt
t =0
N
 Lo que resolviendo queda:
N
= -lt
Ln
No
Datación con
14C
 La solución anterior despejando N, queda:
- lt
=
N No l
Ec. 2
 Si esa ecuación la multiplicamos por l, se
convierte en:
lN = lNo l
- lt
 Donde lN es también la actividad o velocidad
de desintegración, y lNo la actividad inicial. De
este modo la ecuación queda:
- lt
=
A Ao l
Ec. 3
Datación con
14C
 Si queremos expresar la ultima ecuación
obtenida en su forma logarítmica, esta
queda:
Ln A = Ln Ao - lt
Gráfica en Ln A vs t
 Cuando se grafica la ecuación anterior,
(Ln A contra t), da una recta cuya
pendiente es igual a –l.
Ln de la
Actividad
Ln Ao
Ln A = Ln Ao - lt
t [tiempo]
Calculando la Vida media
14
de C
 Con lo que respecta a la vida media
(T1/2 ) de 14C , decimos que cuando
t = T1/2,, entonces N se reduce a la
mitad de la cantidad inicial o lo que es lo
mismo; N = ½ No. Con lo que
sustituyendo en en Ec. 2 tenemos:
- lT 1
1
2
No = Nol
2
ó
- lT 1
1
2
=l
2
Calculando de Vida media
14
de C
 De lo anterior si aplicamos logaritmo
Natural queda:
- Ln 2 = -lT 1
2
 De donde la vida media es:
Ln 2
1
=
T
2
l
 Y como l es 1.209680*10-4[años-1] , T1/2
queda
T 1 = 5730 [años]
2
Datación con
14C
 Sin embargo; de la Ec. 2 nos quedó una
expresión que no es útil para determinar la
Edad de un fósil de un ser vivo.
 la cantidad de átomos de 14C (No) presentes
en la atmósfera y obviamente en el cuerpo de
ser vivo en el momento de su muerte, es una
constante que puede ser descubierta por otros
métodos e investigaciones; por tanto, lo mas
conveniente es dejar la Ecuación en términos
del tiempo t.
Datación con
14C
 Entonces queda:
Ln N - Ln No
t=
-l
ó t = Ln No- Ln N
l
 Que es ya la ecuación con la que
podemos fechar o datar un fósil de ser
vivo.
Fechamientos realizados
con 14C
Muestra
Edad Conocida
[Años]
Carbón de la caverna de Lascaux (conocida por sus
pinturas rupestres)
Placa de madera de una viga del techo de la tumba
del Visir Hemaka
Viga de ciprés de la tumba del Faraón Sneferu
15516 ± 900
4700±5100
4883 ± 20
4575±75
4802 ± 210
Cornamenta de venado de una reservación India en
el Condado de Butler, Kentucky
Madera de la cubierta de la nave sepulcral de la
tumba del faraón Sesostris III
Edad por el
14C [Años]
4333 ± 450
3750
Pintura de Bosquimanos, Sudáfrica
3621 ± 180
3368 ± 200
Madera de una secoya gigante conocida como el
Tocón Centenario, caída en 1874
2928 ± 51
2710 ± 130
Rollos del Mar Muerto
2054 ± 100
1917 ± 200
Restricciones del
14
Fechamiento con C
 Como todo buen método, el fechamiento con
14C también tiene restricciones o limitaciones:
 Solo puede medir la edad de fósiles no mayor
a 50000 años, debido a que después de 7
vidas medias la cantidad de 14C contenida en
un fósil es tan escasa que no es posible
detectar.
 Solo puede calcular la edad seres vivos; no de
rocas o algún material mineral.
Conclusiones
 Con todo lo investigado anteriormente doy por
terminado un proyecto en el que una vez mas
el Cálculo tiene aplicación, situación que lo
hace interesante.
 Concluyo que el proyecto realizado sirvió para
darme cuenta de las aplicaciones verdaderas
que el Cálculo tiene, cuestión que no se ve en
el aula.
 Espero que el trabajo realizado por un servidor
sea, útil para aquellos lectores que desee
entender, el proceso e Datación con 14C.
¡Gracias!
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