PPTCEG022EM31-A15V1
EM-31
Orden y aproximación en los
irracionales
Síntesis de la clase anterior
Logaritmos
logb a  n  b  a
n
Propiedades
a) Logaritmo de la base:
loga a  1  a1  a
d) Logaritmo del cuociente:
b) Logaritmo de la unidad:
e) Logaritmo de una potencia:
“n es logaritmo de a en base b”
con a > 0, b > 0 y b ≠ 1
loga 1  0  a0  1
loga (b:c) = loga (b) – loga (c)
loga (bn) = n · loga (b)
Logaritmo decimal
log10 a  loga
log a  n  10n  a
c) Logaritmo del producto:
loga (b·c) = loga (b)+ loga (c)
f) Logaritmo de una raíz:
loga n bm 
m
 loga b 
n
 
g) Cambio de base: loga b   logc b
logc a 
Aprendizajes esperados
•
Comprender los números irracionales como un conjunto numérico que
permite resolver problemas sin solución en los números racionales.
•
Ubicar números reales (racionales e irracionales) en la recta numérica,
ordenándolos correspondientemente.
•
Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso
y por redondeo.
Pregunta oficial PSU
14. Sean p, q y r números mayores que 1. Si log5 p  log4 q  log3 2r ,
entonces se cumple que
A) p > q > r
B) r > p > q
C) r > q > p
D) q > p > r
E) p > r > q
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
1. Números irracionales
2. Operatoria
3. Orden de raíces
4. Orden de logaritmos
5. Aproximaciones
1. Números Irracionales: Q*
Definición
Los números irracionales son aquellos números que no se pueden
escribir como fracción, ya que poseen infinitos decimales sin un patrón
definido, no tienen período.
Ejemplos:
2  1,414213562373095048801688724...
3
5  1,7099759466766969893531088725...
π  3,1415926535897932384626433832795...
e  2,718281828459045235360287...
  1,61803398...
log 7  0,84509804
0014256830
71221...
1. Números Irracionales: Q*
Definición
Al unir el conjunto de los números irracionales (Q*), con el conjunto de
los racionales (Q), se forma el conjunto de los Reales (R).
Q
0
1
5
- 10
0, 4
0,567
1
3
Q*
1,35
π
IR
2
3
5
e
3
1. Números Irracionales: Q*
Aplicación:
¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa un irracional?
A) 3 2
B) -p
C) 5 3
D) 2 3  3
E) 23 3  3 9
1. Números Irracionales: Q*
Resolución:
A)
3
2
es irracional.
B) -p
es irracional.
C) 5 3
es irracional.
D) 2 3  3 es irracional.
E) 23 3  3 9  23 27  2  3  6 Por lo tanto, es racional.
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
1. Números Irracionales: Q*
Representación en la recta numérica
Los números irracionales son números reales y por lo tanto, podemos
ubicarlos en la recta numérica.
¿Cómo podríamos ubicar 2 en la recta numérica ?
Las raíces cuadradas exactas nos ayudan a determinar el resultado
aproximado de las que son números irracionales.
1 2  4
En este caso,
1
2  2
Al menos, podremos decir que 2 se encuentra entre 1 y 2.
IR
0
1 2
2
1. Números Irracionales: Q*
Representación en la recta numérica
A través de Pitágoras podríamos ubicar 2 de manera más exacta…
…y con la ayuda de un compas
12  12  2
2
1
IR
0
1
2 2
1. Números Irracionales: Q*
Representación en la recta numérica
¿Cómo ubicarías 5 en la recta numérica ?
Las raíces cuadradas exactas, cercanas a 5, son 4 y 9. Entonces:
4 5 9
2 
5  3
5
0
1
2
IR
3
1. Números Irracionales: Q*
Representación en la recta numérica
Además, se cumple que: 12  22  5
5
1
5
0
1
2
¿Podrías ubicar 10 en la recta numérica ?
¿Entre qué valores enteros estará 7 ?
IR
3
2. Operatoria
Operatoria entre un racional y un irracional
Suma y resta: Al sumar y/o restar un irracional con un racional siempre
resulta un número irracional.
Ejemplo 1:
2 es irracional, entonces
Si
2  3 también lo es.
2  1,414213562373095048801688724...
 2  3  4,414213562373095048801688724...


2
Ejemplo 2: La expresión  3  3 es un irracional negativo.
Se sabe que un número al cuadrado siempre es
2
positivo, por lo que  3  3 es negativo.


Al aplicar el desarrollo de un cuadrado de binomio se
tiene
2
 3  3   9  6 3  3   12  6 3



 

2. Operatoria
Operatoria entre un racional y un irracional
Multiplicación y división: El producto y el cuociente entre un irracional y
un racional siempre resulta un irracional (si el racional es distinto de
cero).
Ejemplos:
3 5
es irracional.
3
2
es irracional.
2 6
3
es irracional.
2. Operatoria
Operatoria entre irracionales
Suma y resta: La suma y resta entre irracionales NO siempre resulta un
número irracional.
Ejemplos:
3 2  2  4 2 es irracional.
 5 3  5 3  0 es racional.
Multiplicación y división: La multiplicación y división entre irracionales
NO siempre resulta un irracional.
Ejemplos: 3 2  8  3 16  3  4  12 es racional.
2 2  3  2 6 es irracional.
5 3 5

2
2 3
es racional.
3. Orden de raíces
Caso 1: Si tienen igual índice.
Si 0 < a < b, entonces:
n
a n b
(n: natural y n ≠ 1)
Ejemplo 1: 3  5
Si a < b < 0 , entonces, para que se cumpla
natural impar y n ≠ 1.
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Porque
3
n
-3  3 -2
7 2 3 3 5
7  12  45
¿Por qué?
a  n b, n debe ser
3. Orden de raíces
¿Cómo compararías los números
3, 2 2 y
5
?
2
8 2 2
Los dos primeros valores, 3 y 8 son raíces cuadradas y 3  8 .
5
Pero como
no lo es, podemos elevar los tres números al cuadrado
2
y comparar.
5
3
8
/( )2
2
3
8
25
4
3
8
6,25
Luego, el orden sería: 3  6,25  8  3 
5
2 2
2
3. Orden de raíces
Aplicación:
El orden creciente de a  15, b  3 2 y c  4 es
A) a < c < b
B) b < a < c
C) a < b < c
D) c < a < b
E) b < c < a
3. Orden de raíces
Resolución:
Si a  15, b  3 2 y c  4 entonces a  15, b  18 y c  16
Luego, el orden sería:
15 
16  18
a c b
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
3. Orden de raíces
Caso 2: Si tienen igual cantidad subradical.
Si a > 0 y m < n, entonces:
a ma
n
Ejemplo:
4
(n y m: naturales, distintos de 1).
1.414213562373095…
16  16
3
2 2
5
1.2599210498948732…
2<4
Si a < 0 y m < n, entonces,
impares distintos de 1.
Ejemplo:
n
-8  3 -8
-1.5157165665103981…
27  3 27
1.9331820449317628…
a  m a cuando n y m son naturales
-1.4309690811052555…
-2
5
3
7
-6  5 -6
-1.2917083420907466…
3. Orden de raíces
Caso 3: Si tienen distinto índice y distinta cantidad subradical.
Para comparar raíces bajo estas condiciones, es recomendable elevar
ambas raíces a una misma potencia que sea múltiplo común de los índices
(de preferencia el mcm), y luego se compara.
Ejemplo: Comparar
3
5 con 8
1° Los índices son: 3 y 2 respectivamente, y el mcm entre ellos es 6.
25
512
2° Elevaremos ambas raíces a 6.
 5
3
3° Comparamos:
6
 8
6
 52
25  512

3
 83
5 8
4. Orden de Logaritmos
Caso 1: Si tienen igual base.
Si 0 < a < b, entonces: logna  lognb
(n mayor que 1)
Ejemplos:
log10  log100
1 2
log2 8  log216
34
Caso 2: Si tienen igual argumento.
Si a > 0 y m < n, entonces: logna  logma
Ejemplos:
log416  log216
24
log25 625  log5 625
24
(n y m mayores que 1)
4. Orden de Logaritmos
Caso 3: Si tienen distinta base y distinto argumento.
logna y logmb
(a ≠ b, m ≠ n).
Cuando las bases de los logaritmos son potencia de un número
común, se puede realizar “cambio de base”, y luego comparar
utilizando los criterios de los casos 1 y 2 ya vistos.
Ejemplo:
log2 3 y log8 27
1° Las bases son: 2 y 8 respectivamente, ambas potencias de 2.
2° Realizaremos un cambio de base en el segundo logaritmo.
(Lo expresaremos con base 2).
log8 27 
1
log2 27
log2 27
  log2 27  log2 3 27  log2 3

3
3
log2 8
3° Al comparar, los logaritmos resultaron ser iguales.
5. Aproximaciones
Si se conoce una aproximación para un valor irracional, ésta permitirá
aproximar otras expresiones numéricas que lo involucren.
Ejemplo 1:
Si
3 es aproximadamente 1,732, entonces 0,27 es aproximadamente:
93
27

0,27 
10
100
3 3

10

3 1,732
10

5,196
 0,5196
10
Por lo tanto, 0,27 es aproximadamente 0,5196.
¿y si se pide una aproximación por redondeo a la centésima?
0,27  0,52
5. Aproximaciones
Ejemplo 2:
Si log2 5 redondeado a la milésima es aproximadamente 2,322, entonces
log2 125 es aproximadamente
3
3
log2 125  log2 53  log2 5   2,322  3,483
2
2
Por lo tanto, log2 125 es aproximadamente 3,483.
5. Aproximaciones
Aplicaciones:
1. Si
7 es aproximadamente 2,6457, entonces
décima es
A)
0,6
B)
0,7
C)
0,8
D)
7,0
E)
7,9
0,63 redondeado a la
5. Aproximaciones
Resolución:
0,63 
Como
63
97 3 7


100
100
10
7 es aproximadamente 2,6457, entonces:
3 7 3  2,6457 7,9371


 0,79371
10
10
10
Por lo tanto,
0,63  0,79371
redondeado a la décima es 0,8.
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
5. Aproximaciones
Aplicaciones:
2. Si log3 6 redondeado a la milésima es aproximadamente 1,631, entonces
log3 324 aproximado por redondeo a la centésima es
A)
2,63
B)
3,26
C)
3,27
D)
5,23
E)
5,26
5. Aproximaciones
Resolución:
log3 324  log3 9  36   log3 9  log3 36  log3 (32 )  log3 (6)2  2  2  log3 6
Como log3 6 es aproximadamente 1,631, entonces:
2  2  log3 6  2  2  1,631  2  3,262  5,262
Por lo tanto, log3 324  5,262
redondeado a la centésima es 5,26.
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
Pregunta oficial PSU
14. Sean p, q y r números mayores que 1. Si log5 p  log4 q  log3 2r ,
entonces se cumple que
A) p > q > r
B) r > p > q
C) r > q > p
D) q > p > r
E) p > r > q
ALTERNATIVA
CORRECTA
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
A
Pregunta oficial PSU
Resolución:
Como log 5 p 
1
 log 5 p, entonces log5 p  log5 p.
2
Por otra parte, log3 2r  log3 r, ya que las bases son iguales y r >1.
Luego, log5 p  log5 p  log4 q  log3 2r   log3r
Pero, como p y r son mayores que 1 se cumple que:
log4 p  log5 p y log3 r  log4 r
ya que a menor base, mayor es el valor del logaritmo. Entonces:
log4 p  log5 p  log5 p  log4 q  log3 2r  log3r  log4r
log4 p  log4 q  log4r
Como los logaritmos son de igual base, se tiene que p > q > r.
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
D
Números irracionales
ASE
2
D
Números irracionales
Comprensión
3
D
Números irracionales
ASE
4
D
Números irracionales
ASE
5
C
Números irracionales
Comprensión
6
A
Números irracionales
ASE
7
C
Números irracionales
ASE
8
A
Números irracionales
ASE
9
A
Números irracionales
ASE
10
C
Números irracionales
ASE
11
B
Números irracionales
ASE
12
D
Números irracionales
ASE
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
B
Números irracionales
ASE
14
D
Números irracionales
Aplicación
15
A
Números irracionales
Aplicación
16
E
Números irracionales
Aplicación
17
B
Números irracionales
Aplicación
18
A
Números irracionales
Aplicación
19
B
Números irracionales
Aplicación
20
B
Números irracionales
Aplicación
21
B
Números irracionales
Aplicación
22
E
Números irracionales
ASE
23
E
Números irracionales
Aplicación
24
E
Números irracionales
ASE
25
C
Números irracionales
ASE
Síntesis de la clase
Irracionales Q*
Números que no se pueden
escribir como fracción, poseen
infinitos decimales sin un patrón
definido, no tienen período.
Ejemplos: π , 3 5 , 2 ,...
Orden
Operatoria
Suma y resta
De raíces
De logaritmos
irracional ± racional = irracional.
Caso
1: igual índice
.
Si 0 < a < b, entonces:
n
a n b
Caso
1: igual base
.
Si 0 < a < b, entonces:
La suma y resta entre irracionales No
siempre resulta irracional.
(n: natural y n ≠ 1)
logna  lognb
.
Caso
2: igual cantidad subradical.
Si a >0 y m < n, entonces: n a  m a
Caso
2: igual argumento
.
Si a > 0 y m < n, entonces:
(n >1)
(n y n: naturales, distintos de 1)
logna  logma
Caso
3: distinto índice y distinta
.
cantidad subradical.n a  m b
Caso
3: distinta base y distinto
.
argumento: log a  log b
Recomendación: elevar ambas raíces a una
misma potencia (mcm)
.
(n > 1 y m >1)
n
Multiplicación y división:
irracional ∙ racional = irracional.
irracional : racional = irracional.
(si el racional es distinto de cero)
m
Recomendación: cambio de base.
La multiplicación y división entre
irracionales NO siempre resulta un
irracional.
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, revisaremos
Ensayo MT-024
Equipo Editorial
Matemática
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