Introducción a la Lógica Difusa
Variables Lingüisticas y Lógica Difusa
Mg. Samuel Oporto Díaz
Lima, 1 Octubre 2005
Tabla de Contenido
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•
•
•
Variables Linguisticas
Modificadores Linguisticos
Reglas Difusas IF-THEN
Interpretación de las reglas difusas IF-THEN
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Mapa Conceptual del Curso
Introducción a la
Lógica Difusa
Conjuntos
Difusos
Operaciones
Difusas
Lógica Difusa
Inferencia Difusa
Fusificadores y
Defusificadores
Conjuntos
Difusos y
Clásicos
Operaciones con
Conjuntos
Difusos
Variables
Lingüísticas
Reglas de
Inferencia
Difusas
Fusificadores y
Defusificadores
Funciones de
membresía
Relaciones en
Conjuntos
Difusos
Lógica Clásica y
Lógica Difusa
Inferencia
Difusas
Principio de
Extensión
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VARIABLES LINGÜISTICAS
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Variables Lingüisticas
• Es una variable cuyos posibles valores son palabras y
pueden ser representados mediante conjuntos difusos.
• Permite describir el estado de un objeto o fenómeno.
Para ello usamos una variable cuyo valor hace la
descripción.
• Una variable lingüística admite que sus valores sean
Etiquetas Lingüísticas, que son términos lingüísticos
definidos como conjuntos difusos (sobre cierto dominio
subyacente).
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Variables Lingüisticas
• Una variable numérica toma valores numéricos
Edad = 65
• Una variable lingüística toma valores linguisticos:
Edad es viejo
• Un valor linguistico es un conjunto difuso
• Todos los valores linguisticos forman un conjunto de
términos o etiquetas.
• T(age) = {young, not young, very young, middle aged, not
middle aged, old, not old, very old, more or less old, not
very young and not very old, ...}
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Ejemplos
• Variable lingüística “edad”:
– Valores lingüísticos: Joven, Mediana Edad y Viejo
– Admite valores numéricos: números reales en [0, Emax]
– Se pueden proyectar los valores lingüísticos sobre el intervalo:
[0, Emax] mediante funciones de pertenencia.
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Ejemplos
• Variable lingüística “temperatura”:
– Valores lingüísticos: Muy Frio, Frio, Templado, Caliente, Muy
Caliente.
– Admite valores numéricos: números reales en [Tmin, Tmax]
– Se pueden proyectar los valores lingüísticos sobre el intervalo:
[Tmin, Tmax] mediante funciones de pertenencia.
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Dominio Subyacente
• El dominio subyacente es el dominio numérico, en nuestros
dos ejemplos la edad y la temperatura.
• Un valor concreto, crisp (25ºC, por ejemplo):
– Es más específico que una etiqueta lingüística.
– Es un punto del conjunto, mientras que una etiqueta lingüística es
una colección de puntos (temperaturas posibles).
• Existen variables cuya definición es más compleja porque
se mueven en dominios subyacentes poco claros y no
es natural trasladarlos a valores numéricos, por ejemplos:
Limpieza, Sabiduría, Verdor...
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Utilidad de las VL
• Es una forma de comprimir
granulación (granulation):
información
llamada
1. Una etiqueta incluye muchos valores posibles.
2. Ayuda a caracterizar fenómenos que o están mal definidos o son
complejos de definir o ambas cosas.
3. Es un medio de trasladar conceptos o descripciones lingüísticas a
descripciones numéricas que pueden ser tratadas automáticamente
(Relaciona o traduce el proceso simbólico a proceso numérico).
4. Usando el principio de extensión, muchas herramientas ya
existentes pueden ser extendidas para manejar variables
lingüísticas, obteniendo las ventajas de la lógica difusa en gran
cantidad de aplicaciones.
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Definición formal
Una Variable Lingüística es un conjunto de 5 elementos:
<N, U, T(N), G, M>
N
U
T(N)
G
M
es el nombre de la variable.
es el dominio subyacente.
es el conjunto de términos o etiquetas que puede tomar N.
es una gramática para generar las etiquetas de T(N):
“muy alto”, “no muy bajo”, “normal”, “bajo y normal”….
es una regla semántica que asocia cada elemento de T(N) con un
conjunto difuso en U de entre todos los posibles:
M: T(N)  F (U)
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Funciones de Membresía
1
gbellmf ( x; a, b, c) 
1
gaussmf ( x; a, b, c)  e
xc
b
1  x c 
 

2  
2b
2

 xa d  x 
trapmf ( x; a, b, c, d )  max  min 
,1,
 ,0 
 ba d c  


 xa c x 
trimf ( x; a, b, c)  max  min 
,
 ,0 
b

a
c

b

 

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Granularidad
• Es el número de valores que se definen para una variable
linguistica
• Normalmente se usa un conjunto pequeño de valores para
una variable lingüística.
Granularidad fina (fine):
Define un gran número de valores para una
variable lingüística.
Granularidad gruesa (coarse):
Define un pequeño número de valores.
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Ejercicio 1
• Diseñe las funciones de membresia para modelar las
siguientes variables lingüisticas, indique las etiquetas que
puede tomar:
•
•
•
•
Intensidad de pixel en una imagen de 8 bits.
Grado de conocimiento del profesor en la materia.
Grado de aprendizaje del alumno en la materia.
Grado de avance en el proyecto final del curso KDD.
• Indique y especifique las funciones de membresía para
cada caso.
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MODIFICADORES
LINGUISTICOS
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Modificadores Lenguisticos
• Los valores de una variable lingüística pueden ser:
– Primarios
– Compuestos
• Los valores primarios son los valores inicialmente definidos
• Un valor compuesto se obtiene anteponiendo a un valor
primario modificadores linguisticos como MUY, NO, MAS
O MENOS, ..., o combinando valores primarios mediante
conectivos lógicos AND, OR, NOT.
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Modificadores Linguisticos
• Cada modificador (hedge) es un operador H que transforma
el conjunto difuso del término primario L al que afecta en
otro conjunto difuso:
Modificadores Linguisticos:
1. Concentración.
2. Dilatación.
3. Intensificación del contraste.
4. Difuminación.
Operadores Lógicos:
1. NOT
2. AND
3. OR
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1. Concentración
• Se elevar la función de membresía primaría a un valor p,
dado que p > 1.
– MAS
μMAS F (u) = (μF (u) )1.5
– MUY
μMUY F (u) = (μF (u) )2
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2. Dilatación
• Es la raiz n-ésima o elevar p, tal que p Є [0, 1]
– MAS O MENOS
μMASOMENOS F (u) = (μF (u) )0.5
– MENOS
μMENOS F (u) = (μF (u) )0.75
– POCO
μPOCO F (u) = (μF (u) )0.75
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3. Intensificación
• Disminuir valores menores que 0.5 y aumentar los
mayores.
– ESPECIALMENTE
μESPECIALMENTE F (u) =
– BASTANTE CERCA DE
μBASTANTE CERCA DE F (u) =
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4. Difuminación
• Aumentar valores menoras que 0.5 y disminuir los
mayores.
– CERCA DE
μCERCA DE F (u) =
– CASI
μCASI F (u) =
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Operadores Lógicos
Combinar valores
mediante conectivos
lógicos:
AND: t-norma (min)
OR : t-conorma (max)
NOT: complemento
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Modificadores Linguisticos
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Ejercicio 2
• Sea U = {1,2,…,5} y el conjunto difuso pequeño definido
como:
• pequeño = {1/1 + 0.8/2 + 0.6/3 + 0.4/4 + 0.2/5}
Calcular:
• Muy pequeño
={
• Muy muy pequeño
={
• Más o menos pequeño ={
/1 +
/1 +
/1 +
/2 +
/2 +
/2 +
/3 +
/3 +
/3 +
/4 +
/4 +
/4 +
/5}
/5}
/5}
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Ejercicio 3
• Considere la variable lingüística viejo, dado que la
variables está definida por:
• Determine la función de membresía de los terminos:
No muy viejo
=
Mas o menos viejo =
Muy Viejo
=
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REGLAS DIFUSAS IF-THEN
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Reglas IF - THEN difusas
• Una parte del conocimiento humano es representado en
terminos de reglas IF – THEN clásicas.
• Este conocimiento también se puede hacer representar
mediante reglas IF - THEN difusas.
• Una regla IF – THEN difusa es una sentencia condicional
expresada como:
IF <proposición difusa> THEN <proposición difusa>
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Proposición Difusa
• Existen dos tipos de proposiciones difusas:
– Proposiciones difusas atomica.
– Proposiciones difusas compuesta.
• Una proposiciones difusas es una sentencia simple.
x es A, x es una variable lingüística y A es una
conjunto difuso
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Proposición Difusa
• Una propisición difusa compuesta es una composición de
proposiciones atomicas usando los conectivos AND, OR y
NOT.
• y es L y x es F, las variables linguisticas por lo general no
son las mismas.
• Las proposiciones difusas compuestas pueden ser
entendidas como relaciones difusas y las Funciones de
Membresía de las relaciones difusas son calculadas
usando t-normas, s-normas y complementos.
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Conectivos AND y OR
• Use la intercepción difusa para el conectivo AND
• y es B y x es A, es interpretado como la relación difusa:
A ∩ B in U x V con funciones de membresía.
• Use la unión difusa para el conectivo OR
• y es B o x es A, es interpretado como la relación difusa:
A U B in U x V con funciones de membresía.
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Conectivo NOT
• Use el complemento difuso para el conectivo NOT
• Sea la proposición difusa:
FP = (x es S y x es not F) o x es M
• Entonces se puede diseñar una relación difusa con la
siguiente función de membresía:
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INTERPRETACION DE LA
REGLA DIFUSA IF-THEN
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Cuantificación de la Verdad
• Obtener un conjunto difuso A tal que:
“X es Ai” es equivalente a τi = “X es A”.
• El ti actúa como una restricción elástica: A(x) = ti (Ai (x)) x  X
• A(x) = Verdad (Ai (x)) = Ai (x);
• A(x) = Falso (Ai (x)) = 1–Ai (x);
A(x) = Muy_Verdad (Ai (x)) = A2i (x);
A(x) = Más o menos (Ai (x)) =A0.5i (x);
• Si ti = Falso, se está afirmando el hecho contrario. Por eso, podemos
definir ti= Totalmente_Falso que toma el grado 0 en todo su universo
[0,1], excepto para el valor 0, que toma grado 1.
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Interpretación de la regla difusa IF-THEN
Formato General:
IF x es A entonces y es B
If x es A then y es B.
antecedente
o
premisa
consecuente
o
conclusión
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Ejemplos
• Si la presión es alta, entonces el volumen es pequeño.
• Si el camino es deslizadizo, entonces el conducir es
peligroso.
• Si un tomate es rojo, entonces es maduro.
• Si la velocidad es alta, entonces aplique un pequeño freno.
•
•
•
•
if pressure es high, then volume es small.
if the road es slippery, then driving es dangerous.
if a tomato es red, then it es ripe.
if the speed es high, then apply the brake a little.
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Ejercicio 4
• Diseñe 5 nuevas reglas difusas en los que los dominios
subyacentes sean diferentes.
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IF p THEN q
• En el cálculo proposicional clásico (lógica clásica), la
expresión IF p THEN q es escrito como p  q donde la
implicación  es definida mediante la siguiente tabla.
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A  B  If x es A then y es B
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IF p THEN q
• Aquí pq es equivalent a (¬p V q) y a (pΛq)V¬p, donde
los simbolos representan operaciones logicas clásicas.
• Las reglas difusas IF-THEN son formadas reemplazando
los operadores clasicos por sus correspondientes
operadores difusos.
• Debido al número de operadores t-norma, s-norma y
complemento existen varias interpretaciones de reglas
difusas IF-THEN.
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Reglas Difusas como Relaciones
A  B  If x is A then y is B.
R
Una regla difusa puede ser
definida como una relación
binaria con la siguiente
función de membresía.
R  x, y   AB  x, y 
Depende de como se
interprete A  B
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Implicaciones Conocidas
•
•
•
•
•
Implicación Dienes-Rescher
Implicación Lakasiewics
Implicación Zadeh
Implicación Godel
Implicación Mandani
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Implicación Dienes-Rescher
•
41 /60
Implicación Lakasiewics
•
42 /60
Implicación Zadeh
•
43 /60
Implicación Godel
•
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Interpretación de reglas difusas IF-THEN
• ¿Qué criterio escogemos para combinar los operadores
difusos t-norma, s-norma y complemento?
• ¿Son (¬p V q) y (pΛq)V¬p aún equivalentes a pq
cuando p y q son proposiciones difusas?
• Cuando p y q son proposiciones CRISP, pq es una
implicación global.
• Cuando p y q son proposiciones DIFUSAS, pq es una
implicación local en el sentido que pq tiene un valor de
verdad grande unicamente cuando p y q tienen valores de
verdad grandes.
• En terminos lógicos la regla se convierte en pq Ξ p Λ q
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Implicación Mandani
•
46 /60
Interpretación de reglas difusas IF-THEN
• Existen dos vías para interpretar
“if x es A then y es B”
A acoplado con B
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A vinculado con B
y
y
-B
B
B
-B
xx
A
xx
A
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Implicación difusa
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Implificación difusa
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Ejemplo
• Sea x1 la velocidad de un carro, x2 la aceleración e y la
fuerza aplicada al acelerador.
• Usando el producto algebraico para la t-norma en la
primera proposición y la implicación Dienes-Rescher,
encuentre la función de membresía de la siguiente regla
difusa:
IF x1 es slow y x2 es small THEN y es large
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Ejemplo
• Las funciones de membresía de los conjuntos difusos son:
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Ejemplo
• Los dominios de x1, x2 e y son U1 = [0, 100], U2 = [0, 30] y
V = [0, 3].
• Usando el producto algebraico para la t-norma de:
FP1 = x1 es slow y x2 es small
52 /60
Ejemplo
• Para la implicación Dianes-Reschr la regla es interpretada
como una regla difusa con función de membresía.
53 /60
Ejemplo
• El ultimo paso es convinar los resultados previo con
54 /60
Ejemplo
• La función de membresia es:
55 /60
Ejercicio 5
56 /60
Ejercicio 6
57 /60
PREGUNTAS
58 /60
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Variables Linguisticas