Modelos de
Programación Lineal
Charles Nicholson
Department of Applied Economics and
Management, Cornell University
¿Para qué se utiliza la PL?
Respuestas a:



¿Cuál es la composición de dieta
composición que minimizaría el costo de
lograr cierto rendimiento de leche? (animal)
¿Cuántos animales maximizarían el ingreso
neto de un área específica de terreno
(recurso de pasto)? (rancho)
¿Cuáles serían los impactos de un cambio
en tecnología o una política gubernamental
relacionada con los precios en la producción
y precio? (mercado, sectorial)
¿Para qué la PL es útil?

Un rango muy amplio de aplicaciones
¿Qué es PL?



Una técnica de modelaje matemático
Se utiliza para tomar decisiones respecto a la
asignación de recursos
Pero, antes de discutir esto en más detalle,
debemos preguntar:
¿Qué es un modelo?
¿Qué es un modelo?
X
Modelo de
moda
X
Modelo matemático
¿Qué es un modelo? Aracil (1997)


Una representación abstracta de…
…ciertos aspectos de la realidad


Estructura basada en elementos
seleccionados de la realidad



No todos los elementos de ella (¡esto no es
posible!)
Elementos elegidos para un propósito particular
Para dar respuesta a un interrogativo en particular
Relaciones entre los elementos
¿Por qué los modelos matemáticos son
útiles?

A veces revelan resultados o relaciones que no
serían evidentes de otra manera


Un complemento—no un sustituto—para nuestros
“modelos mentales”
Permite un análisis de “experimentos” que serían
muy caros, peligrosos o imposibles de otra forma


Pocos experimentos controlados posibles para los
sistemas socio-económicos
Nuevas tecnologías o políticas para pequeños productores
Críticas de modelos

“No cuentan con todos los factores relevantes”




Un diseño inteligente lo puede resolver
Los modelos no pueden, ni deberían, incluir “todo”
“Todos los modelos son imprecisos, algunos son útiles”
“Con frecuencia los datos para modelos cuantitativos
son inadecuados”




Imprecisión en los datos →resultados menos confiables
Especificar suposiciones inteligentes cuando hacen falta
observaciones
Utilizar “análisis de sensitividad” para evaluar importancia
Utilizar el modelo para identificar los datos prioritarios
Críticas de modelos, a continuación

“Modelaje no es ‘Ciencia’”


Creencia: “Solamente experimentos controlados
son válidos”
Muchos métodos de evaluación de modelos existen
para mejorar su utilidad como herramientas de
apoyo de decisiones
Modelaje en perspectiva….


En muchas situaciones, se debe tomar una
decisión importante con información
incompleta.
Dos elecciones:



Tomar la decisión con base solamente en
intuición, o “modelos mentales”
Tomar la decisión con base en múltiples fuentes
de información, inclusive modelos cuantitativos
La segunda elección conduce a mejores
resultados
¿Qué es PL?





Un tipo de modelo matemático específico
Maximiza o minimiza una cantidad
específica, a través de
Selección de valores para las variables,
Sujeto a una o más restricciones,
Todas las ecuaciones son lineales
Ejemplo: elección de productividad de
vacas

¿Cuál rendimiento (leche, kg/año) maximiza
el margen neto con los recursos disponibles?
1500
kg/año
2000
kg/año
2500
Recurso
kg/año del rancho
Margen neto, $/vaca/año
900
1250
1400
--
Pasto requerido,
ha/vaca/año
1.0
1.5
2.0
15.0
Mano de obra requerido,
ETC/vaca/año
0.20
0.25
0.40
2.0
Función objetiva
Maximizar Margen Neto:
Margin Neto =
900*Número de vacas con 1500 kg/año
+ 1250*Número de vacas con 2000 kg/año
+ 1400*Número de vacas con 2500 kg/año
Restricción de área en pastos
El total requerido de potreros tiene que ser
menos de la cantidad de terreno disponible
en pastos
1.0*Número de vacas con 1500 kg/año
+ 1.5*Número de vacas con 2000 kg/año
+ 2.0*Número de vacas con 2500 kg/año
≤ 15 ha, el total disponible en el rancho
Restricción de mano de obra
El total de mano de obra requerido tiene que
ser menos que la disponibilidad de mano de
obra
0.20*Número de vacas con 1500 kg/año
+ 0.25*Número de vacas con 2000 kg/año
+ 0.40*Número de vacas con 2500 kg/año
≤ 2 ETC, total disponible en el rancho
Formulación como un problema de PL
900*
Vaca1500
+ 1250*
Vaca2000
+ 1400*
Vaca2500
Recurso
del
rancho
Restricción de pasto,
ha
1.0*
Vaca1500
+ 1.5*
Vaca2000
+ 2.0*
Vaca2500
≤ 15
Restricción de mano
de obra, ETC
0.20*
Vaca1500
+ 0.25*
Vaca2000
+ 0.40*
Vaca2500
≤2
Maximizar Función
Objetiva Z =
Subjeto a:
Variables, coeficientes de la función objetiva, recursos,
requerimientos de recursos por unidad
Problema de PL genérico
c1*x1
+ c2*x2
+ c3*x3
Recurso
del
rancho
Restricción 1
a11*x1
+ a12*x2
+ a13*x3
≤ b1
Restricción 2
a21*x1
+ a22*x2
+ a23*x3
≤ b2
Maximizar Función
Objetiva Z =
Sujeto a:
Variables (actividades) xi, coeficientes de la función objetiva cj,
recursos bi, requerimientos de recursos por unidad aij
Solución del problema PL




Hay muchos algoritmos y programas
disponibles
“Solver” en Excel es bueno y accesible
Anteriormente, se enfocó en los cálculos,
pero ahora es menos necesario con los
programas disponibles
Haremos un ejercicio con Solver en Excel
Solución del problema PL
900*0
+ 1250*8
+ 1400*0
Recurso
del
rancho
Restricción de pasto,
ha
1.0*0
+ 1.5*8
=12
+ 2.0*0
<15
Restricción de mano
de obra, ETC
0.20*0
+ 0.25*8
=2
+ 0.40*0
Maximizar Función
Objetiva Z =10,000
Sujeto a:
Solución primaria: 8 vacas con 2000 kg/año
=2
Información adicional del modelo PL

¿Cuáles restricciones son “limitantes”?


“Limitante” significa que se satisface la restricción
exactamente
En este caso, la mano de obra es el recurso
limitante, no la tierra
Información adicional del model PL

“El precio sombra” del recurso




El cambio en la función objetiva al incrementar
por una unidad la cantidad de recurso
Indica un valor numérico que describe la
importancia de la restricción en el recurso
(¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una
unidad adicional del recurso?)
En este caso, una unidad adicional de mano de
obra aumentaría por 5000 el margen neto
Si la restricción no es limitante, el precio sombra
es igual a cero
Información adicional del model PL

“Reducción en costo” de una actividad


Cantidad que cambiaría la función objetiva si una
unidad de “actividad” no parte de la solución
original está obligado a ser parte de ella
Si elige vacas de 2500 kg de leche, la función
objetiva se reduce en 600 de su valor máximo
Algunos retos con PL

¿Cuál es la función objetiva correcta?





Depende de los objetivos de los productores
Puede que no sea maximizar el margen neto
Minimizar riesgo (Programación de riesgo)
Objetivos múltiples (Programación de criterios múltiples)
¿Los problemas de rancho son lineales?



Muchas veces, no lo son
Los problemas no-lineales pueden ser formulados
Más difíciles de resolver (aproximaciones lineales)
Algunos retos con PL, a continuación

¿Y los problemas dinámicos?




Muchos problemas traen efectos de temporada del año
Tiempo requerido para la implementación de tecnología
nueva
Se pueden utilizar métodos de programación multiperiodica o dinámica
¿Los productores optimizan?


Probablemente no, pero los modelos PL pueden proveer
una pauta de comportamiento (si lo hicieran)
Los métodos alternativos se dirigen hacia esto
Descargar

Linear Programming - US - Mexico TIES Initiative |