DINAMICA DEL
MOVIMIENTO CIRCULAR
DINAMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
Sabemos que en un movimiento curvilíneo la aceleración tienen dos componentes
a 
dv
dt

dv
dt
.t o 
V
2
no
r
Si v es la velocidad tangencial recordemos que en una trayectoria circular esta se relaciona con
la velocidad angular así : v = ω.r siendo r el radio de curvatura de la circunferencia (radio de la
circunferencia), entonces:
2
2
d ( .r )
 .r
dv
a 
to 
no
at 
 r
dt
r
a 
d
dt
dt
r to   r no
2
a   r to   r no
2
an 
V
2
 r
2
r
siendo α la aceleración angular, observemos estas cantidades representadas
respecto a la trayectoria.
Si ω = cte. el movimiento circular es uniforme. Fig. 1.b, Si ω = cte, α = dω / dt = 0, no hay
aceleración angular
Además si nos movemos en una trayectoria circular: v = ω.r = : cte.cte = cte el módulo
del vector velocidad es constante. La aceleración tangencial resulta ser
at 
dV
0
an 
dt
V
2
 r
2
r
En cambio como solo hay aceleración normal o centrípeta, eso indica que
,
la dirección del vector velocidad cambia constantemente, siendo siempre tangente a la
circunferencia.
Si pongo una masa “m” en el punto A, entonces obtenemos la fuerza normal o centrípeta:
Fn  m
V
2
 m r
2
r
Por el principio de acción y reacción a esta
fuerza normal aplicada a “m” se le opone la
fuerza centrífuga Fc
En la figura (1) la representa a acción de las
fuerzas normal y centrífuga.
La figura (2) indica como actúan las fueras
aplicando el principio de acción y reacción.
Pero el hilo (vínculo) está tenso cuando gira la piedra alrededor de la mano. Si
tenemos una piedra atada con un hilo y la hacemos girar alrededor de la mano
describe una circunferencia. Esta circunferencia puede estar en cualquier plano. Pero
consideremos un plano vertical, dado que uno horizontal ya se ha analizado cuando
se estudió el MCU.
MOVIMIENTO EN UNA CIRCUNFERENCIA VERTICAL
Supongamos que hacemos girar un cuerpo de masa “m” con ω = cte, de donde
en una circunferencia vertical de radio r.
,
V  cte
Vamos a hallar la tensión de la cuerda en los puntos A y B.
Consideramos positivos los sentidos hacia el interior (hacia el centro) de la circunferencia.
En A:
T A  mg  m
TA  m
V
V
2
(1)
r
2
 mg
r
V 2

T A  m 
 g  ( 2 )
 r

Observemos que, para que la
tensión de la cuerda en A (T A)
sea cero, en (2) se tiene que
cumplir:
V
2
 g
r
Es decir, que la aceleración de la gravedad debe ser igual a la aceleración normal, radial o
centrípeta para que la tensión sea cero.
Con una velocidad menor, la aceleración a n= V2 / r disminuye, y el cuerpo de masa “m” deja
de describir la circunferencia vertical, cayendo dentro de ella.
En B:
En el punto B la tensión (T B) debe ser tal que ( ver Fig.5 pagina anterior)
1)Soporte el peso de la esfera (cuerpo de masa m y peso P = m g ), y
2)Proporcione la fuerza centrípeta o normal
Esta fuerza centrípeta es la que sigue haciendo girar la esfera.
Calculemos la velocidad mínima en A y B, punto superior e inferior de la circunferencia
vertical. Fig 6
T B  mg  m
V
2
V 2

TB  m 
 g
 r



r
Velocidad mínima en A
T  mg 
mV 1
2
r
Si buscamos la velocidad mínima en A,
tenemos que tener en cuenta que con una
velocidad menor el cuerpo deja de describir la
circunferencia y cae.
Ello equivale a proponer que la tensión T = 0.
Si
T  0  mg 
mV 1
r
Entonces:
V1 
gr
2
TB>TA
Velocidad mínima en B
(Para seguir describiendo la circunferencia
Se emplea el principio de conservación de la Energía Mecánica, donde el plano de referencia
cero de la energía potencial está en el punto B.
EMB=EMA
La energía cinética en B (que puede ser considerada como total, al pasar un plano de
referencia por él) será:
EcB = Ec1 + Ep1
Simplificando:
1
2
mV 2 
2
1
2
mV 1  mg 2 r
2
V 2  V 1  4 gr
2
2
V 2  gr  4 gr  5 gr
2
V2 
5 gr
El cuerpo no llega al punto A si la velocidad que lleva es tal que
V  V
2
El cuello, entrenado para la Fuerza G
Es la zona del cuerpo del piloto que más sufre ante las aceleraciones y las altas
velocidades en las curvas; las exigencias en las pistas
Las piernas se esfuerzan sobre la bicicleta. Al
pedalear a fondo se siente el aire en el
rostro. A gran velocidad, se intenta doblar
hacia la derecha. El cuerpo se inclina hacia
ese costado para contrarrestar la fuerza que
se siente arriba del asiento, que parece
empujar hacia la izquierda. Esa sensación de
seguir hacia el lado contrario al que se dobla
es la Fuerza G. Por supuesto que a una
escala ínfima, pero el principio es el mismo.
Algo similar sucede si, con la bicicleta a
fondo, se frena bruscamente. El cuerpo
tiende a ser catapultado por encima del
manubrio. Las unidades de Fuerza G que se
experimentan en una curva de un circuito con
los automóviles de la máxima categoría
demandan una preparación física especial,
que no todos son capaces de soportar.
¿Qué es la Fuerza G? Si bien los ejemplos de la bicicleta o de las curvas en la F.1
son habituales (por experiencia propia o por TV), esa medición determina la
aceleración, o, en su defecto, la desaceleración de un objeto. Y se toma un G como
la aceleración similar a la que produce la gravedad en el planeta tierra. Algo así como
9,80 metros por segundo al cuadrado.
Las actuales transmisiones televisivas, además de reflejar las velocidades de cada
máquina, también muestran, con un gráfico, la Fuerza G que soporta el piloto. Si el
F.1 dobla hacia la izquierda, el punto marcará, con su deslizamiento hacia la derecha,
la cantidad de G que exige al conductor. Y si hay un golpe frontal, el punto se lanzará
hacia adelante, tal como se observa en el momento del impacto frontal de la Ferrari
de Massa contra la protección de neumáticos en Hungría.
Uno de los puntos más débiles de los pilotos es, sin duda, el cuello. Esa zona del
cuerpo debe soportar el peso de la cabeza más el del casco. Ese elemento de
seguridad pesa, aproximadamente, 1400 gramos, mientras que la Federación
Internacional del Automóvil (FIA) prohíbe que el casco supere 1,8 kilo.
Y pese a la fragilidad, hasta hace siete años, en la F.1, el cuello era la zona con
menor protección. El cuerpo está ajustado con el cinturón de seguridad y la cabeza,
dentro del casco. Para el cuello, se desarrolló el sistema HANS (Head and Neck
Support, o soporte para la cabeza y el cuello). Es una suerte de cinturón de
seguridad que se ajusta al casco y así la cabeza no produce el denominado "efecto
látigo", que produce lesiones cervicales, que por lo general tiene derivaciones
mortales. Es obligatorio en la F.1 y en la Argentina, la primera categoría que lo usó
también de forma imperativa fue el TC 2000.
¿Cuánto es 1 G? Si se transita en un automóvil que pueda acelerar 35 km/h por
segundo, el cuerpo experimentará 1 G. Los coches de Fórmula 1 son capaces de
doblar a gran velocidad gracias a su desarrollo aerodinámico, que permite
mantener el auto sujeto contra el piso y mantener una gran aceleración.
En el automovilismo norteamericano, por ejemplo, que se practica
mayoritariamente sobre circuitos ovales (con peraltes), la Fuerza G es intensa y
permanente. A tal punto que, en algunos casos, afecta la visión, debido a que
afecta la irrigación sanguínea al cerebro. En algunos casos, el piloto ve una
suerte de "túnel", y hasta en algunos súper óvalos (Michigan o Fontana, por
ejemplo) puede hasta perder la visión en algunas fracciones de segundo.
Ese fenómeno es muy habitual para los pilotos de jets o de aviones de combate.
El traje que utilizan se conoce como "antigravedad", que justamente contrarresta
el movimiento de la sangre, afectado por la Fuerza G.
Los jóvenes pilotos que pasan de GP2 (categoría anterior a la F.1) a la máxima
categoría, sufren el máximo cansancio en el cuello. La potencia de los más de
700 HP repercute en esa zona del cuerpo.
Hoy en día hay elementos de entrenamiento que contemplan el fortalecimiento del
cuello en 8 movimientos. Pero hace más de una década las prácticas eran más
"caseras".
En 1997, tras un accidente que lesionó a Gianni Morbidelli, Norberto Fontana tuvo
la inesperada llegada a la máxima categoría, con el equipo Sauber. Aceleró el
entrenamiento para aquel GP de Francia. "Recuerdo que el cuello sentía
muchísimo la exigencia cuando probaba el F.1. Para entrenarme, colocaba un
elástico ajustado a un parante y del otro extremo colocaba la cabeza y me la
pasaba cabeceando para un lado y luego para el otro."
En la famosa curva "Parabólica", de Monza, Italia, a la que se llega a los 285 km/h,
la fuerza lateral puede alcanzar los 4 G, por lo que el cuello soporta, entre la
cabeza y el casco, un "peso" de 30 kilos, aproximadamente. Si esto se multiplica
por 53 (la cantidad de giros del GP de Italia), más las demás exigencias de la pista
en cada aceleración y frenaje, la conclusión es que el piloto debe estar en
excelentes condiciones físicas.
El sueño de Schumy y la Ferrari
El 31 de julio, Michael Schumacher se entrenó en el circuito de Mugello con la
Ferrari modelo 2007 (foto), ya que el reglamento prohíbe ensayar con los autos
actuales. Ayer tenía previsto volver a probar, pero el alemán anunció que no haría
efectivo su regreso a la Fórmula 1.
http://www.canchallena.com/1161468-el-cuello-entrenado-para-la-fuerza-g
Pilotos de la base Elmendorf con traje antigravedad.
Los trajes antigravedad, también llamado pantalones antigravedad o
antig, usados por los pilotos de las fuerzas aéreas consisten en un
sistema de cámaras hinchables que al aumentar la aceleración vertical
se inflan oprimiendo el cuerpo del piloto en las piernas y el abdomen y
evitando de esta forma que la sangre se desplace a esta parte del
cuerpo, manteniendo el riego en el cerebro.
El traje antigravedad es de gran utilidad para evitar la llamada
visión negra producida por ascensos o maniobras que hagan
descender la sangre a las piernas. No así contra la visión roja
producida por maniobras de sentido contrario
INGRAVIDEZ
El peso aparente de un cuerpo es igual a la fuerza necesaria para sostenerlo en equilibrio.
Ejemplos:
1) Un libro sobre una mesa: P = m.g. En este caso el peso aparente es igual al peso real.
2) Sin embargo, el peso aparente de un cuerpo no es siempre P = m.g. Veamos algunos casos:
• Supongamos ahora que el ascensor está acelerado; primero hacia abajo y después hacia arriba
con una aceleración de módulo a.
• Si un cuerpo está apoyado en el piso de un ascensor que está detenido o en movimiento
rectilíneo uniforme (para arriba o para abajo) entonces, el peso aparente sí es igual al peso real;
P = m.g.
Dentro del ascensor las leyes de Física que conocemos no valen, pues el sistema es no inercial.
Pero desde afuera del ascensor, desde la tierra, se pueden describir los fenómenos con las leyes
conocidas, como la Segunda Ley de Newton
Es decir, la tensión del resorte T, disminuye al estar acelerado el ascensor hacia abajo y el peso
aparente T, que podemos ver y leer en el indicador de la balanza, disminuirá. En el límite, en caída
libre si a = g en (1) será T = 0, es decir el cuerpo no tiene peso aparente.
Si suponemos ahora que el ascensor está acelerado hacia arriba:
el peso (T) aumenta.
PERALTE DE CURVAS
Sean dos tramos de vías de ferrocarril rectos empalmados con un tramo circular, de centro C,
como indica la figura.
Consideremos un eje de un vagón con sus ruedas en sus extremos, con sus respectivas pestañas.
En el tramo recto 1-1 el peso del eje es anulado por la
reacción de las ruedas, como se ve en la figura.
En el tramo curvo horizontal 2-2, las pestañas rozan
fuertemente las vías (para girar) produciéndose una fuerza
centrípeta y una fuerza centrífuga.
Como puede verse en la figura, componiendo Fc con P y Fn con N obtenemos respectivamente
la fuerza FT, fuerza total que se ejerce sobre los rieles (en realidad sobre cada riel FT /2), y la
reacción R, opuesta a la FT (en cada riel R/2).
El cuerpo del tren, el eje, por los rieles está obligado a girar, pero él trata de seguir con
movimiento rectilíneo y uniforme, produciéndose el peligro de un descarrilamiento.
Entonces, para conseguir que la fuerza total y que la reacción, que es opuesta y anula a la
fuerza total, sean perpendiculares a los rieles, se “peralta” la curva, construyendo un terraplén
como indica la figura.
tg  
Fn

Fn
P
N
m . . R
2
tg  
m .g
tg  
V
 .R
2

g

V
2
R .g
2
R .g
Entonces vemos que la tg φ es proporcional al cuadrado de la velocidad y es inversamente
proporcional al radio de la circunferencia.
En realidad los empalmes entre tramos rectos y de circunferencia se hacen con curvas de
transición para evitar la acción de una fuerza centrípeta brusca.
TRABAJO Y POTENCIA EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
Suponiendo siempre la fuerza tangente a la circunferencia (F) (o consideramos la
componente tangencial), el trabajo elemental es:
dW = F ds
pero: ds = r dθ
entonces: dW = F r dθ
pero, F. r es igual al momento de la fuerza F con respecto al centro o (m o )
Entonces:
dW  m o d 
Integrando y suponiendo el mo constante:
W  mo 
2
1
d   m o ( 2   1 )
Si F no es tangente:
dW = Ft ds
Luego, en el movimiento circular los ángulos en radianes equivalen a los espacios en los
movimientos rectilíneos; los momentos m o a las fuerzas y las velocidades angulares a las
velocidades lineales.
En sintesis:
Trabajo sobre un cuerpo que se traslada bajo la acción de una fuerza constante W = F s
Trabajo sobre un cuerpo que (rota) se desplaza con movimiento circular
W = mo θ
POTENCIA
Sabemos que: se conoce como potencia el trabajo realizado respecto al tiempo empleado:
Si en las rotaciones el trabajo elemental es dW = mo dθ
y lo relacionamos con el tiempo
Pot 
dW
dt
 mo .
d
dt
 m o .
Tendremos la expresión de la potencia en las rotaciones con una función del producto del
momento de la fuerza aplicado por la velocidad angular. Las unidades de medida y
equivalencias son las mismas que para el caso de potencia en las traslaciones.
ESTACIÓN ESPACIAL CON FORMA DE TORO
Es una construcción de forma tórica, donde en el
exterior existen rayos en cuyo centro se colocan el
reactor que producirá la energía para vivir en el interior
de la estación.
Con dos pequeños cohetes se hace girar el toro, en el
sentido, por ejemplo, de las flechas con ω = cte. Dentro
del toro imaginemos (ver figura) una habitación radial,
con un observador parado en la dirección del radio, con
la cabeza hacia el centro y los pies hacia fuera. Al girar,
la cabeza del observador describe una circunferencia.
Delante e su cabeza, imaginemos una piedra, que si el
observador la tiene con sus manos, describe también
una circunferencia.
Pero si la suelta, la piedra queda libre ya que sobre ella actúan la fuerza normal o centrípeta y la
fuerza centrífuga, que se anulan. Como en el caso anterior de la bomba centrífuga, al estar libre,
trata de salir tangente a la circunferencia en que se encontraba rotando. Pero como el observador
sigue también rotando, observa que la piedra está “cayendo” hacia sus pies. Para un observador
que está en el exterior, en cambio, la piedra describe un arco de espiral, alejándose
constantemente del centro. Pero lo importante es que para el hombre que está en la habitación
radial interior, la piedra fue o “cayó” hacia sus pies. Para él solo es “abajo”, es decir, hemos creado
gravedad, un campo gravitatorio, en el interior del toro.
Pensemos que “abajo” en la superficie de la tierra, es donde cae una piedra.
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