Diseños Experimentales
en la Optimización de
Recursos
Metodología de Superficie
de Respuesta
 El objetivo de usar métodos de superficies de
respuesta es el de optimizar un proceso.
 Suponga que tenemos un modelo con n factores
 Asumiendo que la respuesta de la superficie
puede ser modelada por
Y  f ( x1 ,..., x n )  
 El valor esperado de la respuesta es:
E [Y ]  f ( x1 ,..., x n )
 Esta es llamada
respuesta
la superficie de
Metodología de
Superficie de Respuesta
500
0
-500
-1000
Y -1500
Rend.
-2000
-2500
8.0
5.0
-3000
2.0
-1.0
-3500
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
X1
19 20 21
Nitrógeno
X2
-4.0
-7.0
-10.0
Fósforo
Metodología de
Superficie de Respuesta
 Supuesto: La variación es la misma en todos los
puntos.
500
0
-500
-1000
Y -1500
-2000
-2500
8.0
5.0
-3000
2.0
-1.0
-3500
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
X1
19 20 21
-4.0
-7.0
-10.0
X2
Metodología de
Superficie de Respuesta
 Cuando es posible observar la respuesta sin
variación entonces las técnicas de programación
lineal son adecuadas para encontrar el optimo.
 En programación matemática, queremos encontrar
el optimo en una función de n dimensiones usando
un numero mínimo de cálculos en la función.
 Obviamente si pudiéramos calcular la función en
un gran numero de punto en el espacio de
decisiones posibles entonces podemos graficarla
función y encontrar a ojo el optimo.
Metodología de
Superficie de Respuesta
 Sin embargo, si consideramos cada punto en el
cual la función tiene que ser evaluada con un
costo en tiempo entonces nos gustaría minimizar
el costo total.
 Las gráficas a fuerza bruta serian muy costosas
 En MSR, tenemos que estimar la función de
respuesta haciendo ensayos en cada punto de
interés.
 Esto puede ser muy costoso
 Entonces queremos minimizar el costo en tiempo.
Algoritmo de la pendiente
ascendente
 Un método para encontrar óptimos en
programación matemática es llamado el algoritmo
de la pendiente ascendente.
 Bajo este algoritmo:
 Inicie en punto arbitrario.
 Calcule la función y su derivada en este punto.
 Busque en la dirección de la pendiente ascendente
(derivada máxima)
 Continúe en esa dirección hasta que no se tiene ya
incrementos.
Algoritmo de la
pendiente ascendente
 Algunas veces la derivada no puede ser
encontrada y debemos estimarla suponiendo un
modelo lineal.
 Inicie en punto arbitrario.
 Calcule la función en este punto en puntos en un
cuadrado, cubo o cualquier otra forma alrededor
del punto.
 Mire en la dirección de la pendiente ascendente
(diferencia máxima)
 Continúe en esa dirección hasta que no se tiene ya
incrementos.
 Este es el enfoque usado suponiendo un modelo de
superficie de respuesta de primer orden.
Programación Cuadratica
 Si hay curvatura en función, entonces el modelo
local lineal no es apropiado.
 Un modelo cuadrático se asume que puede
aproximar localmente a la función
 Para usar un cuadrático, se tienen que calcular
mas puntos.
 Esos puntos extras se llaman puntos estrella.
 Este es el enfoque asumiendo MSR de segundo
orden.
Programación Cuadratura
 Los puntos estrella deben ser elegidos
cuidadosamente para que la forma sea rotable.
 Esto significa que la desviación estándar de la
respuesta es constante en todos los puntos que
tienen la misma distancia del centro.
2 factores
-1
-1
1
1
-1.41
1.41
0
0
0
0
0
0
0
-1
1
-1
1
0
0
-1.41
1.41
0
0
0
0
0
3 factores
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
0
0
-1.73
1.73
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
0
0
0
0
-1.73
1.73
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
-1.73
1.73
0
0
0
ANOVA con dos Factores
 El modelo lineal con dos factores e interacción
Y i , j , k     i   j  ( ) i , j   i , j , k
 Separando los componentes de varianza
a
b
n

i 1
j 1 k 1
a
b
( y i , j , k  y  ,  ,  )  bn   y i ,  ,   y  ,  ,    an   y  , j ,   y  ,  ,  
2
2
2
i 1
a
 n
i 1
a

j 1
b
 y
2
i , j ,
j 1
b
n
   (y
i 1
 y i , ,  y  , j ,  y  , , 
i , j ,k
 y i , j , )
2
j 1 k 1
 O
SS Total  SS A  SS B  SS AB  SS Error
abn  1  ( a  1)  ( b  1)  ( a  1)( b  1)  ab ( n  1)
MSR con un factor
 El modelo de primer orden con un factor es:
Y i ,k   0   1 X i   i ,k
 La respuesta media para dos factores con niveles
i y j respectivamente es:
ˆ i   0   1 X i
 Queremos minimizar el error cuadrado medio con
respecto a los parámetros del modelo.
a
n
  (y
i 1
a
n
  ( ˆ
i 1
j 1
 y  , ) 
i, j
 y  , )
2
j 1
a
2
i, j
n
  ( ˆ
i 1
a
 y i , ) 
2
i, j
j 1
n
  (y
i 1
j 1
SS Re g  SS LoF  SS PErr
SS Re g  SS RErr
i, j
 y i , )
2
Error Total
 Abajo tenemos una gracia de los datos y la línea
de regresión ajustada
 Los la suma de las diferencias al cuadrado entre
las observaciones y la línea de regresión nos da el
error total
18
16
14
12
Y
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
X
6
7
8
9
10
Error de Falta de Ajuste
 Observe la gráfica de los promedios en cada nivel
del tratamiento y la línea de regresión ajustada.
 La suma de las diferencias al cuadrado entre los
promedios a cada nivel y la línea de regresión nos
da el error de falta de ajuste.
18
16
14
12
Y
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
X
6
7
8
9
10
Error Puro
 Abajo tenemos una gráfica de las observaciones y
los promedios a cada nivel del tratamiento.
 La suma total de las diferencias al cuadrado entre
los promedios a cada nivel y las observaciones
nos da el error puro.
 Este es el error que obtendríamos si usamos
efectos fijos
18
16
14
12
Y
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
X
6
7
8
9
10
Falta de Ajuste & Error Puro
 El error de falta de ajuste nos dice que tan bien
los estimadores de mínimos cuadrados ajusta un
modelo de efectos fijos.
 El error puro nos dice cuanta variacion nos
explican otros factores que omitimos en el
estudio.
Ejemplo: Adesivo Sure
Stick
 El experimento fue llevado acabo usando un
diseño central compuesto con 3 factores
Ensayo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Aditivo
20
40
40
20
20
40
40
20
30
30
30
30
30
30
13.18
46.82
30
30
30
30
Presion de aplicacion
50
50
50
50
100
100
100
100
75
75
75
75
75
75
75
75
33
117
75
75
Temperatura de
Aplicacion
100
100
200
200
100
100
200
200
150
150
150
150
150
150
150
150
150
150
65.9
234.1
Fuerza de pegado
6.6
8
7.5
7
7.2
9
8.3
6
10
11.4
11.6
9.7
10.2
9.8
10
6
6.8
6.3
6.5
8.1
Ejemplo: Adesivo Sure
Stick en Minitab...
Estimated Regression Coefficients for fuerza
Term
Constant
Additive
presion
temp
Additive*Additive
presion*presion
temp*temp
s = 1.232
Coef
Stdev t-ratio
p
-17.87 5.41003 -3.303 0.006
0.47 0.19745 2.373 0.034
0.31 0.07913
3.980 0.002
0.13 0.03949
3.178 0.007
-0.01 0.00324 -2.435 0.030
-0.00 0.00052 -4.016 0.001
-0.00 0.00013 -3.198 0.007
R-sq = 67.8%
R-sq(adj) = 52.9%
Analysis of Variance for fuerza
Source
DF
Seq SS Adj SS Adj MS
F
P
Linear
3
0.0968 40.682 13.5608 8.94 0.002
Square
3 41.4036 41.404 13.8012 9.10 0.002
Residual Error 13 19.7197 19.720 1.5169
Lack-of-Fit
8 16.2446 16.245
2.0306 2.92 0.126
Pure Error
5
3.4750
3.475
0.6950
Total
19 61.2200
Unusual Observations for fuerza
Obs. fuerza
15 10.000
16 6.000
Fit Stdev.Fit Residual
8.293 0.960 1.707
8.114 0.960 -2.114
R denotes an obs. with a large st. resid.
St.Resid
2.21R
-2.74R
Normalidad
N o rm a l P ro b a b ility P lo t
.999
.99
P ro ba bility
.95
.80
.50
.20
.05
.01
.001
5.8
6.8
7.8
8.8
9.8
10.8
11.8
fue rza
A verage: 8.3
A nderson-D arling Normality Test
S td D ev: 1.79502
A -S quared: 0.516
N of data: 20
p-value:
0.168
Ejemplo: Sure Stick
Grid Plot of C4
50
C4
-1
1
2
4
6
8
9
11
C1
40
30
20
10
20
45
70
95
120
C2
Grid Plot of C4
50
Grid Plot of C4
120
C4
-1
1
2
4
6
8
9
11
C2
40
C1
C4
30
20
-1
1
2
4
6
8
9
11
95
70
45
10
20
50
100
150
200
250
50
100
C3
150
C3
Maximum
Parameter Exponent
C1
2
C2
2
C3
2
Function at optimum
Optimum
Value
29.66
75.39
151.22
10.44
200
250
Ejemplo: Diseño central
Compuesto con dos
factores
X1 yX2 y respuesta Y. El diseño ha sido situado
en dos bloques ortogonales a los efectos lineales y
cuadraticos del modelo.
bloque x1
x2
y
-1
0.5
0.866 86.0
-1
0.5
-0.866 86.3
-1
0.0
0.000 97.1
-1
0.0
0.000 95.9
1
-0.5 0.866 72.9
1
-0.5 -0.866 61.3
1
1.0
0.000 92.3
1
0.0
0.000 91.5
1
0.0
0.000 89.7
Fuente:
* Myers, Raymond H. (1976), "Response Surface Metho dology", Blacksburg,
Virginia: Virginia Polytechnic Institute and State University,
pp. 189-193.
Programa en SAS
DATA A;
INPUT BLOCK X1 X2 Y;
CARDS;
-1 -1.0 0.000 61.8
-1 0.5 0.866 86.0
-1 0.5 -0.866 86.3
-1 0.0 0.000 97.1
-1 0.0 0.000 95.9
1 -0.5 0.866 72.9
1 -0.5 -0.866 61.3
1 1.0 0.000 92.3
1 0.0 0.000 91.5
1 0.0 0.000 89.7
;
/*
/ Ordene por las var. Independientes para examinar
/ Bondad de Ajuste.
/---------------------------------------------------------------*/
PROC SORT; BY BLOCK X1 X2;
/*
/ Analizar declarando BLOCK como covariable en lugar de
/ factor :
/---------------------------------------------------------------*/
PROC RSREG;
MODEL Y = BLOCK X1 X2 / COVAR = 1 LACKFIT;
RIDGE MAX;
run;
SALIDA
Response Surface for Variable Y
Response Mean
Root MSE
R-Square
Coef. of Variation
Degrees
of
Type I Sum
Freedom of Squares
Regression
Covariates
Linear
Quadratic
Crossproduct
Total Regress
Residual
Lack of Fit
Pure Error
Total Error
83.480000
1.745534
0.9943
2.0910
R-Square
F-Ratio
Prob >
1
37.636000 0.0234 12.352 0.0391
2
850.323333 0.5286 139.5 0.0011
2 676.273500 0.4204 111.0 0.0015
1
35.402500 0.0220 11.619 0.0422
6 1599.635333 0.9943 87.501 0.0019
Degrees
of
Freedom
1
2
3
Sum of
Squares
6.800667
2.340000
9.140667
Mean Square F-Ratio Prob > F
6.800667
1.170000
3.046889
5.813 0.1374
Parameter
Degrees
of
Parameter
Freedom Estimate
INTERCEPT
X1
X2
X1*X1
X2*X1
X2*X2
BLOCK
1
1
1
1
1
1
1
Parameter
Parameter
Estimate
from Coded
Data
INTERCEPT
X1
93.550000
16.516667
Parameter
X2
X1*X1
X2*X1
X2*X2
BLOCK
Standard T for H0:
Error Parameter=0 Prob > |T|
93.550000 0.872767
16.516667 1.007785
3.262125 1.007814
-16.500000 1.511677
-6.870670 2.015628
-17.067668 1.511765
-1.940000 0.551986
Parameter
Estimate
from Coded
Data
2.825000
-16.500000
-5.950000
-12.800000
-1.940000
107.2 0.0000
16.389 0.0005
3.237
0.0480
-10.915 0.0016
-3.409
0.0422
-11.290 0.0015
-3.515 0.0391
Factor
X1
X2
Degrees
of
Sum of
Freedom
Squares
3
3
1216.803333
455.686481
Mean Square
405.601111
151.895494
Canonical Analysis of Response Surface
(based on coded data)
Critical Value
Factor
X1
X2
Coded
Uncoded
0.501630
-0.006238
0.501630
-0.005402
Predicted value at stationary point
97.683815
Canonical Analysis of Response Surface
(based on coded data)
Eigenvectors
Eigenvalues
X1
X2
-11.146698
-18.153302
-0.485761
0.874092
0.874092
0.485761
Stationary point is a maximum.
Estimated Ridge of Maximum Response for Variable Y
Coded
Radius
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Estimated
Response
93.550000
95.052428
96.211207
97.031435
97.519604
97.683771
97.533530
97.079678
96.333570
Standard
Error
Uncoded Factor Values
X1
X2
0.872767
0.869997
0.863195
0.857053
0.859629
0.881808
0.935253
1.029067
1.167338
0
0.099001
0.198799
0.299188
0.399781
0.499966
0.598921
0.695717
0.789499
0
0.012210
0.018954
0.019103
0.011463
-0.005047
-0.031148
-0.066956
-0.111880
F-Ratio
133.1
49.853
Prob > F
0.0011
0.0047
Grafica de contorno:
C on tou r P lot for : y
65.8000
75.0907
84.4093
93.7000
2
x2
1
0
-1
-1
0
1
x1
2
Grafica de la superficie
de respuesta
100
50
2
0
1
-50
0
-2
-1
-1
0
1
2
-2
Ecuacion estimada
93.55 + 13.15 * x1 + 3.26 * x2 - 11.45 * x1 ^2 - 18.75 * x2^ 2 - 6.87 * x1 * x2
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STAT 549 Statistical Quality Control