PPTCEG023EM31-A15V1
EM-31
Números imaginarios y complejos
Síntesis de la clase anterior
Irracionales Q*
Números que no se pueden
escribir como fracción, poseen
infinitos decimales sin un patrón
definido, no tienen período.
Ejemplos: π , 3 5 , 2 ,...
Orden
De raíces
De logaritmos
Caso
1: igual índice
.
Si 0 < a < b, entonces:
n
a 
n
b
(n: natural y n ≠ 1)
.
Caso
2: igual cantidad subradical.
Si a >0 y m < n, entonces: n a  m a
(n y n: naturales, distintos de 1)
Caso
3: distinto índice y distinta
.
cantidad subradical.n a  m b
Recomendación: elevar ambas raíces a una
misma potencia (mcm)
Caso
1: igual base
.
Si 0 < a < b, entonces:
log n a  log n b
(n >1)
Caso
2: igual argumento
.
Si a >0 y m < n, entonces:
log n a  log m a (n > 1 y m >1)
Caso
3: distinta base y distinto
.
argumento: log a  log b
.
n
m
Recomendación: cambio de base.
Operatoria
irracional ± racional = irracional.
irracional ∙ racional = irracional.
irracional : racional = irracional.
(si el racional es distinto de cero)
Aproximación
Si se conoce el valor aproximado de
un número irracional, se podría
aproximar cualquier otro que se pueda
expresar en términos del primero.
Aprendizajes esperados
•
Comprender que los números complejos permiten resolver problemas
sin solución en los números reales.
•
Identificar la unidad imaginaria a partir de la raíz cuadrada de – 1.
•
Reconocer la relación entre los números complejos, los números
imaginarios y los reales.
•
Reconocer geométricamente el plano complejo y la ubicación de
números complejos.
•
Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formulando
conjeturas y demostrando algunas propiedades.
1. Números imaginarios
2. Números complejos
3. Operatoria
1. Números Imaginarios
¿Cuál será la solución de la ecuación x2 + 6 = – 10?
x  6   10
2
x   16
2
x
 16
¿Existe un número real, que multiplicado por sí mismo
de como resultado -16?
Si no existe tal número, entonces… ¿
Analicemos:
Si
i
1
- 16 
, entonces
 16
es imaginario?
16 - 1  4  1
 16  4i
¿Qué tipo de números serán
¿Tienen algo en común?
 25 ,
- 49 ,
4
- 81 ... ?
1. Números Imaginarios
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número
1
y se designa por la letra i.
Potencias de i:
i 
1
i
5
i
i
i  1
i  1
i
i  i
i  i
i
i 1
i 1
i
2
3
4
6
7
8
9
i
10
 1
11
 i
12
 1...
¿Observas alguna regularidad?
Cada cierto intervalo de números, se repite el resultado para la
potencia de i.
1. Números Imaginarios
Unidad imaginaria
Todas las potencias de i cuyos exponentes son:
•
múltiplos de 4, son iguales a 1
Ejemplo:
•
múltiplos de 4 más 1, darán i
Ejemplo:
i
12
 1  i i 4 2  1 1 i 4 2  i1  1  i  i
4(3)
i i
9
 i
4(2)  1
4(3)  2
i
• múltiplos de 4 más 2, darán -1
Ejemplo:
•
Ejemplo: i19   i  i 4(4)  3  -i
múltiplos de 4 más 3, darán –i.
i
14
 1  i
 -1
1. Números Imaginarios
Número imaginario
Un número imaginario puede describirse como el producto de un
número real b (distinto de cero) por la unidad imaginaria i.
-4 
Ejemplos:
3i
-i
2
-0,6i
i
4  -1  2 - 1  2i
- 4 ...
3
Los números imaginarios se pueden operar como términos
algebraicos.
Ejemplos: 3i + 12i = 15i
2
3
i -
1
i 
6i  i
9
9
- 121  2i 
- 4i  3i  - 12i

5i
9
121  -1  2i  11 - 1  2i  11i  2i  9i
2
 - 12(-1)  12
2. Números Complejos: C
Definición
Un número complejo es todo número de la forma a + bi, siendo a y
b números reales, e i la unidad imaginaria (i  - 1 ).
a es la parte real de z
Re(z) = a
z = a + bi
b es la parte imaginaria de z
Im(z) = b
Ejemplo: Si z es un número complejo tal que z = 5 + 3i, entonces
5 es la parte real de z
Re(z) = 5
z = 5 + 3i
3 es la parte imaginaria de z
Im(z) = 3
2. Números Complejos: C
Representación
Un número complejo se puede representar al menos de tres maneras:
• Canónica o binómica: a + bi
• Par ordenado : (a, b)
• Gráficamente: Como vector
Ejemplo:
Si z es un número complejo, tal que su parte real es 2 y su parte
imaginaria es 5, entonces se puede representar como:
binomio
par ordenado
z = 2 + 5i
z = (2,5)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
2. Números Complejos: C
Representación
Dado que los números complejos se componen de una parte real y otra
imaginaria, es posible representarlos en un “plano complejo”, donde el
eje x representa al eje real (Re) y el eje y al eje imaginario (Im).
Ejemplo:
Si z es un número complejo, tal que su parte real es 3 y su parte
imaginaria 4, entonces se puede representar de la siguiente manera:
Im
z = 3 + 4i
5
z = (3,4)
4
3
(3,4)
2
1
Re
1
2
3
4
5
6
2. Números Complejos: C
Módulo o valor absoluto de un número complejo |z|
El módulo de un complejo z = (a,b), es la longitud del vector que
representa, es decir, la distancia entre el (0,0) y (a,b).
z 
Ejemplo:
El módulo de z = (5, 2) es:
Im
5
4
3
(5,2)
2
1
Re
1
2
3
4
5
6
a b
2
2
z 
5 2
z 
25  4
z 
29
2
2
2. Números Complejos: C
Conjugado de un número complejo z
El conjugado de un complejo z se denota por z , y es el simétrico de z
respecto al eje real.
Algebraicamente, el conjugado de z solo difiere de este en el signo de su
parte imaginaria, es decir, si z = a + bi entonces z  a  bi.
Ejemplo:
El conjugado de z = 4 + 5i es:
z  4  5i.
Im
(4,5)
5
4
3
2
1
Re
-1
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
(4,-5)
2. Números Complejos: C
Inverso aditivo de un número complejo
El inverso aditivo del complejo z = a + bi es -z = -a –Elbineutro
ya que
z + (-z)= a + bi + -a – bi = 0 + 0i
aditivo es (0,0)
Ejemplo: El inverso aditivo de z = -2 + 4i es –z = 2 – 4i
Im
(-2,4)
5
4
3
2
1
Re
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
(2,-4)
Geométricamente, el inverso
aditivo de z es el simétrico
de z respecto al origen.
2. Números Complejos: C
Inverso multiplicativo de un número complejo
El inverso multiplicativo un número complejo z es igual al cociente
Neutro
entre su conjugado y el cuadrado de su módulo.
multiplicativo
z
Es decir:
1
z

z
2
z
2
a b
2
z z
2
1
 1  0i  (1,0)
Ejemplo: El inverso multiplicativo de z = 1 + 2i es:
z
1

z
z
z z
1
2

1  2i
1  2i
1  2i
2
1  2i
de 
 2 Producto

2
1  2binomios
1 4
1  2i
5

1
5

2
i
5
1 2  1 2
2
4
1 4
1 4 5
 (1  2i)    i    i  i  i 2    (  1)     1
5 5  5 5
5
5
5 5
5 5
5
3. Operatoria en C
Igualdad entre complejos
Sean z 1  a  bi y z 2  c  di dos números complejos entonces:
z 1  z 2  (a, b)  (c, d)  a  c y b  d
Ejemplo:
Sean z1 = -4 + 3i y z2 = 2x + 9yi, dos números complejos tal que
z1 = z2 , ¿cuál es el valor de x e y?
Si
z 1  z 2  (-4,3)  (2x, 9y)
 - 4  2x y
 x 
-4
e
3  9y
y 
2
 x  -2
3
9
e
y 
1
3
3. Operatoria en C
Suma y resta entre complejos
Sean z 1  a  bi  (a, b) y z 2  c  di ( c, d) dos números complejos,
entonces:
z 1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
z 1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
Ejemplo:
Sean z1 = -4 + 3i y z2 = 12 + 7i, dos números complejos,
entonces:
z 1  z 2  (-4  12, 3  7)  (8, 10)  8  10i
z 1  z 2  (-4  12, 3  7)  (-16, - 4)  - 16  4i
3. Operatoria en C
Ponderación por un escalar
Sea z  a  bi = (a, b) un número complejo y k  R entonces:
k  z  k a , b   (k  a, k  b)
ó
k  z  k a  bi   k  a  k  bi
Ejemplo 1:
Sean z = -3 + 2i entonces -5z es: -5(-3, 2) = (15, -10)
Ejemplo 2:
Sean z1 = 1 + 4i y z2 = 8 + 6i, entonces (2z1 - z2) = 2(1,4) – (8,6)
= (2,8) – (8,6)
= (-6,2)
3. Operatoria en C
Multiplicación entre complejos
Sean z 1  a  bi = (a, b) y z 2  c  di = (c, d) dos números
complejos, entonces:
z 1  z 2  (a, b)  (c, d)  (ac - bd, ad  bc)
i  -1
2
Al multiplicar los binomios resulta:
z 1  z 2  (a  bi)  (c  di)  ac  adi  bci  bdi
2
 ac - bd  ( ad  bc)i
Ejemplo:
Si z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i, entonces z 1  z 2  (1,4)  (3,2)
 (1  3 - 4  2, 1  2  4  3)
 (3 - 8, 2  12)
 (- 5, 14)
-5 + 14i
3. Operatoria en C
División entre complejos
Sean z 1  a  bi = (a, b) y z 2  c  di = (c, d) dos números
complejos, entonces la división entre z1 y z2 es igual al producto
entre z1 y el inverso multiplicativo de z2 . Es decir:
z1
z2
 z1 
1

z2
z1  z 2
z2
2
equivalente a
z1

(ac  bd, bc  ad)
c d
2
z2
2
Ejemplo:
z1
Si z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i, entonces
es
z2
z1
z2

(1  3  4  2, 4  3  1  2)
3 2
2
2

(3  8, 12  2)
94

(11, 10)
13

11
13

10
13
i
3. Operatoria en C
Aplicaciones
1. Si z = -1 + 3i, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El inverso aditivo de z es -1 – 3i.
II) 5z = -5 +15i
III) z  z
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
3. Operatoria en C
Resolución:
I)
Falsa. El inverso aditivo de z es 1 – 3i. Tanto la parte
real como la imaginaria cambian de signo.
II)
Verdadera, ya que 5z = 5(-1 + 3i) = -5 +15i.
III)
Verdadera. Como
z 
- 12  3 2
z 
- 12  (-3) 2

z 
1 9 

a b
2
10
1 9 
2
y z  - 1  3i entonces:
z  z
10
D
3. Operatoria en C
Aplicaciones
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones numéricas es imaginaria?
A)
2, 3
B)
2
C)
- 32
D) (5  3i)(5 - 3i)
2
E) - 3i
3. Operatoria en C
Resolución:
A)
2, 3
B)
2
es un irracional, por lo tanto es real.
C)
- 32
es imaginario, ya que:
D)
es un decimal periódico, un racional, por lo tanto un real.
(5  3i)(5 - 3i)
- 32  16  2  (-1)  4 2  - 1  4 2  i
es real, ya que: (5  3i)(5
- 3i)  5  3i 
2
 25  9i
2
2
 25  9
 34
E) - 3i
2
es real ya que:
- 3i  - 3(-1)  3
2
C
3. Operatoria en C
Aplicaciones
3.
(1 - i)i =
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
i
1+i
1-i
3. Operatoria en C
Resolución:
i  -1
2
(1 - i)i = i – i2 = i – (-1) = i +1
D
3. Operatoria en C
Aplicaciones
4. Si 6i(x + iy) = 9, entonces (x + y) es igual a
A)
-6
B)
-3
C)
0
D)
3
2
2
E)
6
3. Operatoria en C
Resolución:
i  -1
2
Si 6i(x + iy) = 9, entonces:
6i(x + iy) = 9 + 0i
6xi + 6i2y = 9 + 0i
6xi - 6y = 9 + 0i
Al ordenar los términos, resulta ser una expresión imaginaria, donde
-6y sería la parte real y 6x la parte imaginaria.
- 6y + 6xi = 9 + 0i
(- 6y, 6x) = (9,0)
Al igualar se tiene que: - 6y = 9 y que 6x = 0
entonces
y 
-3
2
Por lo tanto x + y =
-3
2
, x 0
B
3. Operatoria en C
Aplicaciones
5.
-i
1 i
A)

i-1
2
B)
i1
2
i
C)
2
D) 1- i
E)
-1- i
2
3. Operatoria en C
Resolución:
-i
1 i




-i

(1  i)
1  i (1  i)
i i
2
1 i
2
i1
1 1
 1 i
2
E
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
E
Números complejos
ASE
2
D
Números complejos
ASE
3
B
Números complejos
ASE
4
C
Números complejos
Aplicación
5
B
Números complejos
Aplicación
6
A
Números complejos
Aplicación
7
B
Números complejos
Aplicación
8
D
Números complejos
Aplicación
9
A
Números complejos
Aplicación
10
D
Números complejos
Aplicación
11
B
Números complejos
Aplicación
12
D
Números complejos
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
D
Números complejos
Aplicación
14
B
Números complejos
Aplicación
15
D
Números complejos
ASE
16
B
Números complejos
Aplicación
17
A
Números complejos
Aplicación
18
D
Números complejos
ASE
19
D
Números complejos
Aplicación
20
A
Números complejos
Aplicación
21
C
Números complejos
Aplicación
22
B
Números complejos
Aplicación
23
A
Números complejos
Aplicación
24
A
Números complejos
ASE
25
A
Números complejos
ASE
Síntesis de la clase
Números Imaginarios
bi, b real ≠ 0
i
Números Complejos
- 1 : unidad imaginaria
z = a + bi, a y b reales
Módulo
Potencias de i:
z 
a b
2
2
Conjugado
Operatoria
z  a  bi.
i 
1
i  1
2
i
4n  1
i
Sean: z 1  a  bi y z 2  c  di
dos números complejos, entonces:
Inverso aditivo
 1
4n  3
 -i
i
i  1...
i
4
1
4n  2
i  i
3
4n
i
-z = -a – bi
Suma y resta
z 1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
z 1  z 2  (a  c, b  d)  (a  c)  (b  d)i
Inverso multiplicativo
z
1

z
z
Multiplicación
2
z 1  z 2  (a, b)  (c, d)  (ac - bd, ad  bc)
División z 1
Igualdad entre complejos
z2

(ac  bd, bc  ad)
c d
2
2
z 1  z 2  (a, b)  (c, d)  a  c y b  d
Ponderación por un escalar
k  z  k a , b   (k  a, k  b)
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, realizaremos un
Taller de Números
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Matemática
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