Números complejos
Unidad 5. Números complejos
 Introducción
1º BCNS/BT
Resolver las ecuaciones:
Los números complejos en forma binómica se escriben:
Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
•
•
Si b = 0  tenemos un número real
Si a = 0  tenemos un número imaginario puro
Dos números complejos son iguales, si sus partes reales e imaginarias son
iguales respectivamente.
Un número complejo conjugado de otro tiene igual su parte real y opuesta su
parte imaginaria:
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Unidad 5. Números complejos
 Operaciones con números complejos en forma
1º BCNS/BT
binómica (I)
-
Suma y resta de números complejos: se suman o restan las partes reales y las
imaginarias entre sí:
-
Producto de números complejos: se aplica la propiedad distributiva teniendo en
cuenta
-
Cociente de números complejos: se racionaliza el denominador, e.d.,
multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del
denominador.
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Unidad 5. Números complejos
 Operaciones con números complejos en forma
1º BCNS/BT
binómica (II)
-
Potencias de números complejos: se hacen desarrollando la potencia del binomio
y teniendo en cuenta las potencias de i.
 Ejercicios
1.
2.
3. Calcular x e y para que :
4. Calcular:
5. Calcular:
6.
7.
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Unidad 5. Números complejos
1º BCNS/BT
 Representación gráfica de un número complejo
Sobre unas coordenadas cartesianas se representa en el eje de abscisas la
componente real y en el de ordenadas la componente imaginaria.
Asociamos a cada número complejo un vector, cuyo origen es el origen de
coordenadas, O, y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a,b), al que
llamamos afijo del número complejo.
-
El módulo de un número complejo es el módulo del vector que le representa.
-
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje
positivo de abscisas con el vector que representa al número complejo.
Para saber cual de los dos ángulos que cumplen la condición es el argumento, se
miran los signos de a y de b y se escoge el ángulo del cuadrante que corresponde
con esos signos.
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Unidad 5. Números complejos
1º BCNS/BT
 Forma trigonométrica y polar de un número complejo
A partir de un número complejo en forma binómica, se calcula su módulo y su
argumento para expresarle en forma polar y trigonométrica.
Forma trigonométrica:
Forma polar o módulo argumental:
 Ej. 8: Escribir en las 3 formas posibles los siguientes complejos:




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Unidad 5. Números complejos
 Producto de complejos en forma polar
1º BCNS/BT
El producto de dos números complejos en forma polar es otro número
complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la
suma de los argumentos.
Demostración:
 Ej. 9: Calcular:
•
•
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Unidad 5. Números complejos
 Cociente de complejos en forma polar
1º BCNS/BT
El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo
que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la resta de los
argumentos.
Demostración:
 Ej. 10: Calcular:
•
•
8
Unidad 5. Números complejos
1º BCNS/BT
 Potencias de números complejos en forma polar
La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene
por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento, n veces el
argumento del complejo dado.
 Ej. 11: Calcular:
Sol.:
 Ej. 12: Calcular:
Sol.:
 Ej. 13: Calcular:
Sol.:
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Unidad 5. Números complejos
1º BCNS/BT
 Fórmula de Moivre
Si expresamos la fórmula
en forma trigonométrica:
, que para r = 1, resulta:
 Ej. 14: Comprobar la fórmula de Moivre para n = 2.
Desarrollando
llegamos a:
Resultados que ya hemos visto en trigonometría.
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Unidad 5. Números complejos
 Raíces de números complejos en forma polar
Las raíces n-ésimas de un número complejo
1º BCNS/BT
son n números complejos,
que tienen de módulo la raíz n-ésima del módulo y por argumento
dando valores a la k se obtienen todas las soluciones.
 Ej. 15: Calcular:
Sol.:
 Ej. 16: Calcular:
Sol.:
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Unidad 5. Números complejos
 Teorema fundamental del álgebra
1º BCNS/BT
Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene n
raíces ó soluciones.
 Ej. 17: Resolver:
Sol.
Sol.
Sol.
 Ej. 18: Encuentra una ecuación que tenga por raíces: Z1 = 2, Z2 = 1 -4i, Z3 = -3 y
Z4 = 1 + 4i
Sol.:
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Unidad 5. Números complejos
1º BCNS/BT
 Ejercicios
19. Dado el número complejo z = 1 – 2i, se pide:
• ¿Qué valor ha de tener x para que 3x – 2i = z?
•
•
Calcula el opuesto de su conjugado.
Calcula el conjugado de su opuesto.
20. Calcular:
•
•
•
•
•
(2 + 3i) (1 – 2i)
- 3 (4 + i)
2i ( 3 – 4i)
(2 + i) (2 – i)
(4 + 5i) (4 + 5i)
•
•
21. Expresa el número
en forma trigonométrica y polar.
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En esta unidad hemos aprendido:
•Qué es un número complejo
•Operaciones con números complejos en forma
binómica
•Representación gráfica de números complejos
•Forma trigonométrica y polar de un número
complejo
•Producto y cociente de complejos en forma polar
•Potencias y raíces de números complejos en forma
polar
•Teorema fundamental del álgebra
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La recta en el plano