MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ondas
Ondas mecánicas
Velocidad de las ondas mecánicas
Características
Ondas armónicas
Movimiento
ondulatorio
Función de onda
Energía de una onda armónica
Mecanismo de formación
de las ondas sonoras
Velocidad de las ondas sonoras
Ondas sonoras
Cualidades del sonido
Contaminación acústica
La Vibración: Origen de las Ondas
•
•
•
Casi todo lo que ocurre a nuestro alrededor se puede relacionar con el
comportamiento de tipo ondulatorio.
Lo que se lee en estos momentos se debe a las ondas luminosas; lo que
escuchamos a las ondas sonoras.
Las cosas tienen su propia temperatura debido a que sus componentes,
los átomos están vibrando permanentemente.
•
La vibración es la causa de las ondas.
•
La mayoría de los objetos, especialmente los denominados elásticos;
vibran si durante un espacio de tiempo se le aplica una fuerza.
Mientras la fuerza se le aplica, se deforman; pero luego recuperan su
forma y su posición original; posición de equilibrio. Por ejemplo; al
accionar una cuerda de guitarra; un elástico o un resorte.
•
•
•
Una vibración simple, como pulsar una cuerda de guitarra, produce lo
que se denomina un pulso : una única perturbación que viaja por el
medio de propagación
Una onda es una sucesión de pulsos ondulatorios
1. Ondas
Un movimiento ondulatorio es una forma de transmisión de energía, sin transporte
neto de materia, mediante la propagación de una perturbación.
A esta perturbación que se propaga a través de las partículas del medio se la
denomina onda.
Ejemplos: Las ondas de radio, la luz, las ondas de televisión, el sonido, las
ondas en una cuerda de guitarra, las ondas en la corteza de la Tierra (ondas
sísmicas), las microondas, los rayos infrarrojos
Imaginemos la superficie del agua de un estanque y vamos a fijarnos en algunas
de las partículas del agua cuando dejamos caer una piedra.
►No se realiza un transporte neto de las partículas del agua (lo que bajan,lo suben)
►Hay una transmisión de la energía que la piedra comunicó a la primera partícula al
resto de las partículas, que oscilan como lo hizo la primera.
►Existe un cierto retraso entre el instante en que se produce la llegada de la piedra al
agua y el instante en que la perturbación producida llega a las partículas más alejadas.
 Las ondas tienen una relación muy íntima con el movimiento armónico
simple.
Ocurren fenómenos interesantes cuando una onda llega al límite del material
en el que viaja (transmisión y reflección) y cuando dos ondas interactuan
(interferencia). Para todo tipo de onda, hay un sistema que, en ausencia de la
onda, está en equilibrio.
 La onda consiste en un “disturbio” local del estado de equilibrio. Los detalles
del disturbio dependen del tipo de onda.
 Para una onda mecánica, el disturbio es el movimiento de un material (el
medio) alrededor de la posición de equilibrio.
Clasificación de las Ondas
Podemos establecer una primera clasificación de las ondas:
Ondas mecánicas
Ondas electromagnéticas
Propagación de una perturbación de
tipo mecánico a través de un medio
material elástico por el que se
transmite la energía mecánica. El
medio material, que puede ser aire,
agua, una cuerda, …. , es
indispensable para que exista la
onda.
Transmisión de energía
electromagnética mediante la
propagación de dos campos oscilatorios,
el eléctrico y el magnético, que no
requiere medio físico ya que son
variaciones periódicas del estado
eléctrico y magnético del espacio, que
también se propagan en el vacío
El sonido es una onda mecánica,
que requiere la presencia del aire
para propagarse.
La luz es una onda electromagnética.
2. Ondas mecánicas
Dedicaremos nuestra atención a las ondas mecánicas, aunque muchos de los
conceptos y propiedades de éstas son aplicables a las ondas electromagnéticas.
Podemos clasificar las ondas mecánicas teniendo en cuenta la dirección de
propagación de la onda en relación con el movimiento de las partículas del
medio.
Ondas transversales
Una onda es transversal si su
dirección de propagación es
perpendicular a la dirección de
la oscilación que provoca en las
partículas del medio
Ondas longitudinales
Una onda es longitudinal si su
dirección de propagación es
paralela a la dirección de la
oscilación que provoca en las
partículas del medio
•
•
•
Las ondas longitudinales siempre son mecánicas. Las ondas sonoras son un
ejemplo típico de esta forma de movimiento ondulatorio.
Las ondas transversales pueden ser mecánicas ( ondas que se propagan a lo
largo de una cuerda tensa) o electromagnéticas (la luz o las ondas de radio).
Algunos movimientos ondulatorios mecánicos, como los terremotos, son
combinaciones de movimientos longitudinales y transversales, con lo que se
mueven de forma circular.
2.1. Velocidad de las ondas mecánicas
La velocidad de propagación de una onda es el cociente de dividir la distancia que
avanza la onda entre el tiempo que emplea para ello.
La velocidad de propagación de una onda mecánica depende de las
propiedades del medio.
La velocidad de propagación v de las ondas transversales en una cuerda depende
de la tensíon T de ésta y de su densidad lineal μ (masa m por unidad de longitud
L)
T
v

Las ondas transversales mecánicas sólo pueden propagarse a través de medios
sólidos, donde la rigidez de éstos permite el desarrollo de fuerzas recuperadoras o
en la superficie de los líquidos.
La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en sólidos depende de la
constante elástica del medio y de su densidad, ya que las ondas longitudinales
provocan contracciones y dilataciones en las partículas del sólido.
En un medio sólido, la velocidad de propagación de las ondas longitudinales es
mayor que la de las ondas transversales.
La velocidad de propagación de la sondas longitudinales en los fluidos (líquidos y
gases) depende del módulo de compresibilidad y de la densidad del medio.
La velocidad de propagación de las ondas sonoras es independiente de la fuente
sonora que lo produce; sólo depende de las características del medio de
propagación:
En los sólidos
E
v
d
E = módulo de Young
del sólido
d = densidad del sólido
En los líquidos
Q
v
d
Q = módulo de compresibilidad
del líquido
En los gases
P
v
d
v
 R T
M
γ = Coeficiente adiabático del gas
P = presión del gas
d = densidad del líquido
d = densidad del gas
T = temperatura absoluta del gas
R = Constante de los gases
M = Masa molar del gas
3. Ondas armónicas
Los movimientos ondulatorios armónicos se caracterizan porque las partículas
del medio vibran con un MAS
Llamamos ondas armónicas a las que tienen su origen en las perturbaciones
periódicas producidas en un medio elástico por un movimiento armónico simple
3.1. Características de las ondas armónicas
Amplitud A es valor máximo de la elongación. En el S.I. se mide en m
Longitud de onda λ es la distancia mínima entre dos puntos consecutivos que
se hallan en el mismo estado de vibración. En el S.I. se mide en m
Periodo T es el tiempo que emplea el movimiento ondulatorio en avanzar una
longitud de onda o bien el tiempo que emplea un punto del medio en realizar una
oscilación completa. En el S.I. se mide en s
Frecuencia f es el número de ondas que pasan por un punto del medio en la
unidad de tiempo. En el S.I. se mide en Hertzios (Hz) o s –1.
Es la inversa del periodo:
1
f
T
T
1
f
De lo anterior deducimos que la velocidad de propagación v es:
v

T
v  f
3.2. Función de onda
Propagación de la onda a la velocidad v
y (m)
Supongamos una onda armónica
unidimensional que se propaga a lo largo
del eje x con una velocidad v
+A
P
0
x(m)
Foco
x
–A
El foco es el punto o centro emisor de la
onda. En él se produce la perturbación
que se va a propagar a los otros puntos
del medio
Como se trata de una onda armónica, el estado de vibración del foco nos viene
dado por la ecuación del MAS: y  A  sen (ω  t  φ )
y  A  sen ω  t
0
Si suponemos nula la fase inicial
El punto P, alejado una distancia x del foco, también ejecutará un MAS pero con
x
cierto retraso t’:
t' 
v
El estado de vibración (la elongación) del punto P en el instante t será el mismo
que tenía el foco en el instante t – t’:
Teniendo en cuenta el valor de t’:
y(x, t)  A  sen ω  (t  t ')
x
y(x, t)  A  sen ω  (t  )
v
3.2. Función de onda
Propagación de la onda a la velocidad v
y (m)
y(x, t)  A  sen ω  (t 
+A
P
0
x(m)
Foco
y(x, t)  A  sen (ω  t 
x
–A
Número de ondas k representa el
número de longitudes de ondas
que caben en 2π metros. En el S.I.
se mide en m-1
x
)
v
ωx
)
v
2π
x
2π  x
T

 kx

λ
v
Número de ondas
Podemos concluir que el estado de vibración de un punto cualquiera P del medio
nos viene dado por la ecuación:
y(x, t)  A  sen (ω  t  k  x)
y(x, t)  A  sen (ω  t  k  x  φ0 )
Si no hubiésemos considerado
nula la fase inicial
Esta ecuación es la ecuación del movimiento ondulatorio o función de onda,
que nos permite calcular para un instante t el valor de la elongación y de cualquier
punto del medio x.
La ecuación del movimiento ondulatorio o la función de onda se puede expresar
de diversas maneras:
y(x, t)  A  sen (ω  t  k  x  φ0 )
2π
2π
t 
 x  φ0 )
T
λ
t
x
y(x, t)  A  sen  2π  (   φ '0 )
T λ
x
y(x, t)  A  sen  2π  (f  t   φ '0 )
λ
y(x, t)  A  sen (
En función de ω y k
En función deT y λ
En función de T y λ
En función de f y λ
3.3. Energía de una onda armónica
En toda onda hay energía en movimiento.
Cuando una onda armónica se propaga por un medio, cada partícula del medio
se ve sometida a un movimiento armónico simple MAS.
La energía mecánica que posee es CINÉTICA, porque está en movimiento y
POTENCIAL ELÁSTICA, ya que el movimiento armónico es consecuencia de la
acción de una fuerza conservativa (la fuerza elástica recuperadora).
Energía cinética
La partícula de masa m que se mueve con una velocidad v tendrá una energía
cinética:
1
Ec   m  v 2
2
Ec 
1
 k  A 2  cos 2 (ωt  φ 0 )
2
Ec 
1
 k  (A 2  x 2 )
2
Energía potencial elástica
Para un oscilador cuya constante elástica es k, la energía potencial elástica en el
instante que su elongación es x vale:
1
Ep   k  x 2
2
1
Ep   k  A 2  sen 2 (ωt  φ 0 )
2
Energía mecánica
Es la suma de las dos anteriores:
Como:
k  ω2  m   2π  f  2 m
E
1
 k  A2
2
 4π 2 f 2  m
Sustituyendo en la expresión de la energía mecánica:
1
1
2 
 4π 2  f 2  m  A 2
E  kA
2
2
E  2π2  m  A2  f 2
La energía transmitida por una onda armónica es directamente proporcional al cuadrado de la
amplitud A y al cuadrado de la frecuencia f
Tabla resumen de las magnitudes características de las ondas
MAGNITUD
SÍMBOLO
UNIDAD S.I.
RELACIONES
λ
 λf
T
λ
m
Velocidad de
propagación
v
m
 m  s 1
s
Periodo
T
s
1
T
f
Frecuencia
f
Hz
1
f
T
Frecuencia angular
o pulsación

rad 1
s
s
2

 2 f
T
Número de ondas
k
Longitud de onda
m 1
v
λ
ω
v
 λf 
T
k
2
k

Ejercicio 13 de la página 124
Datos: λ = 20 cm = 0,20 m; f = 1750 Hz
La velocidad de propagación en función de la longitud de onda y de la
frecuencia f ,es:
v  λ  f  0, 20 1750
ω
v
k
λ
v
T
 350
También hemos podido
utilizar estas otras fórmulas
para calcular la velocidad
m
s
Ejercicio 15 de la página 128
a)
Datos: y = 0,03 ·sen ( 3,5 t – 2,2 x) en unidades S.I.
Comparando la ecuación que nos dan, con la ecuación general obtenemos los
siguientes datos :
La amplitud A = 0,03 m
y = A ·sen ( ω t – k x + φo )
La pulsación ω = 3,5 rad·s –1
El número de ondas k = 2,2 m –1
La fase inicial φo = 0 rad
Se propaga hacia la derecha
Cálculo de la longitud de onda λ
2
2
2
 2,86 m

despejamos la longitud de onda:  
2,
2
k

b) Cálculo del periodo T:
2
2
2
 1,8 s

despejamos
el
periodo:
T



Como:
3,5

T
Como :
k
c) Cálculo de la velocidad de propagación:
La velocidad de propagación la podemos calcular mediante la expresión:
v

2,86
m

 1, 6
T
s
1,8
Cont.
y = 0,03 ·sen ( 3,5 t – 2,2 x) en unidades S.I.
A = 0,03 m
ω = 3,5 rad·s –1
k = 2,2 m –1
También hemos podido calcular la velocidad de propagación a partir de la
pulsación ωy del número de ondas k
v
d)

k

3,5
m
 1, 6
2, 2
s
Cálculo de la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda:
Nos piden ahora la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda,
que no tiene relación con la velocidad de propagación de la onda, que hemos
calculado en el apartado anterior.
La expresión general de la velocidad de vibración la obtenemos derivando
respecto al tiempo la función de onda:
vy = A · ω· cos (ω t – k x + φo)
Sustituyendo en ella A, ω , k y φo tendremos la ecuación de la velocidad de
vibración de cualquier punto:
vy = 0,03 · 3,5 · cos (3,5 t – 2,2 x + 0)
El valor máximo que toma la velocidad de vibración es cuando en la expresión
anterior el coseno vale la unidad:
vmáximo = A · ω = 0,03 ·3,5 = 0,105 m/s
Ejercicio 19 de la página 128
Datos: eje X negativo; λ = 20 cm = 0,20 m; f = 25 Hz; A = 3 cm = 0,03 m;
a) La velocidad de propagación es:
v  λ  f  0, 20  25  5
b) La ecuación general de la onda es:
m
5
s
m  s 1
y(x, t)  A  sen (ω  t  k  x  φ0 )
Necesitamos,por tanto, conocer la amplitud A, la pulsación ω , el número de ondas
k y la fase inicial φo para obtener la ecuación que nos piden.
El signo entre ω t y k x es positivo porque se propaga en el sentido negativo del eje X
• La amplitud es un dato A= 0,03 m
• La pulsación ω la calculamos a partir de la frecuencia:
ω  2π  f  2π  25  50π rad  s 1
• El número de ondas k lo calculamos a partir de la longitud de onda:
2  2

 10 m1
0, 2

• La fase inicial φ0 supondremos que vale 0, ya que no nos dan datos para calcularla.
Por tanto la ecuación que nos piden la obtenemos sustituyendo estos valores en
la ecuación general:
k
y = A ·sen (ω t + k x + φo) = 0,03 ·sen (50 π t + 10π x)
en unidades S.I.
Ejercicio 19 de la página 128 (Cont.)
c) La ecuación general de la velocidad de vibración de las partículas es:
vy = A · ω· cos (ω t + k x + φo)
y la aceleración con la que vibran las partículas responde a la ecuación:
a = –A · ω2 · sen (ω t + k x + φo)
y como el valor máximo que puede tomar el seno o el coseno de un ángulo es 1,
la velocidad y aceleración máximas serán:
vmáxima = ± A · ω = 0,03 ·50 π
= ± 1,5 π m/s = ± 4,7 m/s
amáxima = ± A · ω2 = ± 0,03 ·(50 π)2 = ± 75 π2 m/s2 = ± 740 m/s2
La expresión matemática obtenida para la función de onda y (x,t) revela una
importante propiedad: el movimiento ondulatorio armónico sigue una ley
doblemente periódica.
Es decir, se trata de una función y de dos variables x y t, lo que significa que el
valor de y depende tanto del tiempo t como de la posición x del medio que
consideremos.
Periodicidad respecto a la posición
y (m)
λ
+A
λ
2
λ
0
x(m)
λ
–A
λ
Para un tiempo fijo, la elongación y es una función sinusoidal de la posición x,
cuyo periodo es la longitud de onda λ
Las partículas separadas por un número entero de longitudes de ondas : x , x + λ
, x + 2λ , x + 3λ , x +4 λ , x + 5 λ , …. están en fase

Si están separadas por un número impar de medias longitudes de ondas: x, x+
2
x+ 3  …..
están en oposición de fase
2
Periodicidad respecto al tiempo
y (m)
T
+A
T
0
t(s)
T
–A
T
Para una posición fija, la elongación y es una función sinusoidal del tiempo t, cuyo
periodo es T
Los estados de vibración de una partícula para tiempos que difieren en un número
entero de periodos: t , t + T , t + 2 T, t + 3 T ,….
están en fase.
Si los tiempos difieren un número impar de semiperiodos: t , t +
están en oposición de fase
T
2
,t+3
T
2
Superposición de Ondas
¿Qué pasa cuando hay dos ondas en el mismo sitio?
 El efecto neto es la suma de los dos efectos.
 Este es el principio de superposición.
Superposición de Ondas Armónicas
Gráficamente
Considera dos ondas armónicas de igual frecuencia y magnitud en el mismo medio.
La única diferencia entre ellas es la fase, φ.
Se usa el término “interferencia” aunque a veces el efecto es un incremento cuando
la interferencia es “constructiva” como en (a). También puede ser “destructiva”
como en (b). En general, el resultado será una onda de igual frecuencia (como en
(c)) con una amplitud que dependerá de la diferencia en fase.
Superposición de Ondas Armónicas
Algebráicamente
Considera dos ondas armónicas de igual frecuencia y magnitud en el mismo medio.
La única diferencia entre ellas es la fase, φ.
Superposición de Ondas Armónicas
La Amplitud
Concentremos nuestra atención sobre la amplitud de la onda resultante. Esta
depende críticamente de la diferencia de fase, φ.
 Interferencia Constructiva
 φ = 0, 2π, 4π, cualquier múltiplo de 2π.
 La amplitud resultante, ym' = 2 ym.
 Interferencia Destructiva
 φ = π, 3π, 5π, cualquier múltiplo impar de π.
 La amplitud resultante, ym' = 0.
Reflecciones en un “Boundary”
 Habrá una onda reflejada que viaja en dirección
contraria a la onda original.
 La fase de la onda reflejada dependerá de si el
extremo está fijo (a) o suelto (b)
 Si está fijo, la pared ejerce una fuerza de reacción
(tercera ley de Newton) que hace que el pulso reflejado
esté invertido.
 Si está suelto, el pulso reflejado será erecto.
 Otra manera de entenderlo es que el extremo siente
el efecto de ambos pulsos. En el caso (a), el extremo
no se mueve así que los pulsos tienen que sumar a cero
en el extremo. En el caso (b), el extremo se mueve así
que los pulsos tienen que tener el mismo signo.
Ondas Estacionarias
 Son el resultado de tener dos ondas que viajan en direcciones opuestas.
 Hay puntos que no tendrán ningún movimiento (nodos).
 La amplitud del MAS en un punto no es constante, depende de la posición del
punto.
 Ocurrirán en una cuerda o en un tubo de aire ya que habrá ondas reflejadas en
los extremos así que habrá ondas viajando en ambas direcciones.
Ondas Estacionarias
Matemáticamente
Habrá nodos (puntos de amplitud cero) y antinodos (amplitud máxima).
Nodos:
Antinodos:
Ondas Estacionarias
Ondas Estacionarias en una cuerda.
 Se dan en una cuerda con los extremos fijos porque hay ondas reflejadas en los
extremos.
 Los extremos de la cuerda tienen que ser nodos.
 Las ondas que se pueden formar sólo pueden tener ciertas λs (ciertas
frecuencias) particulares de tal manera que los extremos sean nodos.
Ecuación de la f del sonido producido por una cuerda.
f1 = v/2L
v = λ.f
f2 = v/L
f = v/λ
f3 = 3v/2L
L = λ/2
f4 = 2v/L
λ = 2L
En general:
fn = n.v/2L
Ondas Estacionarias
Matemáticamente
Haremos un dibujo y contaremos el número de ondas que hay en la
cuerda!!!!! Esto nos dará uno relación entre λ y L.
 Escribiremos la relación entre λ y L.
 Despejaremos por λ .
 La frecuencia se encuentra con f = v / λ .
Ecuaciones en una cuerda
v = λ.f
L = λ/2
fn = n.v/2L
fn = n/2L√T/μ
Ondas Estacionarias
Matemáticamente en tubos abiertos y cerrados.
 Haremos algo similar para el caso de un tubo de aire excepto que un extremo
abierto es un antinodo. Un extremo cerrado es un nodo.
fn = n.v/2L
Ecuación tubo abierto
fn = n.v/2L
Ecuación tubo cerrado
fn = n.v/4L
fn = n.v/4L
Para n impar
Notas musicales.
• Si se escoge una frecuencia f, también se
utiliza la nota de frecuencia 2f llamada
octava.
• En el interior de una octava la sucesión de
notas se denomina escala y tienen los
nombres:
• do re mi fa sol la si
Ideas fundamentales sobre tubos y cuerdas.
Fuente sonora: cuerpo capaz de producir ondas elásticas
en el medio que lo rodea
Cuerdas: la frecuencia de vibración de una cuerda sonora es
Directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión e
Inversamente proporcional a su longitud y a la raíz cuadrada
de la masa por unidad de longitud.
f = n/2L √ T/μ
Tubos sonoros: pueden ser abiertos o cerrados, la frecuencia
está determinada por:
f = nv/2L para el tubo abierto. Para n par o impar
f = nv/4L para n impar en el tubo cerrado.
Problemas sobre tubos y cuerdas.
1. Si la frecuencia fundamental de los siguientes sistemas es
128 Hz, calcula la frecuencia de los tres primeros
armónicos si se trata de:
o Una cuerda
o Un tubo abierto
o Un tubo cerrado.
2. La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
vibrante es de 75 m/s. ¿Cuál es la longitud de la cuerda si su
frecuencia fundamental es de 125 Hz?
Interferencia
Debido a Diferencia de Longitud de Paso
Si salen en fase de las fuentes, la diferencia en
fase cuando llegan a P viene del hecho de que las
ondas han viajado diferentes distancias.
Hay una relación muy sencilla y muy fácil de
recordar entre la diferencia en fase  y la
diferencia entre las longitudes de paso (L).
_
2
=
L
λ
Aparte de esta ecuación debo recordar que una diferencia de fase de π
corresponde a media longitud de onda y a interferencia destructiva. Cero diferencia
de fase o cualquier multiplo de 2π corresponde a interferencia constructiva. En
general, la amplitud es proporcional a cos (Φ/2).
Interferencia
Debido a Diferencia de Longitud de Paso
Ejemplo Clasico
Un sistema Estereo
Problema 16
Cap. 17, Version 7
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