El Hotel de Hilbert: Sobre el infinito y más allá
Quizá una de las cosas que más se nos escapan a la razón es la concepción del
infinito. Algunas preguntas que uno puede hacerse son:
¿Son todos los infinitos iguales?
¿Existen infinitos más grandes que otros?
Con el fin de ilustrar este comportamiento David
Hilbert (1862-1942) matemático ruso de nacimiento
formuló una de las paradojas que ponen de
manifiesto las sutiles características que poseen los
conjuntos infinitos, la paradoja del Hotel de Hilbert.
Cálculo. EPI. Universidad de Oviedo
Imaginemos un hotel, llamado “Hilbert” en el cual existen infinitas habitaciones,
cada una tiene una placa en la puerta con un número de forma que las
habitaciones quedan numeradas consecutivamente 1, 2, 3, 4…
Cálculo. EPI. Universidad de Oviedo
Un noche que estaba el hotel completamente ocupado llegó un cliente pidiendo
una habitación.
El gerente, que en sus ratos libres se dedicaba a las matemáticas, no vio problema
ninguno:
hizo que cada cliente se moviese a la habitación siguiente, de modo que el de la
habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la tres, y así sucesivamente, de modo que
todo el mundo quedó alojado y la habitación 1 libre para el recién llegado.
Cálculo. EPI. Universidad de Oviedo
Al día siguiente la situación fue aún más complicada, pues llegó un autocar de
Hilbert, un autobús con infinitos turistas necesitados de habitación.
El gerente, que no se arredraba ante nada, hizo que el ocupante de la habitación 1
pasase a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, y así sucesivamente según la
regla:
n --------------------------► 2n
de modo que todas las habitaciones impares quedaron disponibles para los nuevos
huéspedes.
Cálculo. EPI. Universidad de Oviedo
¿Y si llegase un tren de Hilbert? Un tren de Hilbert tiene infinitos vagones
numerados, 1, 2, . . . , y cada vagón tiene infinitos asientos numerados 1, 2, . . .
La solución consiste en una sabia utilización de los números primos:
En principio lo que hace el gerente es liberar todas las habitaciones impares
haciendo que todos los clientes se cambien a la habitación 2n.
Seguidamente hace que los pasajeros del primer vagón se alojen en las
habitaciones
3, 32, 33,..., 3n, …
los del siguiente vagón en las habitaciones
5, 52, 53,…, 5n, …
y así sucesivamente va alojando a los pasajeros de los infinitos vagones utilizando
para ello las potencias sucesivas de los infinitos números primos.
Cálculo. EPI. Universidad de Oviedo
De esta pequeña argumentación puede extraerse una idea muy interesante, siempre
se puede hacer suficientemente hueco para alojarlos, es decir el infinito inicial se
expande a las necesidades de alojar nuevos clientes.
Es decir, existen distintos tipos de infinitos y pueden categorizarse en familias.
Cálculo. EPI. Universidad de Oviedo
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