Generación de Radiación Ionizante
1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender como son emitidos rayos gammas
o partículas cargadas con equipamiento
empleado en radioterapia.
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Elementos
Generación de
electrones
(Filamento)
Emitir Rayos
Gamma o
Partículas
Aceleración
adicional
Generación de
Rayos Gamma
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Emisión de electrones
De la primera parte concluimos que a temperatura T los electrones que
“evaporaríamos” están dados por la ecuación de Richardson-Dushman:
A
T
γ
ϕ
k
Constante [C/m2K2s]
Temperatura absoluta [K]
Reflexión [-]
Función de trabajo [J]
Constante de Boltzmann
Ahora debemos acelerarlos para alejarlos del cátodo y dirigirlos a donde deseemos.
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Elementos
Generación de
electrones
(Filamento)
Emitir Rayos
Gamma o
Partículas
Aceleración
adicional
Generación de
Rayos Gamma
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Aceleradores
Las placas ”básicas”
- Movimiento de una Carga -
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Aceleradores básicos
Principio básico:
Campo eléctrico
Ánodo (positivo)
Cátodo (negativo)
Carga eléctrica
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Aceleradores básicos
z
z
t
m
q
Ez
Posición de la partícula [m]
Tiempo [s]
Masa de la partícula [kg]
Carga de la partícula [C]
Campo eléctrico [N/C]
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Aceleradores básicos
d
-
V
+
Ez
V
d
Campo eléctrico [N/C]
Potencial aplicado [V]
Distancia entre placas [m]
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Aceleradores básicos
Si queremos impartir mayor energía debemos aumentar el potencial.
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Aceleradores
Las placas ”básicas”
- Movimiento de una Distribución de Cargas -
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Aceleración entre placas
Aceleración entre dos placas
ánodo
cátodo
De las ecuaciones de Maxwell y definición de potencial:
EZ
V
z
d
e
n
ε0
Campo eléctrico [F/C]
Potencial [V]
Posición en el campo [m]
Distancia entre las placas
Carga del electrón [C]
Concentración de electrones [1/m3]
Constante de campo [C2/Nm2]
(8.85x10-12 C2/Nm2)
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Calculo de la concentración de electrones
Por conservación de energía tenemos
Por continuidad tenemos una corriente
m
j
u(z)
u0
n0
Masa del electrón [kg]
Densidad de Corriente [A/m2]
Velocidad en el punto z [m/s]
Velocidad inicial [m/s]
Concentración inicial [1/m3]
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Ley de Child-Langmuir
Con lo que se obtiene (nota j < 0 por la carga de los electrones):
Solucionando se obtiene:
Para el caso de dos placas con diferencia de potencial V y distancia d y despejando
j se obtiene la ley de Child-Langmuir:
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Ley de Child-Langmuir
De esta forma:
1
25
0.9
0.8
20
0.7
0.6
15
0.5
0.4
y en particular:
10
0.3
0.2
5
0.1
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Limites
El incremento de la corriente en el tubo se incrementa en función del
potencial según Child-Langmuir.
1.5
2.5
80kV
T1
No saturado
40kV
T2
Corriente en tubo (A)
Corriente en tubo (A)
2.0
1.0
0.5
20kV
T3
1.5
1.0
Saturado
0.5
0.0
2
3
4
5
6
7
Corriente en filamento (A)
8
9
10
0.0
0
20
40
60
80
100
Voltaje Ánodo (kV)
El nivel de saturación se alcanza cuando no se logran “evaporar” mas electrones
de los que están dados por la ecuación de Richardson-Dushman
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Limitaciones
La segunda limitación esta dada por el peligro de fundir el filamento.
La temperatura del filamento se determina en función que la energía irradiada sean
igual a aquella generada por la resistencia eléctrica:
σ
ε
S
T
T0
I
R(T)
Constante de Stefan Boltzmann [5.6704x10-8 J/sm2K4]
Grado de emisión [-]
Superficie del filamento [m2]
Temperatura del filamento [K]
Temperatura ambiental [K]
Corriente [A]
Resistencia en función de la temperatura [Ohm]
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Limitaciones
La densidad de resistencia puede ser modelada, por ejemplo para el
Tungsteno, en función de la temperatura mediante:
Su temperatura de fusión es de 3695 K.
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Modelo de Filamento
Modelamiento del sistema filamento-placas
(p: placa, f: filamento, a: ánodo)
Caso Tungsteno:
S
A
L
σ
ε
Superficie del filamento [m2]
Sección del filamento [m2]
Largo del Filamento [m]
Constante de Stefan Boltzmann
[5.6704x10-8 J/sm2K4]
Grado de emisión [-]
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Aceleradores
El Betatrón
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Betatrón
Vista superior
Vista lateral
Imanes de control
Ánodo
Filamento
Imanes base
Orbita de almacenamiento
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Betatrón
La variación del campo magnético índice un potencial:
Uind
R
B
t
Potencial inducido [V]
Radio de la orbita [m]
Campo magnético [Tesla=Vs/m2]
Tiempo [s]
lo que genera un campo:
Uind
R
Ez
Potencial inducido [V]
Radio de la orbita [m]
Campo eléctrico [V/m]
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Betatrón
lo que genera una fuerza sobre los electrones
con lo que
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Betatrón
Para mantener el electrón en la orbita debe de existir un campo magnético B0 tal que
De ambas ecuaciones del impulso
Se obtiene la condición de Wideroe:
Que se satisface diseñando el imán de modo de lograr los respectivos campos
en las distintas orbitas.
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Betatrón
Como la velocidad es cercana a la de la luz la energía cinética es:
y el impulso:
con lo que se obtiene
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Betatrón
y la energía es
o para altas velocidades (υ ~ c)
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Aceleradores
El Ciclotrón
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Ciclotrón
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Ciclotrón
Vista de arriba
Vista lateral
Campo magnético
permanente
Campo eléctrico
alternante
SINCRONIZADO
con el haz.
“Inyección de iones”
“Salida de iones”
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Ciclotrón
Velocidad angula
independiente del radio
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Fuentes
Radiación
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Radiación
Decaimiento de Cobalto
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Radiación
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Radiación
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Accesorios
Klistrón
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Klistrón
Bunch de
electrones
Flujo eléctrico
Flujo eléctrico
Rejilla 1
Rejilla 2 Rejilla 1
Rejilla 2 Rejilla 1
Rejilla 2
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Klistrón
Cañón de
electrones
Cavidad de
entrada
Cavidad de
salida
z
“Catcher”
“Buncher”
V0
V1
f(z)
ω
V1sin(ωt)
Señal
d
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Klistrón
Si la masa es m, la velocidad inicial u0, la carga del electrón e y el potencial
del canon de electrones V0 la energía inicial será:
La energía tras cruzar el “buncher” que esta a un potencial V1 y oscila con la
frecuencia angular ω será:
en donde u es la velocidad en este punto y M el factor de acoplamiento.
La velocidad es entonces:
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Klistrón
Si al tiempo t1 esta en el buncher, llegara al catcher a una distancia l en
el tiempo:
o como fase:
con
el llamado Bunching parameter
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Klistrón
Para calcular el M debemos asumir la forma de la perturbación en el buncher:
con Em el valor máximo y f(z) una función de forma. El potencia V1 seria entonces:
ósea
La ecuación de movimiento del electrón será:
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Klistrón
Si se integra la ecuación en z desde 0 a la distancia del canal d:
como la primera integral se puede integrar de la forma:
y el camino recorrido es
con lo cual
siendo
factor de propagación del haz
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Klistrón
pero dado que
Se concluye que
(omitiendo el factor sin)
Para un campo constante y simétrico en torno al eje del haz el M se reduce a:
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Klistrón
El factor
se denomina el ángulo de transito y representa el cambio de fase de la onda durante
el paso de la partícula.
La energía del electrón varié en
Con lo que
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Fuentes
Magnetron
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Magnetrón
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3.2 Corrientes en aire y mar