BAYES:
Caso de Los Alfajores
RICARDO ESTEBAN LIZASO
RICARDO ESTEBAN LIZASO
1
¿ QUE SE QUIERE ?
A Ud. le gustan mucho los alfajores de
chocolate y quiere utilizar la información
del color del papel del envoltorio para
mejorar sus posibilidades de lograr un
alfajor de chocolate.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
2
IMPRESION INICIAL
 1) Sabe que en la
última elaboración en
el negocio artesanal de
su abuela se hicieron
200 docenas de
alfajores: 40 docenas
de chocolate, 90
docenas de membrillo
y 70 docenas de dulce
de leche
RICARDO ESTEBAN LIZASO
3
PROBABILIDAD A PRIORI
 PROBABILIDAD
SIMPLE
-
PROBABILIDAD
A
PRIORI - P(Nj)
 Esto, en principio, le da la probabilidad de
conseguir:
 un alfajor de chocolate = 40/200 = 0,20
 un alfajor de membrillo = 90/200 = 0,45
 un alfajor de dulce de leche = 70/200 = 0,35
 Total de 200 alfajores = 200/200 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
4
OTRO PUNTO DE VISTA
 2) Ahora recibe la información de que las docenas
se embalaron en dos cajas grandes. Además
como tenían pocos papeles de envoltorio, en la
caja Nº1 se colocaron 80 docenas de alfajores que
se envolvieron con papel celeste y en la caja Nº 2,
más grande, se colocaron 120 docenas de
alfajores que se envolvieron con papel verde.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
5
OTRO PUNTO DE VISTA
RICARDO ESTEBAN LIZASO
6
PROBABILIDADES DE LOS MENSAJES
 PROBABILIDAD SIMPLE - PROBABILIDAD DEL
MENSAJE- P(Zi).
 Probabilidad de conseguir un alfajor envuelto
en papel celeste = 80/200 = 0,40
 Probabilidad de conseguir un alfajor envuelto
en papel verde = 120/200 = 0,60

Total de 200 alfajores = 200/200 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
7
¿ CUAL ES LA RELACION ?
 3) Pero los alfajores no se fueron envolviendo
a medida que salían, ni se reservó un color de
papel para cada gusto. Se envolvieron de la
siguiente manera:
RICARDO ESTEBAN LIZASO
8
¿ HAY CORRELACION ENTRE
GUSTO Y COLOR ?
RICARDO ESTEBAN LIZASO
9
PROBABILIDADES CONJUNTAS
 PROBABILIDAD CONJUNTA - PROBABILIDAD DE
QUE UN ALFAJOR SEA DE UN GUSTO Y ADEMÁS
ESTE ENVUELTO EN UN DETERMINADO COLOR
DE PAPEL - P(Zi y Nj)
 Alfajor de chocolate envuelto en papel celeste
= 30/200 = 0,15
 Alfajor de membrillo envuelto en papel celeste
= 10/200 = 0,05
 Alfajor de dulce de leche envuelto en papel celeste
= 40/200 = 0,20
RICARDO ESTEBAN LIZASO
10
PROBABILIDADES CONJUNTAS
 Alfajor de chocolate envuelto en papel verde
= 10/200 = 0,05
 Alfajor de membrillo envuelto en papel verde
= 80/200 = 0,40
 Alfajor de dulce de leche envuelto en papel verde
= 30/200 = 0,15
 La suma de las probabilidades da 200/200 =1.
 Pues se trata de 200 docenas de alfajores.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
11
VEROSIMILITUD
 1ª
PROBABILIDAD
CONDICIONADA
PROBABILIDAD DE VEROSIMILITUD - DADO UN
DETERMINADO GUSTO, QUE EL MISMO ESTE
ENVUELTO EN UN DETERMINADO COLOR DE
PAPEL - P(Zi/Nj).
RICARDO ESTEBAN LIZASO
12
VEROSIMILITUD
RICARDO ESTEBAN LIZASO
13
VEROSIMILITUD
 Si es de chocolate (N1)
 Siendo de chocolate este envuelto en papel celeste
= 30/40 = 0,75
 Siendo de chocolate este envuelto en papel verde
= 10/40 = 0,25
 El total son 40 docenas de alfajores de chocolate =
40/40 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
14
VEROSIMILITUD
RICARDO ESTEBAN LIZASO
15
VEROSIMILITUD

Si es de membrillo (N2)
 Siendo de membrillo este envuelto en papel celeste
= 10/90 = 0,1111
 Siendo de membrillo este envuelto en papel verde
= 80/90 = 0,8888
 El total son 90 docenas de alfajores de membrillo
= 90/90 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
16
VEROSIMILITUD
RICARDO ESTEBAN LIZASO
17
VEROSIMILITUD
 Si es de dulce de leche (N3)
 Siendo de dulce de leche este envuelto en papel
celeste = 40/70 = 0,5714
 Siendo de dulce de leche este envuelto en papel
verde = 30/70 = 0,4286
 El total son 70 docenas de alfajores de dulce de
leche = 70/70 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
18
A POSTERIORI
 2ª
PROBABILIDAD
CONDICIONADAPROBABILIDAD A POSTERIORI - ESTANDO
ENVUELTO EN UN DETERMINADO COLOR DE
PAPEL, QUE SEA DE DETERMINADO GUSTO P(Nj/Zi)
 Es lo que Ud. quería averiguar para mejorar
sus posibilidades de conseguir un alfajor de
chocolate.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
19
A POSTERIORI
RICARDO ESTEBAN LIZASO
20
A POSTERIORI
 Si el papel del envoltorio es celeste (Z1)
 Estando
celeste
sea
de
 Estando
celeste
sea
de
envuelto en papel
chocolate.........= 30/80 = 0,375
envuelto en papel
membrillo.........= 10/80 = 0,125
 Estando envuelto en papel celeste sea de dulce de
leche.................= 40/80 = 0,50
 En total son 80 docenas envueltas con papel
celeste = 80/80 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
21
A POSTERIORI
RICARDO ESTEBAN LIZASO
22
A POSTERIORI
 Si el papel del envoltorio es verde (Z2)
 Estando envuelto en papel verde sea de
chocolate.........= 10/120 = 0,08333
 Estando envuelto en papel verde sea de
membrillo.........= 80/120 = 0,66667
 Estando envuelto en papel verde sea de dulce
de leche.= 30/120 = 0,25
 En total son 120 docenas envueltas con papel
verde= 120/120 = 1,00
RICARDO ESTEBAN LIZASO
23
OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES
 Al multiplicar la probabilidad a priori (1ª simple) por
la verosimilitud (la 1ª condicionada) se obtiene la
probabilidad conjunta.
 Probabilidad de que el alfajor sea de chocolate x la
probabilidad de que siendo de chocolate esté
envuelto en papel celeste: nos da la probabilidad de
que el alfajor sea de chocolate y además esté
envuelto en papel celeste.
 P(N1) x P(Z1/N1) = P(Z1 y N1)
 P(ch.) x P(cel./ch.) = P(ch. Y cel.)
 0,20 x 0,75 = 0,15
RICARDO ESTEBAN LIZASO
24
OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES
 Si se multiplica la probabilidad del mensaje (2ª simple)
por la probabilidad a posteriori (2ª condicionada)
también se obtiene la probabilidad conjunta.
 Probabilidad de que el alfajor esté envuelto en papel
celeste x la probabilidad de que estando envuelto en
papel celeste, sea de chocolate: también nos da la
probabilidad de que el alfajor sea de chocolate y
además esté envuelto en papel celeste.
 P(Z1) x P(N1/Z1) = P(Z1 y N1)
 P(cel.) x P(ch./cel.) = P(ch. Y cel.)
 0,40 x 0,375 = 0,15
RICARDO ESTEBAN LIZASO
25
OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES
 Sumando la probabilidad conjunta en el sentido de los
estados N se obtiene la probabilidad de N { P(Z1 y N1)
+ P(Z2 y N1) = P(N1)}
 Probabilidad
de que siendo de chocolate, esté
envuelto en papel celeste más la probabilidad de que
siendo de chocolate, esté envuelto en papel verde, es
decir, siendo de chocolate y envuelto en cualquier
papel, nos da la probabilidad de que sea de chocolate.
 { P(Z1 y N1) + P(Z2 y N1) = P(N1)}
 { P(cel. Y ch.) + P(ver. Y ch.) = P(ch)}
 { 0,15 + 0,05 = 0,20}
RICARDO ESTEBAN LIZASO
26
OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES
 Sumando la probabilidad conjunta en el sentido de los mensajes
Z se obtiene la probabilidad de Z { P(Z1 y N1) + P(Z1 y N2) + P(Z1
y N3) = P(Z1)}
 Probabilidad de que siendo de chocolate y envuelto en papel
celeste más siendo de membrillo y envuelto en papel celeste,
más siendo de dulce de leche y envuelto en papel celeste, es
decir, siendo de chocolate o membrillo o dulce de leche, pero
envuelto siempre en papel celeste, nos da la probabilidad de
que sea un alfajor que esté envuelto en papel celeste
 { P(Z1 y N1) + P(Z1 y N2) + P(Z1 y N3) = P(Z1)}
 { P(cel. Y ch.) + P(cel. Y mem.) + P(cel. Y dl.) = P(cel.)}
 { 0,15 + 0,05 + 0,20 = 0,40}
RICARDO ESTEBAN LIZASO
27
LOS DOS CAMINOS DE BAYES
 Primer camino.
 En el primer camino, si conocemos la estructura de
probabilidades conjuntas podemos generar todas las
otras probabilidades, indubitablemente. El esquema
es único y cerrado.

Si yo tuviese idea de las probabilidades
conjuntas aún antes de saber cuántas docenas
elaboró la abuela, no puedo concluir otra cosa
distinta a la siguiente:
RICARDO ESTEBAN LIZASO
28
LOS DOS CAMINOS DE BAYES
RICARDO ESTEBAN LIZASO
29
LOS DOS CAMINOS DE BAYES
 Se elaboraron 40 docenas de chocolate, 90
docenas de membrillo y 70 docenas de dulce de
leche y además también sé cuántos envoltorios
se gastaron, de qué color y de qué manera
fueron usados.

Pudiendo ver la relación directa entre color
de papel y gusto del alfajor. Es decir que puedo
saber cuál es la probabilidad de conseguir un
alfajor de determinado gusto luego de conocer
en qué papel está envuelto.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
30
LOS DOS CAMINOS DE BAYES
 Segundo camino.
 Pero
si no conocemos las probabilidades conjuntas
debemos seguir el segundo camino, reconstruyéndolas.
Aplicando Bayes partimos de las probabilidades a priori,
tenemos por experiencias anteriores (o estadísticas
anteriores) la verosimilitud y con ambas averiguamos las
probabilidades conjuntas.
 Sumando estas en el sentido de las Z conseguimos las
probabilidades de los mensajes.
 Luego con las probabilidades conjuntas y las probabilidades
de los mensajes averiguamos las probabilidades a posteriori
realizando la operación inversa a la indicada en el punto 2.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
31
LOS DOS CAMINOS DE BAYES
 En esta segunda versión, donde utilizamos la
estructura bayesiana (naturalmente cerrada)
como si fuese un sistema abierto, corremos el
riesgo de equivocarnos en la apreciación.
 Aún utilizando las mismas probabilidades de
verosimilitud pero con probabilidades a priori
distintas, generaremos probabilidades conjuntas
distorsionadas
y
como
consecuencia
probabilidades de los mensajes y a posteriori
incorrectas.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
32
INDEPENDENCIA DE VARIABLES
 Si las variables Estado (N) y Mensaje (Z) fuesen
independientes no habría ningún tipo de
correlación entre el envoltorio y el gusto del
alfajor, manteniendo las proporciones originales
de ambos aspectos.
Y
la probabilidad conjunta surgiría de la
multiplicación directa de las probabilidades
simples.
 Lo mensajes no servirían para aclarar nada sobre
el comportamiento de los estados.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
33
INDEPENDENCIA DE VARIABLES
RICARDO ESTEBAN LIZASO
34
INDEPENDENCIA DE VARIABLES
 Cualquiera sea el
color del envoltorio
(Mensaje), se
mantiene la misma
probabilidad de
obtener determinado
gusto (Estado)
 Coincidentes con la
probabilidades a priori
RICARDO ESTEBAN LIZASO
35
EL MENSAJE UNICO
RICARDO ESTEBAN LIZASO
36
EL MENSAJE UNICO
 NO
EXISTE
CORRELACION
ENTRE
VARIABLES ESTADO Y MENSAJE.
LAS
 AMBAS VARIABLES SON INDEPENDIENTES.
 No existe correlación entre el gusto del alfajor y el
color de su envoltorio.
 Si todos los alfajores se envolvieron en papel
celeste, el color del papel no me va a servir para
poder conseguir con más facilidad uno de
chocolate.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
37
LA CERTEZA INICIAL
RICARDO ESTEBAN LIZASO
38
LA CERTEZA INICIAL
 TAMPOCO EXISTE CORRELACION ENTRE LAS
VARIABLES ESTADO Y MENSAJE.
 AMBAS VARIABLES SON INDEPENDIENTES.
 No existe correlación entre el gusto del alfajor y el
color de su envoltorio.
 Si todos los alfajores elaborados son de dulce de
leche, los distintos colores de los envoltorios no
me van a servir para poder distinguir nada. Ya
tengo la seguridad del gusto que voy a obtener.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
39
MAYOR INFORMACION
RICARDO ESTEBAN LIZASO
40
MAYOR INFORMACION
 Aquí existe una mayor
correlación entre las
variables, pues todos los
alfajores de chocolate están
envueltos en papel azul y
todos los de membrillo están
envueltos en papel verde.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
41
CERTEZA A POSTERIORI PARCIAL
RICARDO ESTEBAN LIZASO
42
CERTEZA A POSTERIORI PARCIAL
 Todos los alfajores envueltos
en papel azul son de
membrillo, pero no todos los
de membrillo están envueltos
en papel azul.
 Todos los alfajores de
chocolate están envueltos en
papel verde, pero no todos
los de papel verde son de
chocolate.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
43
CERTEZA A POSTERIORI PARCIAL
 Como siempre se conoce primero el color de los
envoltorios y luego el gusto de los alfajores:
 Existe Certeza a Posteriori en forma parcial, luego
de conocer los envoltorios azules todos son de
membrillo: P(Mem/Az) - Probabilidad a Posteriori.
 Pero no hay certeza a posteriori sobre los de
chocolate, luego de conocer los papeles verdes:
P(Ver/Ch) - Verosimilitud.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
44
INFORMACION PERFECTA
RICARDO ESTEBAN LIZASO
45
INFORMACION PERFECTA
 LAS VARIABLES ESTAN
TOTALMENTE
CORRELACIONADAS
 A cada color de papel
corresponde un gusto de
alfajor.
 Debe haber:
tantos MENSAJES (colores)
como ESTADOS (gustos)
RICARDO ESTEBAN LIZASO
46
CANTIDAD DE MENSAJES = ESTADOS
Y NO HAY INFORMACION PERFECTA
 El requisito de que la
cantidad de
colores (MENSAJES)
sea por lo menos
igual a la cantidad de
gustos (ESTADOS) es
una condición
necesaria pero no
suficiente.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
47
MAS MENSAJES QUE ESTADOS Y
HAY INFORMACION PERFECTA
 Cada uno de los
colores (MENSAJES)
debe estar
relacionado sólo con
un gusto (ESTADO)
RICARDO ESTEBAN LIZASO
48
LA FALTA DE MENSAJE
RICARDO ESTEBAN LIZASO
49
LA FALTA DE MENSAJE
 Si en algún caso todas las observaciones de
los estados no son corroboradas por algún
mensaje, puede tomarse al “silencio” como
otro mensaje adicional, correlacionado con las
observaciones no relacionadas.
 En el ejemplo si algunos alfajores no
estuviesen envueltos. Habría entonces tres
mensajes: Papel Azul, Papel Verde y Sin Papel.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
50
EJEMPLO
 Supongamos ahora que los alfajores de la
abuela son elaborados para ser vendidos en
una fiesta a beneficio de la escuela a donde
concurren sus hijos.
 Cada alfajor se venderá en $10. Pero si el
alfajor resulta ser de chocolate, le devuelven
$20, mientras que si es de dulce de leche le
reintegran el dinero que pagó.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
51
EJEMPLO
Chocolate
Membrillo D. de Leche
Valor
P(N1) = 0,20 P(N2) = 0,45 P(N3) = 0,35 Esperado
S1 Comprar
20
0
10
7,50
S2 No comprar
10
10
10
10
No le convendría comprar, desde el punto de
vista estrictamente monetario.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
52
EJEMPLO
 Pero si al momento de llegar a la fiesta
alguien le dice que se agotaron los alfajores
de la caja 2, es decir los envueltos en papel
verde, quedando sólo los celestes, el
esquema cambia
RICARDO ESTEBAN LIZASO
53
EJEMPLO
Chocolate
Membrillo D. de Leche
Valor
P(N1) = 0,375 P(N2) = 0,125 P(N3) = 0,50 Esperado
S1 Comprar
20
0
10
12,50
S2 No comprar
10
10
10
10
Ahora sí le conviene comprar un alfajor.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
54
EJEMPLO
 Pero si la información es que la caja que se
agotó es la número 1, quedando sólo los
alfajores verdes, la impresión será distinta
RICARDO ESTEBAN LIZASO
55
EJEMPLO
Chocolate Membrillo D. de Leche
Valor
P(N1) = 0,083 P(N2) = 0,667 P(N3) = 0,25 Esperado
S1 Comprar
20
0
10
4,166
S2 No comprar
10
10
10
10
Ahora le resultará aún menos simpático
comprar un alfajor.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
56
EJEMPLO
 Si el mensaje es Z2 se confirma la alternativa
elegida a priori, de no comprar ningún alfajor
(S2),
manteniendo
las
expectativas
monetarias en $10.
 Pero si el mensaje resulta ser Z1 conviene
cambiar de alternativa y comprar un alfajor
(S1), lo que permite aumentar las expectativas
a un valor esperado de $12,50.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
57
EJEMPLO: Valor de la información.
 ¿Cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a
pagarle a una persona que le dé la información
exacta de cuál es la caja que se agotó primero?
 El importe máximo que está dispuesto a pagar es
igual a la mejora en las expectativas monetarias, a
partir de de la situación inicial.
 Partiendo de la situación a priori, sin manejar
ningún mensaje conviene no comprar ningún
alfajor (S2) ya que, con las probabilidades a priori,
esta alternativa permite conservar los $10 en el
bolsillo sin gastarlos. RICARDO ESTEBAN LIZASO
58
EJEMPLO: Valor de la información.
 Si el mensaje es Z2 se confirma la alternativa
elegida a priori, de no comprar ningún alfajor (S2),
manteniendo las expectativas monetarias en $10.
 Pero si el mensaje resulta ser Z1 conviene cambiar
de alternativa y comprar un alfajor (S1), lo que
permite aumentar las expectativas a un valor
esperado de $12,50.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
59
EJEMPLO: Valor de la información.
 ¿Pero cuál de las dos es la nueva expectativa
a posteriori?
 Antes de recibir el mensaje concreto,
cualquiera de las dos tiene potencialidad de
suceder, en la misma medida en que sean
probables los distintos mensajes.
 El cálculo corresponde a la expectativa
promedio de las alternativas elegidas:
 P(Z1) * VE(S1) + P(Z2) * VE(S2)
 0,40 * $12,50 + 0,60 * $10 = $11
RICARDO ESTEBAN LIZASO
60
EJEMPLO: Valor de la información.
 Desde la expectativa inicial de $10 (valor
esperado de la alternativa más conveniente)
hasta los $11 (valor de la expectativa
promedio) se produjo una mejora de $1. Este
es el máximo que debería estar dispuesto a
pagar por la información. Pagar más sólo
bajaría las expectativas a posteriori y
convendría decidir sin comprar ninguna
información.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
61
EJEMPLO: Incertidumbre
 INCERTIDUMBRE.
 Para ver el tema desde el punto de vista de la
modificación de la incertidumbre se puede
utilizar la entropía como medida de dicha
incertidumbre.
 A simple vista se nota, en este caso, que la
incertidumbre a priori se ve reducida con
cualquiera de los dos mensajes. No siempre
sucederá así.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
62
EJEMPLO: Incertidumbre
 El
mensaje Z2 reduce mucho más la
incertidumbre que el mensaje Z1, sin embargo la
posibilidad de cambiar de alternativa se
manifiesta cuando el mensaje es Z1, lo que está
indicando que valor de la información e
incertidumbre no siempre corren parejos.
 Puede existir reducción de la incertidumbre,
pero esta no ser suficiente para lograr que la
información tenga valor.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
63
2° EJEMPLO: Incertidumbre
Supongamos el mismo caso anterior pero con la
variante de que si el alfajor es de chocolate le
devuelven sólo $13
Chocolate Membrillo D. de Leche
Valor
P(N1) = 0,20 P(N2) = 0,45 P(N1) = 0,35 Esperado
S1 Comprar
13
0
10
6,10
S2 No comprar
10
10
10
10
RICARDO ESTEBAN LIZASO
64
2° EJEMPLO: Incertidumbre
Z1
Chocolate
Membrillo D. de Leche
P(N1) = 0,375 P(N2) = 0,125 P(N1) = 0,5
Valor
Esperado
S1 Comprar
13
0
10
9,875
S2 No comprar
10
10
10
10
Z2
Chocolate
Membrillo D. de Leche
Valor
P(N1) = 0,083 P(N2) = 0,667 P(N1) = 0,25 Esperado
S1 Comprar
13
0
10
3,5833
S2 No comprar
10
10
10
10
RICARDO ESTEBAN LIZASO
65
2° EJEMPLO: Incertidumbre
 La incertidumbre, medida por la entropía, se
comporta de la misma manera que en el
primer caso, pero ahora no existe valor de la
información.
 El cálculo corresponde a la expectativa
promedio de las alternativas elegidas:
 P(Z1) * VE(S1) + P(Z2) * VE(S2)
 0,40 * $10 + 0,60 * $10 = $10
 Valor esperado a priori = $10
RICARDO ESTEBAN LIZASO
66
2° EJEMPLO: Incertidumbre
 La reducción de incertidumbre es necesaria para
que haya valor de la información adicional, pero
no es suficiente.
 Para que haya valor se necesita que la
información permita mejorar la decisión y esto
implica que en algún caso se cambie de la
alternativa elegida a priori.
 Si a pesar de la información siempre se elige lo
mismo, por más reducción de incertidumbre que
haya, no habrá valor de la información adicional.
RICARDO ESTEBAN LIZASO
67
Descargar

BAYES 'CASO DE LOS ALFAJORES'