Alianza para el Aprendizaje de Ciencias y
Matemáticas (AlACiMa)
Conociendo Números Irracionales Famosos

1
5
2
29 sept. 07
Prof. Margarita Santiago
2
1
Parte I
• Objetivo: Repasar cuáles son los
números naturales, enteros, racionales,
irracionales, reales y relaciones entre
ellos.
En la siguiente tabla escribe dos ejemplos
inventados por tí de números naturales, enteros,
racionales, irracionales y reales. Autoevalúa tu
ejecutoria utilizando la rúbrica 1.
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2
Números
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Auto
evaluación
% Dominio
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
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3
Rúbrica 1
Escala
Número de
ejercicios correctos
Dominó
10, 9 u 8
Dominio Parcial 7, 6, 5
No Dominó
4, 3, 2 o 1
Interpretación
Si resulta que 70%
o mas de los
estudiantes no
dominaron la
destreza se sugiere
se retomen los
conceptos y se
presenten otros
ejemplos antes de
pasar a la parte III.
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4
Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales.
Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la rúbrica 2
Número
Racional
Irracional
Auto evaluación
% Dominio
754.86
π
7.282828…
⅝
2 25
3.14
8
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5
Escala
Número de
ejercicios
correctos
Dominó
6ó7
Dominio Parcial
4ó 5
No Dominó
1, 2 ó 3
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Interpretación
Si resulta que 70% o
mas de los
estudiantes no
dominaron la
destreza, se sugiere
se retomen los
conceptos y se
presenten otros
ejemplos antes de
pasar a la parte III.
6
Clasifica los siguientes números como racionales o
irracionales
Tabla 2
Número
Racional
Irracional
754.86

7.282828…
⅝
2 25
3.14
8
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Parte II
• Objetivo: Aproximar el valor de 
buscando la razón entre la circunferencia
y el diámetro de objetos circulares.
Se le proveerá al estudiante 3 objetos circulares, cinta
métrica y una regla. Llenarán la Tabla 3 indicando la
medida en centímetros de la circunferencia y del
diámetro de los objetos circulares. Calcularán la razón
entre la medida de la circunferencia y la medida del
diámetro. Buscarán en el salón un objeto circular y
repetirán las instrucciones.
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Tabla 3
Objeto
Medida
Circunferencia
¿ A que valor se aproxima
Medida
Diámetro
circunfere
ncia
Circunferencia /
Diámetro
?
diámetro
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• Resumen:
Reflexión
La razón entre la circunfere
de un círculo
y su diámetro
La circunfere
de un círculo
C2 r
y

r
su diámetro
d

es

ncia
de radio
C
ncia
2 r
es
es
d  2r

2r
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Datos históricos y/o curiosos de 
Muchos intentos para determinar  con exactitud
están relacionados con el clásico problema de la
cuadratura del círculo: "construir, utilizando
únicamente regla y compás, un cuadrado de área
igual a un círculo dado"
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Modernamente para evaluar  se utiliza una serie infinita
convergente. Este método fue utilizado por primera vez en
Kerala (India) en el Siglo XV.
Johan Heinrich Lambert(1728-1777), matemático alemán, probó
que  es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir
en forma de fracción racional).
Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que  es un número
trascendental. Esto significa, entre otras cosas, que el problema
de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello
todavía se sigue intentando. No es solución de ninguna
ecuación algebraica.
En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de
10,000 cifras de . En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y
Daisuke Takahashi obtuvieron 51,539,600,000 cifras, utilizando
un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.
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Parte III
• Objetivo: Medir la hipotenusa de triángulos
rectángulos donde los catetos midan igual
a un número natural.
• Comprobar las medidas con el Teorema
de Pitágoras y observar que surgen
números irracionales
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Tabla 4
Figura
Medida
Cateto1 =
cateto2
Medida
hipotenusa
Usando el
teorema de
Pitágoras
calcular la
hipotenusa
(Se obtiene
un número
irracional)
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Aproximar
con la
calculadora
el valor de h
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Utilizando papel cuadriculado construir un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden igual a una unidad ( 1 cm, 1 “, etc.) . Medir la hipotenusa.
Utilizar el Teorema de Pitágoras para comprobar las aproximaciones.
Ejemplo
Midiendo el valor de la
hipotenusa resulto 1.4 cm
h
1 cm
1cm
Al aplicar el Teorema
de Pitágoras
2
h  c1  c 2
2
obtenemos
:
2
h 11
2
h  2
2
h  
Como la hipotenusa

2
es una medida,
h 
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esta es positiva
2  1 . 41
15
Generalizando: Si los catetos miden igual a un numero natural x .
Al utilizar el Teorema de Pitágoras, obtenemos:
h
2
 x
h
2
2 x
que
 2x
h  
2x
o
es
2
2
2x
2
h   x 2
h 
 x

h

2
2
2
h  
un
2 x
número
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irracional
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Parte IV
• Objetivos: Resolver una ecuación cuadrática y
obtener un número irracional, llamado la razón
dorada.
• Comentar datos de la razón dorada.
• Realizar una actividad con fotos, calculando la
razón entre la distancia de la barbilla a la frente
con la distancia entre las orejas y observar que
aproximadamente resulta el número o razón
dorada.
• Relacionar la razón dorada con la sucesión de
Fibonnacci.
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Usando la fórmula cuadrática
resolver la ecuación x2 – x – 1 = 0
x
b
b  4 ac
2
2a

 (  1) 
(  1)  4 (1)(  1)
2
2 (1)

1
5
2
La razón dorada es el número
 
1
5
irracional
 1 . 618034
2
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Áreas donde se aplica la razón
La anatomía de los humanos se basa en
una relación Phi (φ) exacta,. Razones
entre partes del cuerpo resultan en una
aproximación de este número, tales como:
• La razón entre la altura de un ser
humano y la altura de su ombligo.
• La razón entre la distancia del
hombro a los dedos y la distancia
del codo a los dedos.
• La razón entre la altura de la
cadera y la altura de la rodilla.
• La razón entre el diámetro de la
boca y el de la nariz
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
es el único número
racional con la propiedad
  1
2
de que
  1
2
verificand o
2

2
1 5 
1 2 5  5 6  2 5
2 (3  5 )
3 5
2 1 5
 




 
 1
 2 
4
4
2

2
2
2
2


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•Los artistas del Renacimiento utilizaron la sección
áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura
como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza.
Leonardo da Vinci, por ejemplo, en su cuadro de la
Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para
plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar
muchos detalles de su rostro, empezando porque el
mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.
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Además, por ejemplo, Leonardo da Vinci utilizó la razón áurea para
definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última
cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de
Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las
paredes y ventanas al fondo.
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•En muchos ejemplos de la naturaleza, nos encontramos con los
números de Fibonnacci. Uno de ellos es la forma en que se ordenan
las semillas en el girasol de la fotografía. Si cuentas bien los
espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás
que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son
números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
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Utilizando las siguientes fotos, calcular una aproximación
de la razón áurea. Medir, en centímetros, la distancia de la
barbilla hasta la cabeza y la distancia entre las orejas.
Zuleyka Rivera
medida dist. barbilla
a cabeza
medida entre las orejas

3 . 9 cm
2 . 5 cm
Carlos Arroyo
 1 . 56
medida dist. barbilla
a cabeza
medida entre las orejas
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
3 . 9 cm
 1 . 56
2 . 5 cm
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Relacionar la razón dorada con la sucesión de
Fibonnacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Calculemos la razón entre un término
y el anterior.
1
2
 1,
1
8
 2,
1
 1 .6 ,
5
3
 1 .5,
2
13
 1 . 625 ,
8
1
5

5
 1 . 67
3
21
 1 . 613
13
1 . 618034
2
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¿Por qué la sucesión se
llama sucesión de
Fibonnacci ?
Esta sucesión tiene el nombre en honor al
matemático italiano Leonardo de Pisa. La
sucesión recibe el nombre de Fibonnacci por
“ filius Bonacci”, que quiere decir hijo de
Bonacci. Recibe el nombre en honor a su
padre, quien era representante de los
mercaderes de la república de Pisa en los
negocios de Argelia.
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¿Cómo surgió la sucesión?
La sucesión surge al
determinar el número
de parejas de conejos
que se tendrán al
cabo de un año,
sabiendo que se
comienza con una
sola pareja y que cada
pareja engendra
mensualmente otra
pareja a partir de su
segundo mes de vida.
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Hacer un mapa de conceptos de lo aprendido
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Reflexión:
Alineación temas y/o conceptos discutidos con los
Estándares de contenido 10-12
Estándares de
Contenido??
1: El estudiante es capaz de
entender los procesos y conceptos
Matemáticos al representar,
estimar, realizar cómputos ,
relacionar números
y sistemas numéricos.
4: El estudiante es capaz de
utilizar sistemas, herramientas y
técnicas de medición para
establecer conexiones entre
conceptos espaciales y numéricos
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Reflexión:
¿Como transferir lo aprendido
hoy a la sala de clases?
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