PPTCEG032EM32-A15V1
EM-32
Posiciones relativas de rectas en el plano
Resumen de la clase anterior
B´
Δ ABC ~ Δ A´B´C´
Homotecia
A´B´
de centro O y razón k
AB
OA´
OA

B´C

BC

OC´
OC
A´C´
C´
B
k
C
AC

OB´
A´
k
O
A
OB
Ecuación de la recta
Ecuación principal
Pendiente
de la recta
y = mx + n
m=
y2 – y1
x2 – x1
Dado un punto P1(x1, y1)
y la pendiente
y – y1 = m·(x – x1)
Dados dos puntos
P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
y – y1 =
y2 – y1
·(x – x1)
x2 – x1
Aprendizajes esperados
• Interpretar analíticamente las posiciones relativas de rectas en el
plano, determinando si dos rectas son paralelas, coincidentes u
oblicuas.
• Analizar gráficamente las soluciones de sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas, relacionando cada ecuación con la recta
asociada y determinando si no hay solución, hay una única solución o
son infinitas soluciones.
Pregunta oficial PSU
27. En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) L1 // L2
II) La ecuación de L2 es y = – x + 3
III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
y
L1
L2
3
0
3
x
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2008.
Posiciones relativas de rectas en
el plano cartesiano
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas oblicuas
Dos rectas son oblicuas si se intersectan formando un ángulo
distinto de 90°.
Ejemplo:
y
5
75º
4
3
2
1
–3 –2 –1
1
2
3
4
x
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas oblicuas
Las rectas oblicuas se intersectan en un solo punto, y el sistema
de ecuaciones que las contiene tiene solución única.
Ejemplo:
1) x + 3y = 2 (Multiplicando por 2)
2) – 2x – y = 6
Reemplazando y = 2 en la ecuación 1 :
1) 2x + 6y = 4
2) – 2x – y = 6 (Al reducir)
5y = 10
y=2
x + 3∙2 = 2
x+6=2
x=–4
Por lo tanto, la solución del sistema es x = – 4 e y = 2, y el punto
de intersección de las rectas es (– 4,2)
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas oblicuas
1) x + 3y = 2
3y = – x + 2
m=–1
3
y=–x+2
3 3
y
Solución
del sistema 4
3
2
m=–2
2) – 2x – y = 6
– y = 2x + 6
y = – 2x – 6
1
–4 –3 –2 –1
1
2
3
–1∙–2=2
3
3
Las rectas del sistema son “oblicuas” ya que el producto entre
sus pendientes es distinto de – 1.
4 x
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas paralelas
Se dice que dos rectas, L1 y L2, son paralelas si tienen igual
pendiente y distinto coeficiente de posición.
Ejemplo:
L1: y = 5x +3
m=5
y
L2: y = 5x – 10
m=5
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas paralelas
Las rectas paralelas no se intersectan, y el sistema que las
contiene NO tiene solución.
Ejemplo:
1) y = 5x + 3
2) y = 5x – 10
Por igualación resulta
5x + 3 = 5x – 10
3 = – 10
El sistema NO tiene solución.
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas coincidentes
Se dice que dos rectas, L1 y L2, son coincidentes si tienen
igual pendiente e igual coeficiente de posición.
Ejemplo:
m1 = m 2 = 3
5
n1 = n 2 = 2
4
L1: y = 3x + 2
3
L2: 2y = 6x + 4
2
1
–3–2 –1
1
2
3
Nota: Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas
4
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas coincidentes
Las rectas coincidentes tienen infinitos puntos en común, y el
sistema que las contiene tiene infinitas soluciones.
Ejemplo:
5
1)
y = 3x + 2
4
(Multiplicando por – 2)
3
2) 2y = 6x + 4
2
1
–3–2 –1
1) – 2y = – 6x – 4
2)
2y = 6x + 4
(Al reducir)
0=0
El sistema tiene infinitas soluciones.
1
2
3
4
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas perpendiculares
–5∙2 =–1
2 5
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto
de sus pendientes es igual a – 1.
Ejemplo:
L1: y = – 5 x + 3 y L2: y = 2 x – 10
5
2
m1 =
–5
2
m2 =
2
5
Posiciones relativas de rectas en el plano
Rectas perpendiculares
Las rectas perpendiculares se intersectan en un único punto
formando un ángulo de 90°, y el sistema que las contiene tiene
entonces solución única.
Ejemplo:
1) y = 3x – 1
2) y = – x + 7
3
3
Por igualación resulta
–x 7
3x – 1 =
+
3
3
9x – 3 = – x + 7
10x = 10
x = 1 Entonces y = 2.
y
m=–15
3
4
3
Solución del
sistema: (1,2)
90º
2
m=3
–3 –2 –1
1
1
2
3
4
x
Pregunta oficial PSU
27. En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) L1 // L2
II) La ecuación de L2 es y = – x + 3
III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
y
L1
L2
3
0
3
x
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2008.
2016.
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
B
Geometría analítica
Aplicación
2
C
Geometría analítica
ASE
3
B
Geometría analítica
Aplicación
4
E
Geometría analítica
ASE
5
D
Geometría analítica
ASE
6
E
Geometría analítica
Aplicación
7
A
Geometría analítica
Aplicación
8
C
Geometría analítica
Aplicación
9
C
Geometría analítica
ASE
10
E
Geometría analítica
ASE
11
A
Geometría analítica
ASE
12
B
Geometría analítica
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
C
Geometría analítica
ASE
14
E
Geometría analítica
Aplicación
15
D
Geometría analítica
ASE
16
B
Geometría analítica
ASE
17
D
Geometría analítica
Aplicación
18
B
Geometría analítica
Aplicación
19
D
Geometría analítica
ASE
20
A
Geometría analítica
ASE
21
A
Geometría analítica
Aplicación
22
C
Geometría analítica
ASE
23
E
Geometría analítica
ASE
24
C
Geometría analítica
ASE
25
D
Geometría analítica
ASE
Síntesis de la clase
Relación entre rectas
Rectas
paralelas
Rectas
oblicuas
Rectas
coincidentes
Rectas
perpendiculares
Tienen igual pendiente
y distinto coeficiente
de posición
Se intersectan en
un ángulo distinto
de 90°
Tienen igual
pendiente e igual
coeficiente
de posición
Se intersectan en
un ángulo de 90°
El producto de sus
pendientes distinto
de – 1
El sistema
no tiene solución
El sistema tiene
solución única
El producto de sus
pendientes – 1
El sistema tiene
infinitas soluciones
El sistema tiene
solución única
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Sistema tridimensional
Equipo Editorial
Matemática
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