PPTCEG024EM32-A15V1
EM-32
Rotación y reflexión en el plano
Aprendizajes esperados
• Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con
respecto al origen.
• Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con
respecto a un punto distinto del origen.
• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de
simetría.
• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a los ejes
coordenados.
• Aplicar simetría central de puntos y figuras con respecto al origen y
con respecto a un punto distinto del origen.
• Aplicación de la composición de transformaciones isométricas.
Pregunta oficial PSU
39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen
O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90°
alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes
opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de
estas transformaciones isométricas?
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
1. Rotación
2. Simetría o reflexión
3. Composición de transformaciones
isométricas
1. Rotación
Definición
Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de
rotación en un ángulo determinado.
O: centro de rotación
O
La rotación es positiva si es en sentido anti-horario (contrario a
los punteros del reloj).
1. Rotación
Rotación, respecto al origen
Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en
360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la
siguiente tabla:
Ángulo
Punto
A(x, y)
90°
180°
270°
360°
(–y, x)
(–x, –y)
(y, –x)
(x, y)
90°
180°
270°
360°
(–8, –5)
(5, –8)
Ejemplo:
Ángulo
Punto
A(5, –8)
(8, 5)
(–5, 8)
1. Rotación
Ejemplo:
Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en
el punto A´(– 3, 2).
5
4
A
3
A´
2
1
–3 –2 –1
1
2
3
4
1. Rotación
Ejemplo:
Al rotar el punto A(-2,5) en 180°, en sentido positivo y con centro en el
origen éste se transforma en el punto A´(2,-5).
1. Rotación
Ejemplo:
Al rotar el punto A(-2,5) en 270°, en sentido positivo y con centro en el
origen, éste se transforma en el punto A´(5, 2).
1. Rotación
Rotación, respecto a un centro
Ejemplo:
El cuadrado ABCD de la figura se transforma en el cuadrado A´B´C´D´ al
rotarlo en 90° (sentido negativo), entorno al centro O.
Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación
positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.
1. Rotación
Rotación, respecto a un punto distinto del origen
¿Cómo resolverías la primera parte del problema?
El punto B(5, 4) se rota en torno al punto A(1, 1) en 90°, obteniéndose el
punto B’. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y
B’?
B´
5
B
4
3
2
1
–3 –2 –1
A
1
2
3
4
5
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
1. Rotación
Rotación, respecto a un punto distinto del origen
Se puede trasladar el punto A al origen utilizando el vector T(– 1, – 1).
Al aplicarlo a B, quedaría en las coordenadas (4,3).
Luego, se rota en 90°, quedando B en las coordenadas (– 3,4).
5
B´
B
4
3
2
1
–3 –2 –1
A
1
2
3
4
5
Para responder a la pregunta, aplicamos el vector T´(1,1), quedando B
en las coordenadas (– 2,5).
2. Simetría o reflexión
Definición
Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a
una figura, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).
2. Simetría o reflexión
Tipos de simetría
Simetría axial: reflexión respecto de un eje.
A
A´
M
Eje de Simetría
MA  MA´
2. Simetría o reflexión
Tipos de simetría
Simetría central: reflexión respecto a un punto.
A
O
O : centro de simetría
OA  OA´
A´
2. Simetría o reflexión
Simetría axial en el plano cartesiano
La simetría axial, corresponde a una transformación geométrica que
hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que
los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría.
5
y
eje de simetría: x = 1
4
A
3
M
3 unidades
2
A’
3 unidades
1
-3 -2 -1
1
2
3
4
AA’ es perpendicular al eje de simetría
AM  MA’
x
2. Simetría o reflexión
Simetría axial en el plano cartesiano
Ejemplo 1:
Al aplicar una simetría axial al lápiz de la figura, respecto al eje de las
ordenadas (y), el resultado es el siguiente:
5
y
4
3
2
1
A
4 unidades
-3 -2 -1
A’
4 unidades
1
2
3
4
x
2. Simetría o reflexión
Simetría axial en el plano cartesiano
Ejemplo 2:
Al aplicar una simetría axial a la imagen de la figura, respecto al eje de
las abscisas (X), el resultado es el siguiente:
3
y
A
2
3 unidades
1
x
-3 -2 -1 -1
1
3 unidades
-2
-3
A’
2
3
4
2. Simetría o reflexión
Simetría central en el plano cartesiano
La simetría central corresponde a una transformación isométrica de
modo que el simétrico de un punto A, con respecto a un punto O,
es A`, donde OA  OA´ y A` pertenece a la recta AO .
Ejemplo:
5
C
4
y
OA  OA´
OB  OB´
B
OC  OC´
3
A
2
O
A´
1
B´
-3 -2 -1
1
2
3
4
x
C´
La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.
3. Composición
Composición de transformaciones isométricas
El artista clave que representa al tema de isometrías, es
Escher (1898). Para él la escuela era una pesadilla, excepto
las clases de dibujo. Sin embargo, el carácter matemático de
sus obras ha hecho que sea uno de los artistas más
populares en los entornos científicos, especialmente
matemáticos e informáticos.
Algunas de sus obras
Curiosamente, sus conocimientos matemáticos
siempre fueron muy limitados. Muchas de las
conclusiones gráficas y matemáticas a las que
llegó, que le permitirían realizar algunos de sus
trabajos, tuvo que descubrirlas por sí mismo.
“Mariposas”
“Peces
y barcos”
“Jinetes”
3. Composición
Composición de transformaciones isométricas
¿Cómo lo hizo?
180°
Realizó rotaciones de 60°
alrededor de un centro “O”.
3. Composición
Ejemplo de composición: Teselación
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre
completamente una superficie plana, de manera que no queden
espacios y no se superpongan las figuras.
¿Cómo crear una imagen para teselar?
Podemos usar polígonos regulares como el cuadrado, triángulo
equilátero y hexágono regular, los que permiten cubrir el plano.
3. Composición
Además, mediante transformaciones isométricas, se pueden descubrir
nuevos diseños para teselar.
Ejemplo:
1°
2°
3°
5° Aplicando simetría y traslación…
…podemos cubrir el Plano (Teselar).
4°
3. Composición
Composición en el plano cartesiano
Ejemplo:
Si el punto A (– 2,3) es parte de la mariposa de la figura, ¿cuáles serán
sus nuevas coordenadas luego de aplicar una rotación positiva de 90°
respecto al origen, y a continuación una traslación T(5,3)?
A
3
y
2
1
x
-3 -2 -1
1
2
3
4
3. Composición
Composición en el plano cartesiano
1° Al aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen resulta:
A´(– 3, – 2)
A(– 2,3)
A
3
y
2
A´´
1
x
-3 -2 -1
1
2
3
4
A´
2° Al aplicar el vector traslación T(5,3) resulta: A´(– 3, – 2)
A´´(2,1)
Pregunta oficial PSU
39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen
O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90°
alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes
opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de
estas transformaciones isométricas?
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
A
Transformaciones Isométricas
Comprensión
2
D
Transformaciones Isométricas
Comprensión
3
B
Transformaciones Isométricas
Aplicación
4
B
Transformaciones Isométricas
Aplicación
5
C
Transformaciones Isométricas
ASE
6
A
Transformaciones Isométricas
Aplicación
7
D
Transformaciones Isométricas
Aplicación
8
A
Transformaciones Isométricas
Comprensión
9
B
Transformaciones Isométricas
Aplicación
10
A
Transformaciones Isométricas
ASE
11
C
Transformaciones Isométricas
Comprensión
12
D
Transformaciones Isométricas
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
C
Transformaciones Isométricas
ASE
14
D
Transformaciones Isométricas
Comprensión
15
E
Transformaciones Isométricas
ASE
16
E
Transformaciones Isométricas
ASE
17
B
Transformaciones Isométricas
Comprensión
18
D
Transformaciones Isométricas
ASE
19
E
Transformaciones Isométricas
ASE
20
D
Transformaciones Isométricas
ASE
21
D
Transformaciones Isométricas
ASE
22
A
Transformaciones Isométricas
Aplicación
23
C
Transformaciones Isométricas
ASE
24
E
Transformaciones Isométricas
ASE
25
E
Transformaciones Isométricas
ASE
Síntesis de la clase
Rotación
Respecto
al origen
Respecto a un punto
distinto del origen
Simetría o Reflexión
Axial
Composición
Central
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
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Matemática
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