Entendiendo los obstáculos
en el razonamiento matemático
Wim Van Dooren
Center for Instructional Psychology and Technology
Universidad Católica de Lovaina, Bélgica
Understanding Obstacles
Quito 2014
Agradecimientos
Lieven Verschaffel, Dirk Janssens, Dirk De Bock, Fien
Depaepe, Xenia Vamvakoussi, Mirjam Ebersbach, An
Hessels, Ellen Gillard, Marleen Evers, Jo Van Hoof,
Stephanie Lem, Tinne Dewolf, Ana Acevedo Nistal, Lore
Saenen, …
Understanding Obstacles
Quito 2014
Del Menón, Diálogos de Platón
“Para dibujar un cuadrado que
duplique su área es necesario
duplicar sus lados.” (El esclavo)
Understanding
Understandingobstacles
Obstacles
Quito
Leuven
2014
2012
NCTM (1989)
“… la mayoría de los estudiantes entre 5º y 8º
grados cree errónamente que si los lados de una
figura se duplican para producir una figura
similar, el área y el volumen de la figura también
se duplicarán.”
Understandingobstacles
Obstacles
Understanding
Quito
2014
Leuven
2012
Geometría
x
“Si se agranda una figura k veces, el área y
volumen se agranda k veces también.”
El área se agranda k² veces
El volumen k³ veces
1
1
k
k2
Understandingobstacles
Obstacles
Understanding
k
k3
Quito
2014
Leuven
2012
Geometría
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner
hierba en un cuadrado de césped cuyos
lados miden 200m.
¿Cuántas bolsas de semilas de hierba
necesita aproximadamente para un cuadrado
de césped cuyos lados miden 600m?
UnderstandingObstacles
obstacles
Understanding
Leuven
Quito
20142012
Geometría
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner
hirba en un cuadrado de césped cuyos lados
miden 200 m.
¿Cuántas bolsas de semilas de hierba necesita
aproximadamente para un cuadrado de césped
cuyos lados miden 600 m?
Casi todos los niños de 12 años:
 200x3 = 600 m 8x3 = 24 bolsas
Más del 80% de los chicos de 16 años.
De Bock et al., 2002, 2003, 2007, Van Dooren et al., 2003, 2004
The
Understanding
Understanding
linear imperative
obstacles
Obstacles
Oxford
Quito
Leuven
2012
2014
2012
Geometría
Según estudios de seguimiento, no hay casi
ninguna acción para:
• enseñar a hacer dibujos.
• proveer dibujos de figuras pequeñas y
grandes.
• proveer dibujos en un papel cuadrado.
• alertar al comienzo de la prueba.
Understanding
Understanding
obstacles
Obstacles
Quito
Leuven
2014
2012
Problema de adición en palabras
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren
igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde.
Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas.
Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Proportional
5
3th
4th
5
30
 6
 3
Correct
 3
5th
15
correct
+ 10
6th
 6
30
+ 25
7th
90
proportional
8th
+ 10
15
40
+ 25
Probabilidad
Cardano (1501-1576)
Para un 50% de probabilidad de sacar un
“doble seis”, se necesita lanzar dos dados
por lo menos 18 veces.
Cf. Székely (1986)
Understanding
Understanding
obstacles
Obstacles
Quito
Leuven
2014
2012
Probabilidad
Cardano (1501-1576)
Para un 50% de probabilidad de sacar un
“doble seis”, se necesita lanzar dos dados
por lo menos 18 veces.
Un lanzamiento: 1/36 probabilidades para un
“doble seis”
18 x 1/36 = 18/36 = 50%
Cf. Székely (1986)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Probabilidad
La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5
lanzamientos de moneda es
mayor que / igual a / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500
lanzamientos de moneda.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)
Van Dooren et al. (2003)
Understanding
Understanding
obstacles
Obstacles
Quito
Leuven
2014
2012
Probabilidad
La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5
lanzamientos de moneda es
mayor que / igual a / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500
lanzamientos de moneda.
Más del 80% de chicos de 16 años.
La mayoría de adultos que ha recibido educación.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)
Van Dooren et al. (2003)
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Explicaciones?
Casos de razonamiento lineal / proporcional
K veces A, K veces B
 10
600
×8
80
×8
?
 aplicaciones de f(x) = ax
Understanding Obstacles
Quito 2014
Sobre utilización de la linealidad
La linealidad es una propiedad de las relaciones
tan sugestiva, que uno se rinde fácilmente a la
seducción de tratar cada relación numérica como
si fuese lineal.
(Freudenthal, 1983)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Sobre utilización de la linealidad
¡Aquí hay otra
pelota de hilo!
Understanding Obstacles
Doblemente
divertido
Quito 2014
¿Explicaciones?
MATEMÁTICAS
EDUCACIÓN
MENTE
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Explicaciones?
MATE
 carencia de conocimiento
matemático
EDUCACIÓN
MENTE
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
¿Cuánta
pintura se
necesita?
- Problemas de área:
Se necesitan
6 ml de
pintura
Altura:
56 cm
Altura:
168 cm
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
- Problemas de área: :
¿Cuánta
pintura?
Se necesitan
6ml de pintura
Altura:
56 cm
Altura:
168 cm
-“Las figuras irregulares no tienen área.”
-“El aumento es diferente para los cuadrados, etc.”
-“Este es un problema de pintura. Tiene que ver con mililitros,
es decir, con volumen.”
De Bock et al. 2002
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5
lanzamientos de moneda es
mayor que / igual que / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500
lanzamientos de moneda.
Existe dificultad para calcular probabilidades exactas.
Se requiere agudeza para la ley de los números
mayores.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)
Van Dooren et al. (2003)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
Probabilidad
- Relaciones matemáticas muy complejas
- Comprobación concreta difícil
- Razonamiento abstracto
Bien conocido por su aparición de errores, falsas ideas e
intuiciones
Historial de mucha gente haciendo errores, incluso
matemáticos.
(Shaughnessy, 1992; Tversky & Kahneman, 1972)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
•China: crecimiento económico del
14% anual
• Príncipe Filip: “Sus habitantes
han doblado sus ingresos en 7
años.”
(14 % x 7 = 98 %)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
• China: crecimiento económico del 14%
anual
• Príncipe Filip: “Sus habitantes han
doblado sus ingresos en 7 años.”
(14 % x 7 = 98 %)
•Suponga que el ingreso anual en el año
1 = 50.000 EUR
• 50.000 x 1.14n = 100.000 EUR
cuando n = 5.2935
Understanding Obstacles
Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
Pero NO se puede explicar
- por qué se cometen los errores LINEALES
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Explicaciones?
MATE
 carencia de conocimientos
matemáticos
 conceptos matemáticos en sí
mismos
EDUCACIÓN
MENTE
Understanding Obstacles
Quito 2014
La materia de Matemáticas
Probabilidad y proporciones
“A nivel muy básico intuitivo, los dos
esquemas comparten la misma raíz, es decir,
una intuición que llamamos intuición de
frecuencia relativa.”
Fischbein (1975)
Understanding Obstacles
Quito 2014
La materia de Matemáticas
Probabilidad y proporciones
2
!
5
Understanding Obstacles
4
10
Quito 2014
La materia de Matemáticas
La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras
en 5 lanzamientos de moneda es
mayor que / igual que / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300
caras en 500 lanzamientos de moneda.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)
Van Dooren et al. (2003)
Understanding Obstacles
Quito 2014
La materia de Matemáticas
Geometría
El área es un concepto de dos dimensiones
pero es tratado como un concepto
unidimensional.
Understanding Obstacles
Quito 2014
La materia de Matemáticas
x3
Geometría
x 3?
Understanding Obstacles
X3
Quito 2014
La materia de Matemáticas
Geometría  ¡Ampliación lineal!
“El principio que gobierna la ampliación (o
reducción) de las figuras geométricas es
altamente fundamental en matemáticas y
ciencia, por lo que merece nuestra mayor
atención, tanto desde el punto de vista
fenomenológico como didáctico.”
Freudenthal, 1983
Understanding Obstacles
Quito 2014
La materia de Matemáticas
Geometría  ¡Ampliación lineal!
“Las fórmulas para el perímetro y el área del
círculo, así como para el área y volumen de la
esfera son didácticamente y prácticamente
eclipsadas por el conocimiento de su
comportamiento en la ampliación y la
reducción, que se aplica en un gran campo
no cubierto por las fórmulas.”
Freudenthal, 1983
Understanding Obstacles
Quito 2014
PERO
Las deficiencias en el conocimiento
matemático y en la materia de Matemáticas
NO pueden explicar:
- por qué los estudiantes dan más soluciones
complejas a problemas simples.
- por qué el número de respuestas lineales aumenta
con la edad.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Problema de adición en palabras
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren
igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde.
Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas.
Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Proportional
5
3th
4th
5
30
 6
 3
Correct
 3
5th
15
correct
+ 10
6th
 6
30
+ 25
7th
90
proportional
8th
+ 10
15
40
+ 25
¿Explicaciones?
MATE
 carencia de conocimientos
matemáticos
 conceptos matemáticos en sí mismos
EDUCACIÓN mal enfoque didáctico
MENTE
Understanding Obstacles
Quito 2014
El rol de la educación
Inevitable
• Amplia atención al razonamiento proporcional
• Mayor enfoque en ciertos momentos
• Numerosas aplicaciones
Understanding Obstacles
Quito 2014
Problema de proporciones
4 cajas de lápices cuestan 8 euros. Nuestro profe quiere
comprar una caja para cada alumno. Tiene que comprar 24
cajas. ¿Cuánto tiene que pagar?
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Correct
3rd
4th
5th
6th
7th
correct other
8th
Problema de adición en palabras
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren
igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde.
Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas.
Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Proportional
5
3th
4th
5
30
 6
 3
Correct
 3
5th
15
correct
+ 10
6th
 6
30
+ 25
7th
90
proportional
8th
+ 10
15
40
+ 25
El rol de la educación
inevitable
• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Enseñar a discriminar
• 74 alumnos en 6º grado
• Convirtieron un ejercicio de resolución en un
ejercicio de clasificación
Grupo SC
Resolver
Clasificar
Grupo CS
Clasificar
Resolver
Van Dooren et al., 2011
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Por qué?
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Por qué?
Understanding Obstacles
Quito 2014
Enseñar a discriminar
• Ejercicio de resolución
Grupo SC
Resolver
Grupo CS
Resolver
 Clasificar primero ayuda a resolver después
Van Dooren et al., 2011
Understanding Obstacles
Quito 2014
Enseñar a discriminar
• Ejercicio de clasificación
Grupo SC
Grupo CS
Clasificar
Clasificar
 Resolver primero dificulta la clasificación
después.
Van Dooren et al., 2011
Understanding Obstacles
Quito 2014
El rol de la educación
Inevitable
• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.
• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso
• Formulación del valor faltante
Understanding Obstacles
Quito 2014
Geometría
Problema de valor faltante
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner
césped en un cuadrado de césped cuyos lados
miden 200m.
¿Cuántas bolsas de semilas de césped necesita
aproximadamente para un cuadrado de césped
cuyos lados miden 600m?
Understanding Obstacles
Quito 2014
Geometría
Problema de valor faltante
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hierba en un
cuadrado de césped cuyos lados miden 200 m.
¿Cuántas bolsas de semilas necesita aproximadamente para
un cuadrado de césped cuyos lados miden 600 m?
Problema de comparación
Carl puso hierba en un cuadrado de césped.
Mañana, él pondrá hierba en un cuadrado de césped cuyos
lados son tres veces más grandes.
¿Cuántas semillas de hierba más necesitará para hacer eso?
Understanding Obstacles
Quito 2014
Geometría
CONDICIÓN
Ítems
proporcionales
Ítems
proporcionales
Comparación
68%
41%
Valor a
encontrar
87%
23%
De Bock et al. 2002
Understanding Obstacles
Quito 2014
El rol de la educación
Inevitable
• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.
• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso
• Formulación del valor faltante
• Números en los problemas
Understanding Obstacles
Quito 2014
Manipulación de números:
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren
igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde.
Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15
vueltas.
Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido
Kim?
16
x2
32
x3
Integer version
48
?
Understanding Obstacles
Quito 2014
Manipulación de números
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren
igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde.
Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15
vueltas.
Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido
Kim?
16
x2.25
36
x1.5
24
?
Understanding Obstacles
Non-integer
version
Quito 2014
Resultados
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
General
4th
5th
6th
0
General
4th
5th
6th
integer version
version
THE LINEAR IMPERATIVE non-integer
Turku
2007
El rol de la educación
Inevitable
• “La “enseñanza en discriminación” nunca ocurre.
• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso
• Formulación de valor faltante
• Números en los problemas
Understanding Obstacles
Quito 2014
La consecuencia
Understanding Obstacles
Quito 2014
Η Έλεν και ο Kim τρέχουν γύρω από ένα
κομμάτι. Τρέχουν εξίσου γρήγορα, αλλά η
Ellen ξεκίνησε αργότερα.
Όταν η Έλεν έχει τρέξει 4 γύρους, ο Kim έχει τρέξει 8
γύρους.
Όταν η Έλεν έχει τρέξει 16 γύρους, πόσα έχει Κιμ τρέξει?
Understanding Obstacles
Quito 2014
Η Έλεν και ο Kim τρέχουν γύρω από ένα
κομμάτι. Τρέχουν εξίσου γρήγορα, αλλά η
Ellen ξεκίνησε αργότερα.
Όταν η Έλεν έχει τρέξει 4 γύρους, ο Kim έχει τρέξει 8
γύρους.
Όταν η Έλεν έχει τρέξει 16 γύρους, πόσα έχει Κιμ τρέξει?
 20% de alumnos de 5º grado y 39% de 6º responde
“32”
Understanding Obstacles
Quito 2014
PERO
La atención que se le da al tema de la
proporcionalidad en la educación NO puede
explicar:
- por qué la sobre utilización de la linealidad es
extremadamente persistente y resistente a la ayuda.
-por qué los errores ocurren mucho menos en la
vida real.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Understanding Obstacles
Quito 2014
Understanding Obstacles
Quito 2014
El problema del pescado de
Piaget
« Tres pescados de 5, 10 y 15 cm de largo.
Puesto que es necesario tener en cuenta solo
una dimensión (…), el pescado B comerá el
doble de lo que come el pescado A, y el
pescado C tres veces esa cantidad. »
APiaget, 1951
B
C
Understanding Obstacles
Quito 2014
Lave (1992)
“ El ejercicio de resolver problemas textuales y
problemas de contenidos textuales en la
escuela no es igual a los ‘mismos’ ejercicios o
contenidos implícitos en otros tipos de
ejercicios en otras partes de la vida.”
Understanding Obstacles
Quito 2014
Ejemplos
« Falta de sentido »
- Una tienda vende 312 tarjetas de Navidad en diciembre.
¿Cuántas venderá en enero, febrero y marzo?
- El mejor tiempo que John hace corriendo es de 100 m en
17 segundos. ¿Cuánto le tomará correr 1 km?
(Greer, 1993, Verschaffel et al., 1994, 2000)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Un problema constante
Mamá cuelga 3 toallas en el tendedero. Después de 12 hours
están secas. Los vecinos tienen 6 toallas en su tendedero.
¿Después de cuántas horas estarán secas?
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Proportional
3
2nd
3th
other
4th
12
3
6
2
 4
Correct
 4
5th
6
C te
6th
7th
24
correct  2 proportional
C te
8th
12
12
Van Dooren et al. 2005
y… otro problema constante
Un grupo de 5 músicos tocan una pieza de música en 10
minutos. Otro grupo de 35 músicos tocarán la misma pieza
de música. ¿Cuánto tiempo les tomará a este grupo tocarla?
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
3th
4th
5th
correct
6th
7th
proportional
8th
“1.4 minutes”
Van Dooren et al. 2005
Influencia del contexto
24
Problema típico
escolar
24
24
Traditional
Problema
típico
school
escolar
problem
+ dibujo
Tarea auténtica
+ drawing
Van Dooren et al., 2006
Understanding Obstacles
Quito 2014
Influencia del contexto
Necesité 4 baldosas para cubrir un piso cuadrado de
una casa de muñecas, cuyos lados miden 12 cm.
¿Cuántas baldosas necesité para cubrir otro piso
cuadrado de una casa de muñecas cuyos lados
miden 36 cm?
12 cm
Understanding Obstacles
36 cm Van Dooren et al., 2006
Quito 2014
Influencia del contexto
24
24
Problema
Problema
típico escolar
típico escolar
+ dibujo
24
Authentic
Tarea
task
Auténtica
Van Dooren et al., 2006
Understanding Obstacles
Quito 2014
Influencia del contexto
12 cm
36 cm
Understanding Obstacles
Van Dooren et al., 2006
Quito 2014
Influencia del contexto
24
Problema
típico escolar
24
24
Problema
típico escolar
Tarea
auténtica
+ dibujo
 21  prop
 8  prop
 2  prop
Van Dooren et al., 2006
Understanding Obstacles
Quito 2014
Influencia del contexto
Problema típico
+ dibujo
Más errores proporcionales
Tarea auténtica
Menos errores
proporcionales
Mucho tiempo para encontrar
la respuesta correcta
Respuesta correcta
encontrada rápidamente /
inmediatamente
Duda acerca de la respuesta
Firme convicción de la
correcta
respuesta correcta
Van Dooren et al., 2006
Understanding Obstacles
Quito 2014
Influencia del contexto
24
24
24
Problema
Problema
típico escolar
típico escolar
 21  prop
Tarea auténtica
+ dibujo
 8  prop
 2  prop
Test posterior
Understanding Obstacles
Quito 2014
Influencia del contexto
24
24
24
Problema
Problema
típico escolar
típico escolar
 21  prop
Test posterior
20  prop
Tarea auténtica
+ dibujo
 8  prop
22  prop
Understanding Obstacles
 2  prop
19  prop
Quito 2014
¿Explicaciones?
MATE
 carencia de conocimientos
matemáticos
 conceptos matemáticos en sí
mismos
EDUCACIÓN  mal enfoque didáctico
 contexto educativo
MENTE 
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Explicaciones?
MATE
 carencia de conocimientos
matemáticos
 conceptos matemáticos en sí
mismos
EDUCACIÓN  mal enfoque didáctico
 contexto educativo
MENTE  razonamiento “descuidado”
Understanding Obstacles
Quito 2014
La mente como explicación
• El razonamiento humano (también en mate) a
menudo es dirigido por la heurística / intuiciones.
• Inconsciente, casi automático, evidente en sí mismo
• A menudo correcto (= origen)
• Escondiendo errores profundamente arraigados
Work on intuitions by Fischbein (1987,1999)
Intuitive rules theory (e.g. Tirosh & Stavy, 2000)
Dual process theories of reasoning (Evans, 2003; Kahneman, 2002)
Understanding Obstacles
Quito 2014
La teoría del proceso dual
(Dual process theory - DPT)
Sistema 1 o ‘sistema heurístico’
Sistema 2 o ‘sistema analítico’
- Automático, inconsciente
- Conscientemente controlado
- Asociativo
- Deliberado
- Poca exigencia de esfuerzo /
demanda de la capacidad de
memoria de trabajo
- Total esfuerzo/ demanda de la
capacidad de memoria de
trabajo
- Rápido
- Utilización de tiempo
- Respuestas basadas en
similaridad con prototipos
almacenados
- Opera en representaciones
‘decontextualizadas’
S1
Understanding Obstacles
S2
Quito 2014
Ejercicio de selección de Wason
Si una carta tiene una E en un lado,
tiene un 5 en el otro lado.’
¿Cuáles cartas hay que voltear para determinar si esto es cierto o no?
E
C
5
Understanding Obstacles
2
Quito 2014
La teoría del proceso dual
• Conformidad S1-S2: S1 (rápido y poco exigente)
provee respuestas correctas.
• Conflicto S1-S2 : S1 y S2 inducen a diferentes
respuestas
 S2 necesita invalidar la respuesta S1
 Error al proveer la respuesta normativamente
correcta: omnipresencia de S1 y no intervención
de S2 (Stanovich & West, 2000)
Understanding Obstacles
Quito 2014
DPT y el sobre uso de la proporcionalidad
• El razonamiento proporcional se vuelve S1 heurístico
• Provocado por características contextuales
salientes
• Contexto / entorno: solución de problemas de palabras
• Tarea: problemas de valor faltante
• provee respuestas proporcionales de una
manera rápida, casi sin esfuerzo
• Predicciones
• Respuestas proporcionales que se dan de
manera más rápida
• Respuestas proporcionales que se dan más a
menudo bajo la memoria de trabajo limitada.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Estudio de tiempo de reacción
Correcto
Incorrecto
Problema de
adición en palabras
34 764 ms
21 456 ms
Problema de
proporcionalidad en
palabras
22 908 ms
(Gillard et al., 2009)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Carga de la memoria de trabajo
Understanding Obstacles
Quito 2014
Condición de carga
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los
dos corren igualmente rápido, pero Ellen
empezó más tarde.
Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha
corrido 15 vueltas.
Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas
ha corrido Kim?
Understanding Obstacles
Quito 2014
Condición de carga
Understanding Obstacles
Quito 2014
Condición de carga
Understanding Obstacles
Quito 2014
Condición de carga
Understanding Obstacles
Quito 2014
Condición de carga
Understanding Obstacles
Quito 2014
Condición de carga
Understanding Obstacles
Quito 2014
Estudio de la carga de la memoria de
trabajo
Control condition
100
% Yes answers
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Prop
Add
Answer
(Gillard et al., 2009)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Razonamiento intuitivo
¿No se supone que los estudiantes deben pensar
analíticamente en clases de Matemáticas?
• Un acercamiento superficial funcionará muy a menudo.
• Además de la exactitud, se valora la velocidad.
• Los estudiantes no suelen estar cognitivamente
comprometidos del todo con las tareas que deben realizar.
El proceso intuitivo es inherentemente adaptado.
 “racionalidad ecológica” (Todd & Gigerenzer, 2000)
Understanding Obstacles
Quito 2014
¿Explicaciones?
MATE
 carencia de conocimientos
matemáticos
 conceptos matemáticos en sí
mismos
EDUCACIÓN
 mal enfoque didáctico
 contexto educativo
MENTE
 razonamiento “descuidado”
 interferencia del conocimiento
previo
Understanding Obstacles
Quito 2014
Conexión con la teoría del cambio conceptual
La linealidad es experimentada desde muy temprana
edad
+ continuamente confirmada todos los días de la
vida
Aprendizaje en el aula: Ideas fortalecidas y enriquecidas
 Nuevos contextos y representaciones,
procedimientos
abreviados
 Panacea para una variedad de ejercicios
matemáticos
 « teoría marco » / presuposición atrincherada :
« las relaciones son proporcionales »
Understanding Obstacles
Quito 2014
Conexión con la teoría del cambio
conceptual
Stacey (1989)
“Los estudiantes están, desde muy temprana
edad, intuitivamente familiarizados con las
relaciones que se dan en proporción directa.”
Understanding Obstacles
Quito 2014
Conexión con la teoría del cambio
conceptual
 Uso de la linealidad insconsciente y obvia
De Bock et al. (2002)
- Método elegido de manera muy rápida
- Convicción MUY fuerte (incluso en
equivocaciones)
- Incapaz de justificar, explicar.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Conexión con la teoría del cambio
conceptual
 Cuando nueva (incompatible) información se
encuentra con conocimientos previos
• Los alumnos pueden asimilarla con estructuras
conceptuales existentes
• El viejo conocimiento continuará teniendo influencia,
incluso en adultos instruidos.
 Lo que fue aprendido anteriormente puede estar en la
vía del conocimiento adquirido que vendrá.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Conexión con la teoría del cambio
conceptual
 Analogía al concepto de número
• La comprensión temprana del número como “número de
conteo”
• el número sigue una línea de manera individual
• cada número tiene un sucesor
• entre más dígitos, mayor es el número
• la multiplicación lo hace mayor
• El concepto que se adquiere del número racional
•La línea de números es densa
• La noción de la sucesión no tiene sentido
• 0.25698 < 0.3
(Vamvakoussi et al, 2004)
• la multiplicación puede reducirlo
Understanding Obstacles
Quito 2014
Understanding Obstacles
Quito 2014
Conclusiones
• La interpretación a primera vista es muy poco
suficiente.
• Entre más profundo se busca, más explicaciones saltan
a la superficie.
• Pero buscar explicaciones también está cambiando el
fenómeno.
Los errores lineales como un microcosmos para
investigar el pensamiento y el aprendizaje matemático.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Lecciones de investigación aprendidas (1)
• Tomar el concepto matemático elegido para la
investigación de manera seria.
•Algunos conceptos matemáticos pueden parecer
lógicos para un experto, pero no para los
estudiantes.
•Tomar en cuenta el conocimiento previo (a veces
obstructivo) de los estudiantes.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Lecciones de investigación aprendidas (2)
• Tomar en cuenta cuántos estudiantes fueron
capacitados
• (y cuidarse a veces de efectos muy sutiles de la
formulación de problemas y su contexto)
• El pensamiento y la resolución de problemas se
dan en un contexto sociocultural con reglas,
expectativas …
(¡Esto también aplica para la recolección de
datos!)
Understanding Obstacles
Quito 2014
Lecciones de investigación aprendidas (3)
• Tener en cuenta que no somos muy buenos
en el racionamiento analítico.
• y que los estudiantes no lo harán siempre
bien cuando usted espera que lo hagan.
Understanding Obstacles
Quito 2014
Lecciones de investigación aprendidas (4)
Entonces, como investigadores en educación de las
matemáticas, debemos ser:
• Matemáticos
• Psicólogos cognitivos y del desarrollo
• Maestros
•…
Para evitar que
termine en
Understanding Obstacles
Quito 2014
¡Gracias!
[email protected]
Pueden encontrar mis artículos en:
https://lirias.kuleuven.be/cv?u=U0034796
Understanding Obstacles
Quito 2014
Understanding Obstacles
Quito 2014
Descargar

Understanding Obstacles Quito 2014