ERROR ESTÁNDAR CONSISTENTE BAJO HETEROSCEDASTICIDAD
n
b
OLS
2
 2 
au
i
i
i 1
donde
ai 
(Xi  X )
n

(Xi  X )
2
i 1
La heteroscedasticidad causa que los errores estándar OLS estén sesgados en muestras
finitas. Sin embargo, se puede demostrar que después de todo son consistentes, siempre
que sus variaciones se distribuyan independientemente de los regresores.
1
n
b
OLS
2
 2 
au
i
i
i 1
ai 
donde
(Xi  X )
n

(Xi  X )
2
i 1
n
b
2
OLS
2


i 1
a i E u i  
2
2
n

i 1
a i  ui
2
2
Incluso si este no es el caso, todavía es posible obtener estimadores consistentes. Hemos
visto que el coeficiente de la pendiente en un OLS de regresión simple puede ser
descompuesto como se muestra arriba.
2
n
b
OLS
2
 2 
au
i
i
i 1
ai 
donde
(Xi  X )
n

(Xi  X )
2
i 1
n
b
2
OLS
2


i 1
a i E u i  
2
2
n

i 1
a i  ui
2
2
También hemos visto que la varianza del estimador está dada por la expresión de arriba si
ui está distribuida independientemente de uj para j  i.
3
n
b
 2 
OLS
2
au
i
i
i 1
ai 
donde
(Xi  X )
n

(Xi  X )
2
i 1
n
b
2
OLS
2


a i E u i  
2
2
i 1
n

i 1
a i  ui
2
2
n
s b OLS 
2
2

2
2
ai ei
i 1
White (1980) demuestra que un coeficiente consistente de  b
se obtiene si el cuadrado
2
del residual en observación i es utilizado como estimador de  u . Tomando la raíz
cuadrada, uno obtiene un error estandar consistente bajo heteroscedasticidad
2
OLS
2
i
4
 b OLS
2
2
n
b
 2 
OLS
2
au
i
i
i 1
ai 
donde
(Xi  X )
n

(Xi  X )
2
i 1
n
b
2
OLS
2


a i E u i  
2
2
i 1
n

i 1
a i  ui
2
2
n
s b OLS 
2
2

2
2
ai ei
i 1
Por consiguiente, en una situación donde se sospeche de heteroscedasticidad, pero no
exista la suficiente información para identificar su naturaleza, es posible superar el
problema de errores estándar sesgados, por lo menos en muestras grandes, y las pruebas t
y pruebas F son asintóticamente válidas.
5
 b OLS
2
2
n
b
 2 
OLS
2
au
i
i
i 1
ai 
donde
(Xi  X )
n

(Xi  X )
2
i 1
n
b
2
OLS
2


a i E u i  
2
2
i 1
n

i 1
a i  ui
2
2
n
s b OLS 
2
2

2
2
ai ei
i 1
Sin embargo, debemos mantener dos puntos en mente. El primero es que, a pesar el
estimador de White es consistente, tal vez no podrá desempeñarse bien en muestras
finitas. (MacKinnon and White, 1985). La otra es que los estimadores OLS siguen siendo
ineficientes.
6
 b OLS
2
2
. reg manu gdp
Source |
SS
df
MS
Number of obs =
28
-------------+-----------------------------F( 1,
26) = 210.73
Model | 1.1600e+11
1 1.1600e+11
Prob > F
= 0.0000
Residual | 1.4312e+10
26
550462775
R-squared
= 0.8902
-------------+-----------------------------Adj R-squared = 0.8859
Total | 1.3031e+11
27 4.8264e+09
Root MSE
=
23462
-----------------------------------------------------------------------------manu |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------gdp |
.193693
.0133428
14.52
0.000
.1662665
.2211195
_cons |
603.9453
5699.677
0.11
0.916
-11111.91
12319.8
. reg manu gdp, robust
Regression with robust standard errors
Number of obs =
28
F( 1,
26) = 116.39
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.8902
Root MSE
=
23462
-----------------------------------------------------------------------------|
Robust
manu |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------gdp |
.193693
.0179542
10.79
0.000
.1567877
.2305983
_cons |
603.9453
3542.388
0.17
0.866
-6677.538
7885.429
Para ilustrar el uso del error estándar consistente bajo heteroscedasticidad, la regresión de
MANU respecto a GDP en la secuencia previa se repite con la opción ‘robust’ disponible en
Stata.
7
 b OLS
2
2
. reg manu gdp
Source |
SS
df
MS
Number of obs =
28
-------------+-----------------------------F( 1,
26) = 210.73
Model | 1.1600e+11
1 1.1600e+11
Prob > F
= 0.0000
Residual | 1.4312e+10
26
550462775
R-squared
= 0.8902
-------------+-----------------------------Adj R-squared = 0.8859
Total | 1.3031e+11
27 4.8264e+09
Root MSE
=
23462
-----------------------------------------------------------------------------manu |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------gdp |
.193693
.0133428
14.52
0.000
.1662665
.2211195
_cons |
603.9453
5699.677
0.11
0.916
-11111.91
12319.8
. reg manu gdp, robust
Regression with robust standard errors
Number of obs =
28
F( 1,
26) = 116.39
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.8902
Root MSE
=
23462
-----------------------------------------------------------------------------|
Robust
manu |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------gdp |
.193693
.0179542
10.79
0.000
.1567877
.2305983
_cons |
603.9453
3542.388
0.17
0.866
-6677.538
7885.429
Los coeficientes estimados son exactamente los mismos. Estos no se ven afectados por el
procedimiento, y por lo tanto su ineficiencia no se resuelve.
8
 b OLS
2
2
. reg manu gdp
Source |
SS
df
MS
Number of obs =
28
-------------+-----------------------------F( 1,
26) = 210.73
Model | 1.1600e+11
1 1.1600e+11
Prob > F
= 0.0000
Residual | 1.4312e+10
26
550462775
R-squared
= 0.8902
-------------+-----------------------------Adj R-squared = 0.8859
Total | 1.3031e+11
27 4.8264e+09
Root MSE
=
23462
-----------------------------------------------------------------------------manu |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------gdp |
.193693
.0133428
14.52
0.000
.1662665
.2211195
_cons |
603.9453
5699.677
0.11
0.916
-11111.91
12319.8
. reg manu gdp, robust
Regression with robust standard errors
Number of obs =
28
F( 1,
26) = 116.39
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.8902
Root MSE
=
23462
-----------------------------------------------------------------------------|
Robust
manu |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------gdp |
.193693
.0179542
10.79
0.000
.1567877
.2305983
_cons |
603.9453
3542.388
0.17
0.866
-6677.538
7885.429
Sin embargo, el error estándar del ceoficiente del PIB aumenta de 0.13 a 0.18, lo que indica
que está subestimado en la regresión OLS original.
9
Copyright Christopher Dougherty 2000–2006. This slideshow may be freely copied for
personal use. Traducido por Diego Forcada Gallardo.
27.06.06
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