TOPICOS DE ECONOMETRIA APLICADA
EFICIENCIA PRODUCTIVA Y CAMBIO
TECNOLOGICO
MODELOS DE FRONTERAS
ESTOCASTICAS
Daniel Lema
UCEMA
OUTLINE

Teoría de la producción: breve revisión
 Dualidad en producción
 Análisis de eficiencia



Definición
Diferentes modelos: single-output multi-output
Ejemplo aplicando diferentes metodologías de
estimación
 Midiendo productividad
ECONOMIA de la
PRODUCCION
La Función de Producción
los insumos x=(x1,x2,…,xn), y el
producto y, tenemos:
y  f (x1,..., x n )  f (x)
 Propiedades:
 Dados
f / x  0

Creciente:

Cuasi-cóncava:


Si
f ( x 0 )  f ( x1 )
Entonces
y
0   1
f (x 0  (1  ) x1 )  f (x 0 )
La Función de Producción
 Isocuantas
y Convexidad:
X2
x1
f(x)=y1>y0
x0+(1-)x1
f(x)=y0
x0
X1
Retornos a Escala

Supongamos que la función de producción es:
y  f (x)  x

=1  retornos a escala constantes

Duplicando los insumos, se duplica el producto

>1  retornos a escala crecientes: duplicando los
insumos más que se duplica el producto

<1  retornos a escala decrecientes: duplicando los
insumos menos que se duplica el producto
DUALIDAD EN PRODUCCION
DUALIDAD EN PRODUCCION

Dualidad: si existe una función de costo que
cumpla ciertas condiciones de regularidad,
también existe una función de producción y
ambas representan la misma tecnología.

La misma relación se encuentra entre la función
de ganancia y la función de producción.

Esto implica que hay diferentes maneras de
representar una tecnología.
Usos del Enfoque Dual





Es un camino fácil para obtener funciones de ofertas
de productos y de demanda de insumos.
El dual se puede usar para estimar y descomponer la
ineficiencia en costos, a través de una frontera de
costos y sus respectivos componentes, eficiencia
técnica y asignativa.
El dual hace posible la medición de la eficiencia en
ganancia.
Las funciones de Costo y de Beneficios trabajar
fácilmente con múltiples productos e insumos.
Las funciones de Costos y Ganancias facilitan una
clara distinción entre insumos fijos y variables.
Función de Costos Dual
Min  w1 x1  w 2 x 2 
Resolver
_
st : y  f ( x1 , x 2 )


x i  w1 , w 2 , y 


_
Demanda
Condicional de
insumos
Sustituyendo en w1x1+w2x2
donde:
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto

C  w1 , w 2 ,


y

_
Diferenciando con respecta a wi
Lema de Shephard
__
C ( wi , y )
wi
__


 x i  w1 , w 2 , y 


Función de
Costos dual
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
P = precio
Función de Beneficios Dual
Sustituyendo en y = f(x)
x
Resolver
*
i
 w1 , w 2 , p 
y
Demanda de Insumos
incondicional
*
w1 , w 2 , p 
Resolver
Función de oferta
Max  p * f ( x 1 , x 2 )   x 1 w 1  x 2 w 2 
Max  p * y  C  w 1 , w 2 , y 
x1 , x 2
y
Sustituyendo x* en
π = p*f(xi) – x1w1-x2w2
Diferenciando π con respecto a wi
Lema de Hottelling

wi
  xi
*
w1 , w 2 , p  
0
Sustituyendo y* en
π = p*y – C(wi,y)
Diferenciando π con respecto a p
  w1 , w 2 , p 
Función de Beneficios
Lema de Hottelling


 y
*
 w1 , w 2 , p  
0
Funciones de Dualidad:
Corto y Largo Plazo
 Costo
Total (CT)
 Costo
Variable Total (CVT) = f(wi; y, z)
 BeneficioTotal
 Beneficio
(π)
= f(wi; y)
= f(p, wi)
Variable Total (πVT) = f(p, wi; z)
Costos y Ganancias
Función de Costos: Propiedades
Si f es continua y estrictamente creciente, entonces
c(w,y) es
1.
Cero cuando y=0
2.
Creciente en w.
3.
Homogénea de grado uno en w.
4.
Cóncava en w.
5.
Si f es estrictamente cuasi-cóncava podemos
aplicar el lema de Shephard: c(w,y) es
diferenciable en w (w0, y0 ) siempre que w>>0 y
xi ( w , y )  c ( w , y ) /  wi
0
0
0
0
Maximización de las Beneficion
 Mercado
Competitivo: Los productores
individuales son tomadores de precios de
los insumos y productos (bienes).
 Comportamiento
Racional: Las firmas
maximizan ganancias, donde la ganancia
es la diferencia entre ingresos y costos de
producción.
Propiedades de la Función de
Beneficios

Dado f, y considerando un p0 y w0, la función de
beneficios (p,w), estará bien definida, será
continua y
1. creciente en p
2. Decreciente en w.
3. Homogénea de grado uno en (p,w)
4. Convexa en (p,w)
5. Lema de Hotelling
 ( p , w )
p
 y ( p , w ) and
  ( p , w )
 wi
 xi ( p , w )
La función de beneficios es
convexa
Ganancia
(p)
py*-w*x*
(p*)
p*
Precio del
producto
ANALISIS DE
EFICIENCIA
Definiciones

Productividad Parcial: es el cociente entre el
producto y un insumo determinado (e.g., capital,
tierra, trabajo).
Productividad Parcial = Producto/Insumo
= Output/ Input

Productividad Total del Factor (PTF) es el
cociente entre un índice de productos y un índice
de insumos.
PTF = Indice productos/Indice Insumos
Conceptos de Medición de la Eficiencia

Farrell (1957) propuso que la eficiencia de una
firma se puede desagregar en dos componentes:
 eficiencia técnica, la que refleja la habilidad de
una firma para obtener el máximo nivel de
producto, dado un nivel de insumos.
 eficiencia asignativa, la que refleja la habilidad
de una firma para usar los insumos en
proporciones óptimas, dado un nivel de precios y
un nivel de tecnología en la producción.
 Estas dos eficiencias combinadas entregan una
medida de la eficiencia económica total.
Medidas Input-Orientadas: Eficiencia
Técnica (ET) y Asignativa (EA)
Farrell presentó sus ideas usando:
x2/y
- Dos insumos (x1 y x2)
- Un producto (y)
-SS’ Isocuanta Unitaria
S
P
- Eficiencia Técnica (ET)
ETi = OQ/OP
A
Q
-Eficiencia Asignativa (EA)
EAi = OR/OQ
Q’
R
Eficiencia Económica (EE)
S’
EEi = OR/OP
EEi = ETi x EAi
0
A’
x1/y
Medidas Output-Orientadas:
Frontera de Posibilidades de Producción
- Dos productos (y1 y y2)
D
y2
- Un Insumo (x1)
C
- Eficiencia Técnica
Z
B
A
ETo = OA/OB
B’
- Eficiencia Asignativa
Isorevenue
EAo = OB/OC
D’
0
Z’
- Eficiencia Económica
y1
EEo = ETo x EAo = OA/OC
Medidas Output-Orientadas:
Ejemplo con un insumo x, y un producto y
a) DRTS
b) CRTS
y
y
f(x)
D
f(x)
D
B
B
A
A
P
0
C
P
x
0
C
x
- Las medidas de ET input-orientada se calculan como: AB/AP.
- Las medidas de ET output-orientada, se calculan como:CP/CD.
EFICIENCIA TECNICA
“Habilidad de producir la máxima cantidad de
producto con una dotación de recursos y un
nivel tecnológico”
Información
Capacidad de Gestión
EFICIENCIA TECNICA
MODELOS DE ESTIMACION:
Paramétricos
No paramétricos
Determinísticos
Estocásticos
METODO PARAMETRICO
•Supone una forma funcional
para la función de producción
METODO NO PARAMETRICO
•No supone una forma funcional
para la función de producción
METODO DETERMINISTICO
Supone que toda la distancia entre
la frontera de producción y el valor
de producción observado para un
predio corresponde a ineficiencia
técnica.
METODO ESTOCASTICO
Error compuesto:
Y = f(x) +(vi - ui)
v = componente aleatorio
u = ineficiencia técnica
ESTOCASTICO versus DETERMINISTICO
Y
Frontera de
Producción
Ineficiencia
Estocástica
Ineficiencia
determinística
•
Error Aleatorio
Nivel de
Producción
Observado
X
EFICIENCIA TECNICA: MEDICION

Los modelos econométricos para la estimación
de la eficiencia, también pueden dividirse entre
enfoques primales y duales, dependiendo de los
supuestos de comportamiento que se hayan
tenido en cuenta.

La estimación de funciones de producción
también se puede categorizar de acuerdo al tipo
de datos en corte transversal (cross-section) o
datos de panel (panel data).
EFICIENCIA TECNICA: MEDICION

Los modelos de eficiencia técnica noparamétricos, también se pueden generalizar
como modelos DEA (data envelopment
analysis), que se fundamentan en técnicas de
programación matemática. La ventaja principal
del DEA es que no requieren una forma
funcional específica. El mayor inconveniente es
que es determinístico, y se puede ver afectado
por observaciones extremas (outliers).

La literatura empírica se ha focalizado
principalmente en la medición de la ET y se le
ha dado relativamente poca atención a la EE y
EA.
Modelos Paramétricos y el
Efecto Aleatorio
METODOS PARAMETRICOS PARA COMPARAR
MEDICIONES EN LA EFICIENCIA
Supongamos que la función de producción es:
kK
yi   

k
x ik  e i
i  1 n
K inputs
k 1
Donde yi es el producto, xik son los insumos, ei es el residuo
para la firma i. Este residuo ei captura cualquier ineficiencia.
El residuo también puede capturar otros efectos aleatorios
(e.g. variables omitidas, errores de medición, etc.).
Existen dos caminos: uno ignora el efecto aleatorio y el otro
no.
IGNORANDO EL EFECTO ALEATORIO EN EL
RESIDUO
Consideremos que el residuo ei SOLO captura ineficiencia, e
ignora otros efectos. El modelo es:
kK
y    x u
i
k 1
k
ik
i
i  1 n
K inputs
donde ui >= 0.
Supongamos que usamos OLS (MCO) para estimar el modelo (ui
tiene media cero);
En este caso los errores estándar para estos estimados son
apropiados, pero el intercepto es sesgado hacia abajo, por lo que
se necesita corregir el modelo OLS, conocido como corrected
ordinary least squares (COLS)
Un intercepto corregido se puede obtener moviendo la
constante hacia arriba en una cantidad igual al:
El residual positivo mayor Umax
Cuando esta corrección se realiza, todos los residuales son no
negativos y al menos uno es cero, lo cual implica que la
eficiencia no excederá el 100%.
Luego de la corrección la ecuación anterior se transforma:
kK
y i  (  u max ) 

k 1
k
x ik  ( u i )
i  1 n
K insumos
Frontera Estocástica de Producción
 La
frontera estocástica de producción fue
propuesta independientemente por Aigner,
Lovell y Schmidt (1977) y Meeusen y van
den Broeck (1977).
 La especificación original involucraba una
función de producción para datos de corte
transversal (cross-sectional data) con un
término de error con dos componentes:
- Uno para medir el efecto aleatorio (vi); y
- Otro para medir la ineficiencia técnica (ui).
 Este
modelo se puede expresar de la
siguiente manera:
Yi = xi + (vi - ui)
donde
 Yi es la producción (o el logaritmo de la
producción) de la firma i;
 xi es un vector k1 de cantidades de input de
la firma i;
  es un vector de los parámetros a estimar;
 vi son variables aleatorias independientes de
los ui que son variables aleatorias nonegativas, y que miden la ineficiencia técnica
en la producción.


-
-
Esta especificación original ha sido usada en un
amplio número de aplicaciones empíricas en las
dos últimas décadas.
Esta especificación también ha sido modificada y
extendida de diferentes formas. Estas extensiones
incluyen:
La especificación de funciones de distribución más
generales respecto de ui, tales como: las
distribuciones normal truncada or two-parameter
gamma;
El análisis de datos de panel y eficiencias técnicas
time-varying;
La extensión de esta metodología hacia las
funciones de costos y también a la estimación de
sistemas de ecuaciones; etc.
Frontera Estocástica de Producción
Frontier Output
f(xiβ+vi), if vi>0
Frontera de
Producción
Error Aleatorio
y = f(xiβ+vi)
Y
•
Frontier Output
f(xiβ+vi), if vi<0
Ineficiencia
Estocástica
xi
Nivel de
Producción
Observado
xj
x
Frontera Estocástica de Costos
 Si
se quiere especificar una frontera
estocástica de costos, simplemente se tiene
que modificar la especificación del término
de error desde (vi - ui) a
(vi + ui).
Esta sustitución transforma la función de
producción definida anteriormente en una
función de costos:
Ci = xi + (vi + ui)
Ci = xi + (vi + ui)
,i=1,...,N
donde
- Ci es el logaritmo del costo de producción de
la firma i;
- xi es un vector k1 de (transformaciones de)
precios de input y output de la firma i;
-  es un vector de parámetros a estimar;
- vi son variables aleatorias e independientes de
ui que se suponen miden la ineficiencia en
costos.
Frontera Estocástica de Costos
CT
Error Aleatorio
Nivel de
Producción
Observado
Effi
Error
Frontera de
Costos
Ineficiencia
Estocástica
•
Error Aleatorio
Y
Frontera Estocástica Producción
Para datos de Panel
(Battese y Coelli-1992)

De acuerdo a Battese y Coelli (1992), la función
de frontera estocástica de producción, puede
escribirse como:
Y it  exp ( x it   v it  u it )
donde
- Yit representa el output
- β es un vector (K1) de los parámetros a estimar
- vit es un error aleatorio que se asume sigue una
distribución normal con media cero y varianza
constante
- uit es un error aleatorio no observable y nonegativo asociado con la ineficiencia técnica
Frontera Estocástica Producción
(Battese y Coelli-1992)

Siguiendo a Battese y Coelli (1992):
 uit se puede definir como:
u it  {exp[  ( t  T )]} u i
donde
 uit es un escalar desconocido a estimar.
La Eficiencia Técnica, se incrementa, permanece
constante, o disminuye en el tiempo, cuando el
valor de η > 0, η = 0 or η < 0, respectivamente.
 El término uit puede tener diferentes
especificaciones (i.e. non-negative truncation of a
normal distribution)
Frontera Estocástica Producción
(Battese y Coelli-1995)
 La
especificación de Battese y Coelli
(1995) se puede expresar del mismo modo
que en la ecuación anterior:
Y it  exp ( x it   v it  u it )
 Pero
ahora uit son variables aleatorias nonegativas que miden la ineficiencia técnica
en la producción
Frontera Estocástica Producción
(Battese y Coelli-1995)


-
-
uit, se puede expresar como:
uit = zit δ + Wit
donde
Wit es una variable aleatoria definida por la
distribución normal truncada con media cero y
varianza 2.
zit es un vector de variables de (p1) el cual puede
influir en la eficiencia de la firma.
 es un vector de parámetros a estimar de (1p).
La eficiencia técnica para la firma i es:
ET  exp(  u i )
MIDIENDO PRODUCTIVIDAD
PRODUCTIVIDAD
“El aumento de la productividad se
puede definir como el incremento de la
producción fruto de un mejor uso de la
cantidad de recursos disponibles”
 Eficiencia Técnica
 Progreso Tecnológico
PROGRESO TECNOLOGICO
“Aumento en la producción proveniente
de un nuevo proceso productivo fruto de
avances en el conocimiento científico”
• Generación de Tecnología
• Difusión y Adopción de Tecnologías
Crecimiento de la Producción: Efecto
del Cambio Tecnológico
VPT
($)
T2
Frontera 2
T1
Frontera 1
CT
T0
X
X1
VPT: Valor Producto Total; CT: Costo Total; T0: Producción Observada
T1: Prod. Máx. Tecn. 1 dado X1 T2: Prod. Máx. Tecn. 2 dado X1
Crecimiento en la Producción:
Cambios en la tecnología y en la eficiencia técnica
T2*
Y
Frontera 2
E2
Y2
T 1*
Frontera 1
Z
E1
Y1
0
X1
X2
Crecimiento Total de la Producción:
Tres Efectos: Crecimiento en el input,
Cambio Técnico y Mejora en la eficiencia.
Y2-Y1 = Z + (T2* - T1*) + (E1 – E2)
X
Cambio Técnico: Paso de la
Frontera 1 a la Frontera 2.
Producción Eficiente:
T1* en el periodo 1
T2* en el periodo 2
Output del productor:
Y1 en el periodo 1
Y2 en el periodo 2
Medición del Cambio Técnico:
T2* - T1*
Ineficiencia:
Distancia entre la frontera y el
ouput del productor; E1 y E2.
Mejora de la eficiencia en el
tiempo: E1 – E2
Cambio en el Input = Z
VENTAJAS DEL USO DE DATOS
DE PANEL
 Efectos
de la empresa son considerados
 Además de los efectos del tiempo
EFECTO DE MANAGEMENT





El productor puede modificar el sistema de
producción
Afectando productividad parcial
Por lo tanto, el manejo (administración) es una
variable importante de incluir en el modelo
De lo contrario existe una especificación
incompleta
Pero, manejo no es directamente observable, se
requiere de una variable “proxy”
METODOS DE ESTIMACION DE
LA FUNCION DE PRODUCCION
 Modelo
de efectos fijos o métodos nofronteras
 Metodologías de frontera estocástica
MODELO DE EFECTOS FIJOS





También se llama mínimos cuadrados con variables
dummy (LSDV)
Manejo es estimado a través de variables dummy, es
decir, se incluye el efecto especifico de la empresa
Así, el efecto de la empresa se asume como la medida
de ET
A diferencia de métodos estocásticos, no se requiere de
un distribución pre determinada del error
En el método de EF, el error se trata como un intercepto
separado y fijo para cada empresa en el modelo,
permitiendo que la eficiencia este correlacionada con los
inputs
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