Ecuaciones de Maxwell
I.
Ley de Gauss
del campo
eléctrico
II. Ley de Gauss
del campo
magnético
III. Ley de Faraday
IV. Ley de Ampere
generalizada
por Maxwell
1
I. Ley de Gauss del campo eléctrico
 E
dS 
q
o
• La integral se extiende a una superficie cerrada:
número de líneas (flujo) de E que atraviesan dicha
superficie.
• El vector diferencial de superficie se considera
normal a la superficie cerrada en cada punto y
saliente de la misma (dirigido hacia afuera)
• La carga q es la carga neta encerrada en el interior del
volumen limitado por la superficie cerrada
2
I. Ley de Gauss del campo eléctrico
 E
dS 
q
o
• Si el flujo > 0 las líneas de E salen de la superficie.
En su interior la carga neta es positiva (“fuente” de
las líneas)
• Si el flujo < 0 las líneas de E entran a la superficie.
En su interior la carga neta es negativa (“sumideros”
de las líneas)
• La líneas de E son discontinuas en los puntos donde
hay cargas.
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II. Ley de Gauss del campo magnético
 B
dS  0
• La integral se extiende a una superficie cerrada
cualquiera.
• El número neto de líneas que atraviesa esa superficie
es nulo (flujo).
• El número de líneas que entran al interior de dicha
superficie es exactamente igual al número de líneas
que salen
• Las líneas de B son continuas y cerradas: No existe
un polo magnético aislado
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III. Ley de Faraday
E
dl  

B

t
dS
• La integral del 2do miembro se extiende sobre una superficie
que tiene un contorno .
• Es el flujo de B a través de esa superficie (Número de líneas
que la atraviesan)
• Si este flujo varía con el tiempo, en el contorno de dicha
superficie se induce un f.e.m.
• La integral curvilínea del 1er miembro en un camino cerrado
es distinta de cero si el flujo es variable.
• Existe un E inducido en la trayectoria por la variación del
flujo de B en la superficie para la cual
es su contorno. Este
E inducido está formado por líneas cerradas
• Un campo magnético variable en el tiempo provoca la
aparición de un campo eléctrico inducido (No “nace” de cargas
eléctricas)
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Consecuencia de Ley de Faraday para flujo
constante… E dl    B dS
E dl  0



t
•Si el flujo de B a través de la superficie es constante en
el tiempo, entonces el 2do miembro es nulo.
•El campo E, si existe, es un campo electrostático,
originado por cargas eléctricas en reposo.
•La integral curvilínea en un camino cerrado de un
campo E electrostático siempre es nula.
•El trabajo realizado por un campo electrostático en un
camino cerrado es nulo.
•El
campo
electrostático
es
un
campo
CONSERVATIVO
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IV. Ley de Ampere generalizada por



Maxwell
 B dl    i    E dS 
o

o
t

• El primer miembro es la integral curvilínea sobre una
trayectoria cerrada 
• El segundo miembro tiene dos términos:
• Corriente neta de conducción que atraviesa cualquier
superficie para la cual la trayectoria  es su contorno
• “Corriente” de desplazamiento: Existe si hay un
campo eléctrico variable en el tiempo cuyas líneas
atraviesan una superficie para para la cual la
trayectoria  es su contorno
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Ecuaciones de Maxwell en el vacío. En una
región donde no existen cargas ni en reposo ni en
movimiento (corrientes)

E dS  0

B dS  0
E
B
dl  

B

t
dl   o  o

dS
E

t
dS
8

E dS  0

B dS  0
E

dl  

B

t
B dl   o  o

dS
E

t
dS
•Las líneas de E y de B son
continuas
•En un volumen cualquiera el
número de líneas que entran es
igual al número de líneas que
salen tanto de E como de B
•Un B variable en el tiempo
produce un E
•Un E variable en el tiempo
produce un B
•Entonces…
9
 
2
ONDAS
x
2
1  
2

v
2
t
2
• Cualquier función (x,t) que satisface esta ecuación
diferencial es una magnitud que varía periódicamente
en el tiempo y se propaga en la dirección + x.
• En dicha ecuación v es la velocidad de propagación
de la onda.
• La magnitud  es la presión del medio para una onda
sonora, es el desplazamiento transversal “y” para una
cuerda tensa, es el vector óptico para la luz, etc.
 ( x ,t )   ( kx   t )
k 
2


2

v


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• Hipótesis 1: Suponemos que en una región del
espacio donde no hay cargas ni corrientes existe un
campo eléctrico que se propaga ondulatoriamente en
la dirección + x.
• Elegimos como superficie cerrada gaussiana un cubo
cuyas caras sean paralelas a los planos xy, zy y xz.
• Aplicando la ley de Gauss para el campo
eléctrico[ecuación (I) de Maxwell] se puede
demostrar que Ex = 0.
• Es decir, el campo eléctrico no tiene componente en
la dirección de propagación.
• Dicho de otra manera: El campo eléctrico es
transversal a la dirección de propagación
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• Hipótesis 2: Suponemos que el campo eléctrico sólo
tiene una componente perpendicular a la dirección de
propagación + x. E ( x ,t )  E y ( x ,t ) ˆj
• Consideremos un cuadrado sobre el plano xz como
camino cerrado de integración. Aplicando la ecuación
III de Maxwell (Ley de Faraday) podemos demostrar
que el campo magnético variable que produce el
campo eléctrico variable sólo tiene componente Bz.
• Es decir que los campos B y E son perpendiculares.
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• Hipótesis 3: Suponemos que el campo eléctrico sólo
tiene componente en la dirección +y y que el campo
magnético sólo tiene dirección +z.
• Aplicamos la ecuación III de Maxwell (Faraday) a un
camino cuadrado cerrado en el plano xy.
• Podemos demostrar que:
E y
x

Bz
(A)
t
• Haciendo un análisis similar al propuesto pero
aplicando la ecuación IV de Maxwell, podemos
demostrar que:
B z
x
  0  0
E y
t
(B)
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Entonces…
• Si existe un E perpendicular a la dirección de
propagación x, debe existir un B variable en el
tiempo.
• B debe ser perpendicular a E
• Si E es variable en el tiempo, entonces existe un B
que varía con x
E ( x ,t )  E y ( x ,t ) ˆj
Entonces…
Provoca la aparición de un
B ( x ,t )  B z ( x ,t )kˆ
…y viceversa…
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Derivamos la ecuación
(A) respecto a x.
 Ey
2
x
Derivamos la ecuación
(B) respecto a t.
Por transitividad
demostramos que el
campo eléctrico es
solución de la
ecuación diferencial
2
 Bz
 Bz
2

tx
 Ey
 Ey
2
2
xt
( A`)
  0  0
t
2
x
2
( B`)
2
 Ey
2
  0 0
t
2
15
2
2
• Análogamente se puede
 Bz
 Bz
demostrar que…
  00
2
2
x
t
• Tanto B como E satisfacen
la ecuación de las ondas.
• En el s XIX, Maxwell pudo
predecir teóricamente la
posibilidad de que existan
ondas electromagnéticas.
• Estas ondas deben tener una 1
1
  00  v 
2
velocidad, en el vacío, tal
v
 00
que:
• Hagamos las cuentas…
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v
v
1
 00
1

4  10
9  10  10
9
7
m
s
7
N
A 4  9  10
2
2
2
 3  10
2
1
8
m
s
m C
9
2
N
 300 000
km
s
• Este resultado coincide con el valor de la velocidad
de la luz en el vacío.
• ¿Será la luz una onda electromagnética?
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