REFERENCIAS
• “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert
http://hypertextbook.com/chaos/
• “Writing the History of Dynamical Systems
and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico
Historia Mathematica 29 (2002), 273-339
¿QUE ES EL CAOS?
1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos.
- Modelo de Lorenz. (dimensión 3)
- Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales.
- La ecuación logística de May (dimensión 1)
2. Recapitulando. ¿Que es el caos?
- Propiedades de un sistema caótico.
- Regularidades en un sistema caótico.
3. Un poco de historia.
- Las matemáticas de Poincaré y Smale.
- Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke...
4. Teoría del Caos, ¿revolución científica?.
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Problema real
(física, biología, meteorología...)
Modelo Matemático
(Ecuaciones diferenciales)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
Atmósfera
Calor
Lámina rectangular
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
Atmósfera
Lámina rectangular
Calor
x´(t)= 10(y-x)
y´(t)=28x-y-xz
z´(t)=xy-8x/3
Modelo matemático
Ecuaciones diferenciales
(no lineales).
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
Condición Inicial
(x0, y0, z0)
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)
...
ITERACION
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
Condición Inicial
(x0, y0, z0)
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)
...
ITERACION
segundo
temperatura
segundo
temperatura
1
-14.052872
1
-
2
2.757209
2
-
3
-7.552990
3
-
4
6.621076
4
-
5
-8.084304
5
-
6
-9.952578
6
-9.952000
7
-5.981163
7
-6.120309
8
-13.023813
8
-12.646284
9
0.041168
9
-0.724073
10
9.314363
10
11.848833
11
4.558919
11
-1.204758
12
7.375924
12
6.826824
13
-14.856846
13
13.773982
14
-0.246566
14
1.474239
Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
Problema real
(biología, mecánica celeste...)
Condición Inicial
(x0, y0)
Regla
Modelo Matemático
(Iteración)
(x1, y1)
Regla
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
(x2, y2)
...
ITERACION
Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)
...
(x,y)
(1/3y, 1+x-7y/5)
Otros ejemplos.
Atractor de Ikeda
(Optica)
z=(x,y)
a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)]
a,b,k,p parámetros
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z
z2+c
c=-0,2-0,7i
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z
(z3+c)/(dz)
c=0,001
d=0,95-0,31225i
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z
(z5+c)/z3
c=0,001
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias
funciones de la forma
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Brocoli IFS
F
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Helecho de Barnsley
F unción 1
F unción 2
F unción 3
F unción 4
a
0
0,2
-0,15
0,75
b
0
-0,26
0,28
0,04
c
0
0,23
0,26
-0,04
d
0,16
0,22
0,24
0,85
e
0
0
0
0
f
0
1,6
0,44
1,6
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
Problema real
(física, química,biología...)
Condición Inicial
x0
Regla
Modelo Matemático
(Iteración)
x1
Regla
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
x2
...
ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
An = número de animales en el año n
An+1= c An
c=tasa de crecimiento
M= población máxima admitida
An+1= c An (M-An)
xn+1= c xn (1-xn)
x
se normaliza y...
Ecuación logística
c x (1-x)
ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
cn = valor crítico en que se
produce la bifurcación n
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
cn = valor crítico en que se
produce la bifurcación n
cn-cn-1
cn+1-cn
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
4,669201...
¡La constante es la misma para
muchos más tipos de iteraciones!
Recapitulando...
Propiedades de un sistema caótico
- Modelo matemático: ecuaciones
diferenciales (no lineales) o iteración
- La solución es muy sensible a las condiciones
iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.
- El atractor es un fractal.
- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a
resultados complejos.
Recapitulando...
Regularidades (orden) de un sistema caótico
- La solución al modelo acaba convergiendo
al atractor.
- Autosemejanza en atractores. Dimensión.
- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov...
- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría,
topología…)
Un poco de historia
- Estudió el problema de
los tres cuerpos.
- Noción de bifurcación.
- Métodos de geometría y
topología.
Henri Poincaré
1854-1912
- Creador de la Teoría de
los Sistemas Dinámicos.
Un poco de historia
“Puede ocurrir que pequeñas
diferencias en las condiciones
iniciales produzcan grandes
diferencias al final… la
predicción resulta imposible”.
Henri Poincaré
1854-1912
Un poco de historia
- En los años 60, “introduce los
métodos, herramientas, objetivos y
visión global de la Teoría de los
Sistemas Dinámicos”.
- Demuestra (teóricamente) la
existencia de sistemas estables con
dinámica muy compleja.
Stephen Smale
1940Medalla Fields, 1966
Pero los resultados, ¡se
quedan dentro de las
matemáticas!
Un poco de historia
- 1963. Modelo atmosférico y atractor.
- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings
in Brazil stir up a tornado inTexas?
- Uso de ordenadores para resolver
ecuaciones y “ver” soluciones.
- Modelos de fenómenos impredecibles.
Atractor de E.
Lorenz
(metereólogo)
- Modelos simples de fenómenos
complejos.
Un poco de historia
Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.
- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.
- Introduce concepto de “atractor extraño”.
- Presenta las ecuaciones de NavierStokes en forma 1-dimensional:
- Primer acercamiento entre disciplinas:
matemáticas e hidrodinámica
v´(t)=fr(v), r>0
Un poco de historia
- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.
- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”.
Primer uso de la palabra “caos”.
- 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los
fractales.
- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation
theory and Applications in Scientific Disciplines”
- 1978. La constante de M. Feigenbaum.
Teoría del Caos, ¿revolución científica?
1 - Novedad y profundidad de los conceptos
2 - Sustitución de modelos
3 - El papel de los ordenadores
4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?
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ORDEN Y CAOS