Movimiento Ondulatorio,
Ondas
Ondas: Introducción I
Las ondas están relacionadas con muchísimos fenómenos
cotidianos y no tan cotidianos. Están por todos sitios a nuestro
alrededor:
• El sonido
•Las olas del mar y los tsunamis
•La luz
•La radio y los teléfonos
móviles
•Las ondas electromagnéticas
•Las ondas sísmicas de un
terremoto
•Ondas en cuerdas
•Y un largísimo etc.
¿Pero que son realmente las ondas??
 Definición formal:
“Una onda es una forma de transmisión de energía, en la que
una per-turbación se propaga a través del espacio sin que haya
transporte neto de materia”
¿Qué quiere decir esto?
animacion
2
Ondas: Introducción I
Las ondas están relacionadas con muchísimos fenómenos
cotidianos y no tan cotidianos. Están por todos sitios a nuestro
alrededor:
• El sonido
•Las olas del mar y los tsunamis
•La luz
•La radio y los teléfonos
móviles
•Las ondas electromagnéticas
•Las ondas sísmicas de un
terremoto
•Ondas en cuerdas
•Y un largísimo etc.
¿Pero que son realmente las ondas??
 Definición formal:
“Una onda es una forma de transmisión de energía, en la que
una per-turbación se propaga a través del espacio sin que haya
transporte neto de materia”
¿Qué quiere decir esto?
animacion
3
Ondas: Introducción II. Tipos de Ondas
Tipos de ondas
 Las ondas se pueden clasificar atendiendo a diferentes
criterios.
El primero de ellos tiene que ver con la dirección de
propagación de la onda y la dirección de la perturbación. En este
caso se dividen en:
Ondas transversales: La perturbación es perpendicular a la
dirección de propagación de la onda.
Ejemplos: ondas en cuerda, olas,
ondas electromagnéticas animacion
Ondas Longitudinales: La perturbación tiene la misma dirección (es
paralela) que la propagación de la onda.
Ejemplos: sonido, ondas
sísmicas…
animacion
4
Ondas: Introducción II. Tipos de Ondas
Tipos de ondas
 Existen otros tipos onda algo más complicadas, como las
ondas del mar, las olas en las que las partículas se mueven en
círculos
5
Ondas: Introducción II. Tipos de Ondas
Tipos de ondas
El segundo criterio se centra en la naturaleza (tipo) de la perturbación
y en si ésta necesita o no, un medio material para propagarse:
Ondas mecánicas: La perturbación es de tipo mecánico y necesitan un
medio material (aire, agua, cualquier sólido…) para propagarse.
Ejemplos: ondas en cuerda, olas, sonido, ondas sísmicas.
Es decir las partículas del medio “se empujan” unas a otras de forma que la
perturbación se transmite sin que las partículas “viajen”.
Ondas electromagnéticas: La perturbación es un campo eléctrico
asociado a uno magnético variante en el tiempo. La perturbación no necesita
un medio material para propagarse. (se propagan incluso en el vacío!!!).
Ejemplos: luz, radio. Rayos x, rayos uv,
microondas…
animacion
6
Una carga electrica en movimiento (acelerada)) produce un E y un B variables en el
tiempo. Esta variación seb transmite por el espacio en forma de ondas e.m.
Ondas: Introducción II. Tipos de Ondas
Tipos de ondas
Ondas mecánicas:
7
Ondas: Introducción II.
Tipos de Ondas
Tipos de ondas
El último criterio tiene en cuenta en cuantas direcciones
(dimensiones) se está propagando la onda ):
Ondas unidimensionales (1D):
Ondas Bidimensionales (2D):

Ondas Tridimensionales (3D):
8
Ondas: Introducción II.
Tipos de Ondas
Tipos de ondas
El último criterio tiene en cuenta en cuantas direcciones
(dimensiones) se está propagando la onda:
Ondas unidimensionales (1D):
Ondas Bidimensionales (2D):

Ondas Tridimensionales (3D):
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Ondas:
Introducción III. Definiciones y propiedades
Definiciones:
Pulso: Una perturbación momentánea, aislada, que se
transmite.
Tren de ondas: Una serie de perturbaciones consecutivas.
Onda: Se utiliza en general para cualquier caso.
animacion
Velocidad de propagación (v): Es la velocidad con que se
transmite (con que viaja) la perturbación y la energía que
transporta. La velocidad con que se propagan las ondas.
 Depende de las propiedades del medio por donde se transmite la
onda.
 Todas las ondas del “mismo tipo” propagándose por el mismo medio
viajan a la misma velocidad
10
Ondas:
Introducción III. Definiciones y propiedades
Velocidad de propagación (v): Es la velocidad con que se transmite (con que viaja) la
perturbación y la energía que transporta. La velocidad con que se propagan las ondas.
 Depende de las propiedades del medio por donde se transmite la onda.
 Todas las ondas del “mismo tipo” propagándose por el mismo medio viajan a la misma
velocidad.
Ejemplos:
Ondas en una cuerda:
T
v 
Ondas sonora en gases:
v 

γP
d
Donde T es la tensión de la cuerda y  
m
l
es la masa por unidad de longitud de la cuerda
Donde
P es la presión, d es la densidad y  es el
coeficiente adiabático del gas. Para el aire   1, 4
y v  340 m / s
Ondas electromagnéticas (velocidad de la luz):
v 
1

Donde  es la constante dieléctrica del medio y 
es su permeabilidad magnética. En el vacio:
1
8
c 
 3·10 m / s  300 . 000 Km / s
 00
11
Ondas:
Ondas armónicas I
Definición: Las perturbaciones que las originan son armónicas simples
y(t)  Asen( ωt   0 )
animacion
Características:
 Amplitud de la onda (A): Máximo valor de la perturbación (elongación, presión, intensidad del
campo eléctrico) en un punto
 Longitud de Onda (λ): Distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de
vibración (en fase). Unidad SI: m.
 Período T: Tiempo que tarda un punto cualquiera en describir un ciclo completo. Coincide con
el tiempo que tarda la perturbación en recorrer una distancia igual a λ. Unidad SI: s.
 Frecuencia: Número de oscilaciones completas que da un punto del medio en la unidad de
tiempo. También número de “longitudes de onda” (oscilaciones completas) que pasan por un
punto en la unidad de tiempo. Unidad SI: Hz=s-1.
12
Ondas:
Ondas armónicas I. Características
Definición: Las perturbaciones que las originan son armónicas simples
y(t)  Asen( ωt   0 )
y(x1,t)
y(x2,t)
A
y(x3,t)
A
y(x4,t)
Animacion
Características:
Perturbación (o elongación) (y(x,t)):
Amplitud de la onda (A):
Es el valor de la perturbación en cada punto
y en cada instante de tiempo. Evidentemente
depende de que posición y que momento de
tiempo estemos considerando.
Máximo valor de la perturbación
(elongación, presión, intensidad del campo
eléctrico…) en un punto
13
Ondas:
Ondas armónicas I. Características
ó
v  λ·f
λ ωt   0 )
y(t)  Asen(
y(x1,t)
y(x2,t)
y(x3,t)
y(x4,t)
Animacion
λ
Características:
Longitud de Onda (λ):
•Distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo estado de vibración
(que están en fase). Distancia entre dos valles o dos crestas consecutivos
•Se podría denominar período espacial.
•Unidades SI: metros (m).
14
Ondas:
Ondas armónicas I. Características
y(t)  Asen( ωt   0 )
Animacion
Características:
Período T:
•Tiempo que tarda un punto cualquiera en
describir un ciclo completo.
•Coincide con el tiempo que tarda la
perturbación en recorrer una distancia igual
a λ.
•Unidad en el SI: el segundo (s).
Frecuencia (f):
•Número de oscilaciones completas que da
cualquier punto del medio (aire, etc.) en la
unidad de tiempo.
•También número de “longitudes de onda”
(oscilaciones completas) que pasan por un
punto en la unidad de tiempo.
•Unidad SI: Hz=s-1.
15
Ondas:
Ondas armónicas II.
De las definiciones anteriores podemos deducir que para cualquier
onda armónica la velocidad de propagación cumple:
v 
λ
ó
T
v  λ·f
Muy bien, vale, maravilloso... Pero… para el examen
¿Como se representan matemáticamente las ondas??
Función de Onda: Es una función matemática que representa el valor de la
perturbación para cualquier punto del medio (por el que se propaga la onda) y
para cualquier instante de tiempo.
 Depende de dos variables: Espacio (x) y tiempo (t)
y(x, t)  f(x, t)
animacion
16
Ondas:
Ondas armónicas III: Función de onda.
¿Como es la función de onda de una onda armónica??
t1
y
y
y(t 1 )  A·sen(  ·t 1   0 )
y(x=0,t1)
Δt
v
y(x,t1)
x
animacion
t  t 1  Δt
y(t)  A·sen(  ·t   0 )
y(x=0,t)
v
y(x,t)
x
x  v·  t
 2

y(x  0, t 1 )  A·sen 
·t 1   0 
 T


¿ y(x, t)?
 2

y(x, t)  A·sen 
·t 1   0  
 T

 2

 A·sen 
·( t - Δt )   0 
 T

x  v·  t
t 1  t - Δt
2 x
2
 2

 2

·t ·  0 
y(x, t)  A·sen 
·t · t   0   A·sen 
T v
T
 T

 T

Pues esto es
la función
de onda!!!
2
 2

y(x, t)  A·sen 
·t ·x   0 
λ
 T

λ
v ·
T
17
Ondas:
Ondas armónicas III: Función de onda.
2
 2

y(x, t)  A·sen 
·t ·x   0 
λ
 T

ó
y(x, t)  A·sen  ·t -  ·x   0 
Si la onda viaja hacia la
derecha:
y(x, t)  A·sen  ·t -  ·x   0 
 
2
 2  f Frecuencia angular
T
ó Pulsacio n
2
K 
Número de ondas

Si la onda viaja hacia la
izquierda:
y(x, t)  A·sen  ·t   ·x   0 
animación
18
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 1 (5): Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x.
Si su amplitud es de 1cm, su frecuencia de 50Hz y la longitud de onda es de 10cm.
Suponiendo que en el instante t=0 y en el punto x=0 la perturbación es nula (y(0,0)=0)
determina:
a) El período, la frecuencia angular y el número de ondas (K).
b) La ecuación de onda
c) La velocidad de propagación de la onda.
d) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?
a)
2
1
Datos:
 
 2  f  100   314 rad / s
T 
 0 , 02 s
• A=1cm=0,01m
T
f
• f=50Hz,
2
2
1
• λ=10cm=0,1m
k 

 20   62 ,8 m
• y(0,0)=0

0 ,1
b)
y(x, t)  A·sen  ·t -  ·x   0 
y(x, t)  0 ,01 ·sen 100  ·t - 2 0  ·x 
y(x, t)  0 ,01 ·sen 314 ·t - 62 ,8·x 
c)
Condiciones
iniciales
A
φ0
y(t=0)=y0
v(t=0)=0
y0
π/2
y(t=0)=0
v(t=0)=v0
v0/ω
0
v  λ·f  5 m / s
19
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Nota sobre la fase inicial y las condiciones iniciales:
Ten en cuenta que la fase inicial φ0 tiene relación con el valor de la perturbación en el
punto x=0 del medio y en el instante inicial (t=0). Recordando del tema anterior la
relación entre las condiciones iniciales y φ0 y A, tenemos:
y
t  0
y(t  0)  A·sen(  ·0   0 )  y(0,0)
v
x
Caso:
Condiciones
iniciales
A
φ0
y(t=0)=y0
v(t=0)=0
y0
π/2
y(t=0)=0
v(t=0)=v0
v0/ω
0
Cualquier
otro caso
 0  arctg   0 
 v0 

y 
A 
y0
sen ( 0 )
20
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 1: Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. Si su
amplitud es de 1cm, su frecuencia de 50Hz y la longitud de onda es de 10cm. Suponiendo
que en el instante t=0 y en el punto x=0 la perturbación es nula (y(0,0)=0) determina:
a) El período, la frecuencia angular y el número de ondas (K).
b) La ecuación de onda
c) La velocidad de propagación de la onda.
d) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?
Datos:
• A=1cm=0,01m
• f=50Hz,
• λ=10cm=0,1m
• y(0,0)=0
d)
y(x, t)  0 ,01 ·sen 100  ·t - 2 0  ·x 
y(x   0 ,3; t)  0 ,01 ·sen 100  ·t - 2 0  ·(  0 ,3)   0 ,01 ·sen 100  ·t  6 
v(x   0 , 3; t) 
dy
dt
v(x   0 , 3; t) 
  A cos(  t  cte )  (100  ·0 ,01 )·cos 100  ·t  6 
dy
dt
  A cos(  t  cte )   ·cos 100  ·t  6 



21
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 2(7): Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda con la siguiente
función de onda (en el SI) y(x,t)=0,005sen(400πt-20πx). Determina:
a)
b)
c)
d)
El período, la frecuencia y la longitud de onda.
El sentido en que se mueve la onda período, y la velocidad de propagación de la onda.
¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?
¿Cuál es la velocidad máxima de ese punto?
Datos:
• A=0,005m
• ω=400π rad/s,
• K=20π m-1
• φ0=0 rad
a)
T 
1

f
f 

2

2


400 
2
2
400 
1

 0 , 005 s
200
 200 Hz
 
2

k
2
20 
 0 ,1 m
b) Sentido positivo del eje x
v  λ·f  0 ,1·200  20 m / s
c)
y(x   0,3m, t)  y(t)  0,005·sen
 400  ·t - 20  ·(-0,3) 
y(x   0,3, t)  y(t)  0,005 ·sen  400 π·t  6 π 
y(t  1s)  0,005 ·sen  400 π  6 π   0,005 ·sen  406 π   0
22
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 3 (16,p128 guadiel): : Determina la elongación de una partícula situada en una
cuerda tensa sobre el semieje positivo OX a una distancia λ/6 respecto del foco emisor,
cuando el tiempo transcurrido es exactamente T/4 y A=2cm. Ten en cuenta que
y(0,0)=0.
23
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 4 (17,p128 guadiel): : La velocidad de una onda en una cuerda tensa situada en el
eje x es de 8m/s. La ecuación de la onda es y(x,t)=0,3·sen(16πt+kx) (en SI). Determina:
a) La amplitud, la frecuencia y el sentido de propagación de la onda
b) El valor de k
c) La velocidad del punto de la cuerda correspondiente a un punto en x=0,5m cuando
t=60s.
24
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 5 (19,p128 guadiel): Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte
horizontal en el sentido negativo del eje x siendo 20cm la distancia entre dos puntos
consecutivos que estén en fase. El foco emisor vibra con una frecuencia de 25Hz y una
amplitud de 3cm. Calcula:
a)La velocidad con que se propaga la onda.
b)La ecuación de la onda
c)La velocidad y la aceleración máxima de cualquier punto del resorte.
25
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 6 (20,p128 guadiel): La función y(x,t)=0,3·sen(4πt-8πx) (SI) nos describe el
movimiento ondulatorio de una cuerda.
a) ¿Qué puntos de la cuerda estarán en fase con el punto que se encuentra en
x=3m?
b) ¿Para que tiempos el estado de vibración de este punto será el mismo que
para t=2s?
a)
 ( x , t )  ( t  kx )
 ( x n )   ( x 0  3)   t  kx n   t  kx 0  2 n
kx n  kx 0  2 n 
xn  x0 
λ
λ
y(x0,t)
y(x1,t)
2 n
k
 x0  n
n  0 ,  1,  2 ,  3 ...
y(x2,t)
26
Ondas:
Ondas armónicas IV. Ejemplos
Ejemplo 6 (20,p128 guadiel): La función y(x,t)=0,3·sen(4πt-8πx) (SI) nos describe el
movimiento ondulatorio de una cuerda.
a) ¿Qué puntos de la cuerda estarán en fase con el punto que se encuentra en
x=3m?
b) ¿Para que tiempos el estado de vibración de este punto será el mismo que
para t=2s?
b)
 ( x , t )  ( t  kx )
 ( t n )   ( x 0  3, t 0  2 s )   t n  kx 0   t 0  kx 0  2 n
 t n   t 0  2 n 
tn  t0 
2 n

 t 0  nT
n  0 ,  1,  2 ,  3 ...
27
Ondas:
Ondas armónicas V: Energía de una onda armónica
t
y
y(x 1 , t)  A·sen(  ·t  kx 1   0 )
A
y(x=0,t)
v
y(x1,t)
x
•La energía inicial del punto A (antes de que la onda) es: Emec=0
2
•La energía final del punto A (cuando llega la onda) será: E MEC  E CMAX  1 m A ·v MAx
2
¿Cuanto vale esta vmax?:
v 
dy(x 1, t)
dt
E
A
 A·  ·cos(  ·t  kx 1   0 )
 E CMAX 
1
2
m A ·v MAx 
2
1
2
2
m A ·ω ·A

2
v MAX  A· 

E
A
 2  m A ·f ·A
2
2
2
“La energía que transporta una onda es directamente proporcional al cuadrado
de la frecuencia (f2) y al cuadrado de la amplitud (A2)”
28
Ondas electromagnéticas
Ondas electromagnéticas:
• Es un fenómeno físico
que transporta energía
mediante la vibración de
campos eléctricos y
magnéticos.
• Están producidas por
carga eléctricas en
movimiento (aceleradas)
• Tienen tres propiedades
fundamentales:
•Frecuencia (f)
•Longitud de onda (λ)
•Energía que
transportan (E)
•Velocidad de
propagación (con la
que viajan “viajan”) (c)
• Cumplen:
c  ·f
29
Ondas electromagnéticas: Espectro electromagnético
30
Ondas:
Ondas armónicas VI: Propagación en 2D y 3D. Frentes
de onda, potencia e intensidad.
•Frentes de onda: Es la figura geométrica formada por todos los puntos con el
mismo estado de vibraci¡on
Frentes de onda circulares
Frentes de onda esféricos
Frentes de onda planos
31
Ondas:
Ondas armónicas VII: Atenuación y absorción
•Absorción: Debido al rozamiento de las partículas del medio (y otros efectos más
cómplejos) parte de la energía de la onda se disipa en el medio (se pierde) en forma de
calor, etc.
•Por este motivo según la onda avanza la energía transmitida, la potencia y la amplitud
de la onda van disminuyendo.
Animacion
32
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Movimiento Ondulatorio, Ondas