ESFUERZO DE ORIGEN TÉRMICO
CALOR
Ms. JOEL HERRADDA VILLANUEVA
ESFUERZO DE ORIGEN TÉRMICO
C
A
L
O
R
L=L 0
T
Lo
ΔL
L
α se denomina Coeficiente de dilatación térmica y es característica de cada material; sus
valores están tabulados y se expresan en unidades 1/ºC.
En el caso mas simple, se tiene una barra de longitud Lo:
Lo
Lo dilata una cantidad ΔL cuando la temperatura de Lo se incrementa.
Lo
L
L=Lo+ΔL Є=ΔL/Lo=(L-Lo)/Lo Є es positivo
ΔL
Lo contrae una cantidad ΔL cuando la temperatura disminuye
L
ΔL
Lo
L=Lo-ΔL Є=ΔL/Lo=( L-Lo )/Lo Є es negativo
 La
experiencia ha demostrado que si
incrementamos la temperatura de un
cuerpo éste se dilata ( aumenta sus
dimensiones) y si se decrementa la
temperatura éste se contrae (reduce
sus dimensiones); este fenómeno es
reversible, es decir, cuando el cuerpo
vuelve a la temperatura inicial,
recupera las dimensiones que tenía
inicialmente.

Fácilmente se comprende que en un cuerpo
en cuyo interior exista un gradiente de
temperaturas, las dilataciones de las
superficies que se encuentren en un instante
determinado a mayor temperatura serán
superiores a las de temperaturas más bajas,
y esta dilatación relativa de unas superficies
respecto de otras, serán causa de un estado
de tensiones que en algunos casos (como
ocurre en las turbinas de vapor y motores
Diesel) puede ser de extraordinaria
importancia su conocimiento.
 Consideraremos
en primer lugar, el
caso en que el gradiente de
temperaturas es nulo, es decir, cuando
en todo el material la temperaturas es
nulo, es decir, cuando en todo el
material la temperatura es uniforme.

Experimentalmente se ha obtenido que la
variación de la longitud con la temperatura
es una función lineal, por lo que los
alargamiento
serán
directamente
proporcionales a los incrementos de
temperatura.
ℓ = ℓo (1 + a ΔT)
o bien
Δl = a ℓ ΔT

La constante de proporcionalidad α es una
característica física del material y se llama
coeficiente de dilatación lineal.

Los valores que toma este coeficiente para
los materiales más usuales en construcción
se reflejan en la tabla que se muestra en la
siguiente diapositiva.

En consecuencia, el cambio unitario en la
longitud de la barra debido a la variación de
temperatura, ΔT, será:
 
l
l
 a T

Es evidente que si la barra sometida a un
cambio de temperatura es libre, no
aparecerá tensión alguna, ya que no existe
ninguna fuerza sobre la misma.

En cambio, si la barra como frecuentemente
ocurre está impedida a alargarse, el
fenómeno es equivalente a una compresión
cuyo acortamiento sea igual al alargamiento
térmico.

Por la ley de Hooke, en la barra se creará
una tensión normal dada por la ecuación
s = -E  = -E a ΔT
 En
la construcción y en el diseño
de miembros de un mecanismo o
elementos estructurales, es
necesario tener en cuenta las
deformaciones térmicas, sobre todo
cuando se emplean distintos
materiales.
 Algunas
veces, los valores del
coeficiente de dilatación térmica
son casi iguales, entonces se
favorece su uso conjunto, como
ocurre con el hormigón y el acero
cuando se utilizan ambos en el
hormigón armado.

Es conveniente utilizar el siguiente procedimiento
para determinar las tensiones térmicas cuando se
impiden las dilataciones:
– Se calcula la dilatación, como si ésta fuera libre.
– Se aplica la fuerza de tracción o compresión
monoaxial para que la pieza ocupe la posición a
la que está obligada por las ligaduras impuestas.
– Se hace un esquema gráfico de los dos
apartados anteriores y se deducirá de él la
relación o relaciones geométricas entre las
deformaciones debidas a las variaciones
térmicas y las fuerzas de tracción o compresión
aplicadas.
Ejemplos:

La viga rígida indeformable articulada en el punto O
está colgada de dos tirantes elásticos iguales.
Determinar los esfuerzos en los tirantes al
calentarlos ∆T oC.

Cortamos los tirantes e introducimos las fuerzas N1
y N2 [figura (b)].
 Igualando a cero la suma de los momentos de las
fuerzas respecto a la articulación O, hallaremos
N1 a + 2 N2 a = 0

Supongamos ahora que, como resultado del
calentamiento de los tirantes, la viga rígida gira
alrededor del punto O y ocupa la posición A’B’
[figura (b)].
 De la semejanza de los triángulos OAA’ y =OBB’,
hallaremos
∆ℓ2 = 2 ∆ℓ1
O de acuerdo con la ecuación que nos da el
alargamiento de una barra homogénea, solicitada en
sus extremos y calentada uniformemente:
 
P
ES
  a T
 N1 
  a  T  2 
  a T
E S
E S
N2 




Es decir,
N2 – 2 N1 = E S α ΔT

Resolviendo esta ecuación simultáneamente con la de
equilibrio, obtendremos,
N1  

2
5
E S a T
y
N2 
1
E S a T
5
El signo negativo de N1 indica que la primera barra no
trabaja a tracción como se supuso anteriormente, sino a
compresión.
Se trata de un problema hiperestático por lo que es conveniente
suponer que el extremo superior se encuentra libre. El DSL será
como el de la figura. En esta condición la viga puede deformarse
libremente, entonces:
 L  a L  T  ( 23 , 4 x10
6
/º C )(1m )( 5  10 )º C   2 ,34 x10
4
m
Esta sería la contracción que sufriría la viga por efecto térmico
estando su extremo libre.
Calcularemos entonces la fuerza que sería necesaria para
colocar el extremos superior de la viga en su posición original.
De la relación:
F 
 L . A. E
L
F 
( 2 ,34 x10
4
2
5
2
m )( 10 cm )( 2 ,8 x10 kg / cm )
 655 , 2 kg
1m
Por lo tanto la tensión (esfuerzo) que se desarrolla en la viga por efecto térmico es:
s 
F
A

655 , 2 kg
10 cm
Entonces:
2
s  65 ,52 kg / cm
2
Solución:
El cambio de longitud (acortamiento) por efecto térmico será:
L  LaT
 L  (11 ,5 x10
4
/º C )( 300 mm )( 20  200 )º C  62 ,1mm
 
La deformación axial unitaria es:
L

L
62 ,1mm
 0 , 207
300 mm
Luego, el esfuerzo que se desarrolla en la barra es:
s   E  0 , 207 ( 2 ,1 x10 N / mm )
5
2
s  43470 N / mm
2
Probablemente después de una ligera deformación, la barra se rompa, antes de
que la temperatura alcance los 20 ºC.
Solución:
El aumento de temperatura necesario para que el extremo A de la barra alcance la
pared rígida se determina de la expresión correspondiente a la deformación por
efecto térmico
De la relación:  L  L a  T
T 
L
La
Obtenemos,
0 , 2 mm

(19 x10
6
 5 , 26 º C
/º C )( 200 mm )
El incremento de temperatura que exceda los 5,26 ºC originará esfuerzo de origen
térmico en el interior de la barra.
Este incremento de temperatura es:
 T  50 º C  5 , 26 º C  44 , 74 º C
El esfuerzo que se genera en el interior de la barra por efecto de este incremento
de temperatura es:
s  E  EaT
s  (110 GPa )(19 x10
6
/º C )( 44 , 74 º C )  0 , 0935 GPa
s  93 ,5 MPa
Solución:
Podemos determinar la fuerza cortante en el tornillo vertical y en base a él se
pueden realizar cálculos para la varilla de acero.
Área del tornillo:
2
D
 ( 0 , 01 m )
5
2
A

4
 7 ,854 x10 m
4
Entonces la fuerza cortante en el tornillo es:
F   A  ( 60 x10 Pa )( 7 ,854 x10
6
La fuerza en la varilla será:
5
m )  4712 , 4 N
2
P  2 F  2 ( 4712 , 4 N )  9424 ,8 N
P
El esfuerzo en la varilla es: s 
9424 ,8 N

A
7 ,854 x10
5
 1, 2 x10 Pa  120 Mpa
8
m
2
El aumento de temperatura que genere este esfuerzo se puede calcular utilizando
la relación:
s  EaT
Así:
T 
s
aE
8

1, 2 x10 Pa
9
( 200 x10 Pa )( 12 x10
6
 50 º C
/º C )
 T  50 º C
EJEMPLO:
La barra AC representada en la figura es totalmente rígida, está articulada en A y
unida a las barras BD y CE. El peso de AC es 5 000 kg y el de las otras dos barras
es despreciable. Si la temperatura de las barras BD y CE aumenta 40 ºC. Hallar los
esfuerzos producidos en esas barras. BD es de cobre para el cual E = 1,05 x 106
kg/cm2 , α = 17,7 x 10-6 / ºC y la sección 12 cm2 , mientras que CE es de acero
para el cual E = 2,1 x 106 kg/cm2, α = 11 x 10-6 / ºC y la sección 6 cm2 , despreciar
la posibilidad de pandeo lateral en las barras
El diagrama de sólido libre de la barra ABC se muestra en el gráfico siguiente:
Del equilibrio del sistema podemos obtener las siguientes ecuaciones:
F
F
x
 0  Ax  0
y
 0  A y  BD  CE  5000 kg
M
A
 0  BD (120 )  CE ( 240 )  5000 (120 )
 BD  2 CE  5000 kg ----(1)
Como se aprecia el problema es hiperestático, por lo que requerimos suplementar
las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de deformación de los componentes
del sistema en estudio.
Las barras BD y CE se deforman por acción mecánica y efecto térmico, entonces
la barra ABC adoptará una posición inclinada como se muestra en el esquema
De este esquema se obtiene:
 BD

120 cm
 CE
240
  CE  2  BD -------- (2)
La deformación cuando es originada por acción mecánica y por efecto térmico se
expresa de la forma siguiente:
 
P
  a T
E A
De la ecuación (2) con los datos del problema se tiene:
CE ( 90 cm )
6
2
2
2 ,1 x10 kg / cm ( 6 cm )
 90 cm (11 x10
6


BD ( 90 cm )
6
/º C )( 40 º C )  2 
 90 cm (17 , 7 x10 /º C )( 40 º C ) 
6
2
2
 1, 05 x10 kg / cm (12 cm )

De donde: 7,1429 CE-4,2857 BD = 87 840 ----------(3)
Considerando la ecuación (1) tenemos:
7,1429 CE – 14,2857(5 000 kg – 2 CE) = 87840
CE = 4 459,52 kg
s CE 
s BD 
y
4459 ,52 kg
6 cm
2
 3919 , 04 kg
12 cm
2
BD = - 3 919,04 kg
de donde:
entonces los esfuerzos serán:
s CE  743 , 25 kg / cm
2
s BD   326 ,59 kg / cm
2
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