Matemática Básica (CC.)
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Sesión 9.2: Funciones
Definición
Dominio y rango
Grafica
Aplicaciones
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FUNCIONES
En forma breve, una función es un tipo especial de
relación que expresa como una cantidad (la salida)
depende de otra cantidad (la entrada). Por ejemplo,
cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés, el
interés I (salida) depende del tiempo t (entrada) que el
dinero este invertido. Para expresar esta dependencia
decimos que I es una función de t. Las relaciones
funcionales como esta en general se especifican
mediante una formula que muestra lo que debe hacerse
con la entrada para determinarla salida
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Para ejemplificar esto, suponga que $100 ganan un
interés simple a una tasa anual del 6%. Entonces,
como sabemos que el interés y el tiempo están
relacionados por la formula
I =100(0,06)t
(1)
donde I esta en dólares y t en años. Por ejemplo si
t=0,5 entonces I =100(0,06)(0,5)=3
(2)
Así la formula (1) asigna a la entrada 0,5 la salida 3.
Podemos pensar en la formula (1) como una regla
que asigna a cada numero de entrada t exactamente
un numero de salida I
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DEFINICION DE FUNCION
Una función es una regla o correspondencia que
asigna a cada número de entrada un único número de
salida.
Al conjunto de número de entrada para los cuales se
aplica la regla se llama el dominio de la función. Al
conjunto de números de salida se llama rango.
Para la función de interés definida por la formula
(1), el numero de entrada t no puede ser negativo, ya
que el tiempo negativo no tiene sentido. Así, el
dominio consiste en todos los números no negativos;
esto es t ≥0. De (2) vemos que cuando la entrada es
0,5, la salida es 3. De modo que 3 esta en el rango.
4
Una variable que representa a los números de
entradas para una función se denomina variable
independiente. Una variable que representa a los
números de salida se denomina variable
dependiente, ya que su valor depende del valor de
la variable independiente. Decimos que la variable
dependiente es función de la variable
independiente. Esto es la salida es una función de
la entrada. Así para la formula I=1001(0,06)t, la
variable independiente es t, la variable dependiente
es I, e I es una función de t.
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NOTACION FUNCIONAL
Si decidimos llamar f a una función y x es una de
las entradas en el dominio de f, entonces f (x), que
se lee “f de x”, representara el numero de salida en
el rango de f que corresponde a la entrada x.
Así:
entrada
nombre de
la función
f(x)
salida
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EJEMPLO 1: Función de utilidad
Cuando se venden q unidades de cierto producto,
la utilidad P esta dada por la ecuación P=1.25q
1. ¿Es P función de q?
2. ¿Cuál es la variable dependiente y cual la
independiente?
3. ¿Cuál es el dominio?
4. ¿Y el rango?
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DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE UNA
FUNCIÓN
El dominio de una función es el conjunto de todos
los números para los cuales la regla de la función
tiene sentido.
EJEMPLO 2
Determinar el dominio de las siguientes funciones
(a )
(b )
f ( x) 
h( x) 
5 x  15
4
3 x  18
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GRAFICAS DE FUNCIONES
El método más común para visualizar una
función es su grafica. Por definición la grafica de
una función f es la grafica de la ecuación y=f (x)
para x en el dominio de f.
EJEMPLO 3
Haga una grafica de la función del ejemplo 1,
indicando el dominio y rango
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INFORMACION A PARTIR DE LA GRAFICA
La grafica de una función nos da una imagen útil del
comportamiento, o la historia de vida, de una función. Como
la coordenada y de cualquier punto (x;y) de la grafica es f(x),
podemos leer el valor de f(x) a partir de la grafica, como la
altura dirigida de esta ultima a partir del punto x. La grafica
de también nos permite tener una imagen del dominio y del
rango de sobre el eje x y el eje y respectivamente.
y
y
y = f (x)
(x,f (x))
rango
f (x)
f (2)
f (1)
0
1
2
x
x
0
x
dominio
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EJEMPLO 4
En la figura se muestra se muestra la grafica de
una función f. Hallar:
y
1. f (-1) y f (3)
2. El dominio
3. El rango
4.Los x talque f (x)>0
5.Los x talque f (x)=0
6.Los x talque f (x)<0
x
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PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL
La grafica de una función es una curva en el plano.
Pero surge la siguiente cuestión; ¿Cuáles curvas en
el plano son graficas de funciones? El siguiente
resultado, conocido como prueba de la recta vertical
responde a lo anterior. “Toda recta vertical corta a la
grafica de una función a lo mas en un punto”.
y
y
(a,c)
(a,b)
a
Es la grafica de
una función
x
(a,b)
a
No es la grafica
de una función
x
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EJERCICIOS DE APLICACION
EJERCICIO 1: Altas en un hospital.
Una compañía de seguros examinó el registro de un
grupo de individuos hospitalizados por una
enfermedad en particular. Se encontró que la
proporción total de quienes habían sido dados de alta
al final de t días de hospitalización está dada por:
 300 
f (t )  1  

 300  t 
3
Determine: a. Hallar e interpretar f (0)
b. Hallar e interpretar f (100)
c. ¿Cuántos días después se habrá dado
de alta al 99% del grupo?
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EJERCICIO 2
En la figura se muestra la
grafica de una función f.
A partir de ella se pide
hallar:
y
4
1
-4
-6
-2
3
6
x
a. f(0) y f(6)
-2
b. El dominio y el rango.
c. Los valores de x talque f(x) = 0
d. Los valores de x talque f(x) > 0
e. Los puntos de intersección con los ejes coordenados
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EJERCICIO 3: Vasos de refresco
El número de vasos de refresco vendidos a través
de una máquina en una estación de servicio está
indicado por la tabla siguiente:
Hora del día
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17
# vasos
6
6
12 15 32 26 20 18 12
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a. Haz una representación gráfica
b. ¿Cuál es la hora de mayor consumo de refrescos?
c. ¿Cuántos refrescos se han consumido hasta las 11 horas?
d. Si la capacidad de la máquina es de 100 vasos, ¿a qué
hora se ha rellenado?
e. ¿Puede representar una situación real de esta tabla? ¿Por
qué?
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EJERCICIO 4: Paseo de dos amigos
Pedro y Pamela son compañeros
de clase y quedan un día para salir.
Pedro sale de su casa y recoge a
Pamela, que tarda un poco en bajar.
Después dan un paseo y se sientan
en una cafetería a tomar un refresco.
Al regreso se acercan a casa de Luís a recoger unos
apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después
regresan a casa.
La gráfica del paseo viene aquí representada.
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Espacio
(metros)
2000
1500
1000
500
10
11
12
13
Hora
Responder a las preguntas de planteadas en la
pagina 151 de la separata, ejercicio 7
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EJERCICIO 5: Salario
Un oficial gana 15 00 soles la hora y su ayudante 10 00
soles la hora. Un día, el ayudante empieza a trabajar a
las 8:00 a.m. y el oficial a las 10:00 a.m.
A.¿Cuánto dinero lleva ganado cada uno a las 10:00 a.m. y
a las 11:00 a.m.?
B. El oficial y, su ayudante siguen trabajando hasta las 3:00
p.m.. Construye una tabla en la que reflejes hora a hora
el dinero que va ganando cada uno de ellos.
C. Representa gráficamente los valores de la tabla. ¿A qué
hora han ganado la misma cantidad?
D.¿Puedes deducir la expresión algebraica o fórmula que
determina lo que gana el oficial según las horas
trabajadas? ¿Y su ayudante?
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