INGENIERIA Y CONTROL DE LA CALIDAD
CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO
GRAFICAS DE CONTROL PARA DEFECTOS
César A. Acosta-Mejía
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
CLASIFICACION
Gráficos de control para unidades defectuosas
• La gráfica p fracción defectuosa
• La gráfica np número de unidades defectuosas
Gráficos de control para defectos
•
•
La gráfica c número de defectos.
La gráfica u número de defectos por unidad
de inspección
(tamaño constante)
(tamaño variable)
GRAFICA DE CONTROL c
• Esta gráfica controla si la media del número de defectos en una unidad
inspeccionada permanece constante
• Todas las muestras son iguales a una unidad inspeccionada.
Puede ser una pieza, una caja de 12 piezas, un tramo de 100 mts. de tela o
1000 litros de pintura
• Se usa comunmente en industrias de proceso contínuo, como
 Industrial textil
 Productos químicos (líquidos)
 Vidrio
• Se asume que el número de defectos en una unidad inspeccionada es una
v.a. de Poisson que puede aproximarse por una Normal
GRAFICA DE CONTROL c
Recuérdese que en la gráfica p
X : # de defectuosos en una muestra de tamaño n 
Binomial (n,p)
En la fabricación contínua no existen “piezas producidas”, por lo que
n
y
p 0
manteniéndose
 = np constante.
Bajo estas condiciones
Binomial (n,p)

Poisson ( = np )
Se acostumbra a llamar al parámetro  como c.
GRAFICA DE CONTROL c
Binomial (n,p)
Sea p =  / n

Poisson ( = np )
GRAFICA DE CONTROL c
• Sea X el número defectos observados en una “unidad inspeccionada”
X se puede modelar como una v.a. Poisson ( = c) si
– El número n de lugares potenciales para la ocurrencia de los
defectos es infinito
– La probabilidad p de ocurrencia de un defecto en cada uno de los
lugares potenciales es pequeña y constante
GRAFICA DE CONTROL c
• Sea X el número defectos observados en una “unidad inspeccionada”
Supongamos que X se puede modelar como una v.a. Poisson ( = c)
• Entonces
X  Poisson (c)
y los límites de control son:
E(X) = c
E [X]  3 DS [X]
c 3c
Var(X) = c
GRAFICA DE CONTROL c
• Sea X el número defectos observados en una “unidad inspeccionada”
Supongamos que X se puede modelar como una v.a. Poisson ( = c)
• Entonces
X  Poisson (c)
y los límites de control son:
E(X) = c
Var(X) = c
E [X]  3 DS [X]
c 3c
• La aproximación normal a la Poisson es aceptable si c =  > 5
y es mejor cuanto mayor es 
GRAFICA DE CONTROL c
Cálculo de los límites de control
Los Límites de control son:
(Poisson  normal)
c 3c
m
x
Si c no se conoce, se le estima
a partir de m muestras previas, con
c 
Así los límites de control son:
c  3 c
i
i 1
m
Muestra
Defectos encontrados
1
9
2
11
3
13
4
9
5
15
6
13
7
8
8
16
9
10
10
17
11
10
12
10
13
9
14
5
15
12
16
6
17
15
18
10
19
7
20
5
21
9
22
12
GRAFICA DE CONTROL c
Ejemplo
La tabla mostrada presenta el número de
defectos encontrados en un rollo de tela.
Todos los rollos de tela son de igual
tamaño.
Construya una gráfica c y determine si el
proceso está en control.
Muestra
Defectos encontrados
1
9
2
11
3
13
4
9
5
15
6
13
7
8
8
16
9
10
10
17
11
10
12
10
13
9
14
5
15
12
16
6
17
15
18
10
19
7
20
5
21
9
m = 22
12
TOTAL
231
GRAFICA DE CONTROL c
Ejemplo
La tabla mostrada presenta el número de
defectos encontrados en un rollo de tela.
Todos los rollos de tela son de igual
tamaño.
Construya una gráfica c y determine si el
proceso está en control.
SOLUCION
Estimamos c a partir del total de defectos
c = 231 / 22 = 10.5 defectos por rollo
GRAFICA DE CONTROL c
Ejemplo
Los límites de control resultan
c
3c
10.5
 3  10.5
LSC = 20.22
LIC = 0.7789
GRAFICA DE CONTROL c
Ejemplo
Los límites de control resultan
c
3c
10.5
 3  10.5
C Chart for Defectos
LIC = 0.7789
Sample Count
LSC = 20.22
20
UCL=20.22
10
C=10.5
LCL=0.7789
0
0
10
Sample Number
20
GRAFICA DE CONTROL c
• Supongamos que
- la unidad de inspección es un lote de 150 unids.
-  = 5 defectos por lote
- el proceso esta en control estadístico
- el proceso produce en promedio 5 defectos por lote
• La grafica c permite probar la hipótesis Ho:  = 5 defectos por lote
• Supongamos que mejoramos el proceso a  = 1 defecto por lote
• Para poder usar la aprox normal debemos aumentar la unidad de
inspección. Por ejemplo
-  = 5 defectos por cada 750 unids.
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
CLASIFICACION
Gráficos de control para unidades defectuosas
• La gráfica p fracción defectuosa
• La gráfica np número de unidades defectuosas
Gráficos de control para defectos
•
•
La gráfica c número de defectos.
La gráfica u número de defectos por unidad
de inspección
(tamaño constante)
(tamaño variable)
GRAFICA DE CONTROL u
• Se usa cuando el número de unidades inspecciónadas varía de muestra
a muestra
• Sea X
el número defectos en n unidades de inspección y
U = X / n el número de defectos por unidad de inspección
• Esta gráfica controla si la media de U permanece constante
GRAFICA DE CONTROL u
Sea X
el número defectos en n unidades de inspección, y
U = X / n el número defectos en una unidad de inspección,
entonces
X  Poisson (c)
y los límites de control son:
E(X) = c
Var(X) = c
E(U) = c/n
Var(U) = c/n2
E [U]  3 DS [U]
c
n
 3
c
n
2
GRAFICA DE CONTROL u
• Sea u 
c
entonces los límites se expresan como
n

c
 3
n
u  3
c
n
2
u
n
m
• Si u no se conoce, se le estima
a partir de m muestras previas
u 
x
i
n
i
i 1
m
i 1
GRAFICA DE CONTROL u
Ejemplo
En una planta textil se inspecciona el producto controlando el número de
defectos por cada 50 m2 de tela (ésta es la unidad de inspección).
En la tabla se muestran los datos de 10 rollos de tela de distinto tamaño.
Construya una gráfica u y determine si el proceso está en control.
GRAFICA DE CONTROL u
Ejemplo – Solución
En una planta textil se inspecciona el producto controlando el número de
defectos por cada 50 m2 de tela (ésta es la unidad de inspección).
En la tabla se muestran los datos de 10 rollos de tela de distinto tamaño.
Construya una gráfica u y determine si el proceso está en control.
GRAFICA DE CONTROL u
Ejemplo – Solución
En una planta textil se inspecciona el producto controlando el número de
defectos por cada 50 m2 de tela (ésta es la unidad de inspección).
En la tabla se muestran los datos de 10 rollos de tela de distinto tamaño.
Construya una gráfica u y determine si el proceso está en control.
u = 153 / 107.5 = 1.423
ui
GRAFICA DE CONTROL u
Ejemplo – Solución
La línea central de la gráfica de control es igual al número promedio de
disconformidades por unidad de inspección (50 m2 de tela),
u = 153 / 107.5 = 1.423
es decir, en promedio, 1.423 defectos por cada 50 m2 de tela.
Este es el parámetro que deseamos controlar.
Los límites de control resultan entonces
u  3
u
n
 1 . 42  3
1 . 42
n
los cuales varían segun el número de unidades de inspección ni
i
GRAFICA DE CONTROL u
Ejemplo – Solución
Por ejemplo, para el último rollo (ui = 23 / 12.5 = 1.84),
los límites de control son
 1 . 42  3
1 . 42
12 . 5
= 1.42  3 (0.337)
LSC10
= 2.43
LIC10
= 0.41
GRAFICA DE CONTROL u
Ejemplo - MINITAB
Variable: defectos
 Subgroups in: unidades
U Chart for defectos
unidades
defectos
500
10
14
400
8
12
650
13
20
500
10
11
475
9.5
7
500
10
10
600
12
21
525
10.5
16
600
12
19
625
12.5
23
3
UCL=2.436
Sample Count
metros
2
U=1.423
1
LCL=0.4110
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Sample Number
8
9
10
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